数形结合思想.

1、数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题， 几何问题相互转化，使抽象思维与形象思维有机结合。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件与结论之间的内在联系， 既分析其代数意义又提示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，寻求解题思路， 使问题得到解决。 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。一、选择题1设 yf ( x) 的图象经过点 ( 1, 2) ，则 yf 1 ( 1 x2) 的图象过点（）2A. (2,1)B. (8,1)C. (4, 2)D. (

2、1,8)解：已知得f (1)2 ， f1 (2)1令 212，得 x8，故选答案 B.x2y2已知函数 f (x)ax3bx2cxd 的图象如右，则（）A. b(,0)B. b(0,1)C. b(1,2)D. b(2,)O12 x解：根据图象可知f (x)ax(x 1)( x 2)（ a0 ）展开得 f ( x)ax33ax 22ax与 f ( x)ax3bx2cxd 比较系数知 b3a0 ，选答案 A.3方程 sin( x4)1 x 的实根个数是（）4yA.2B.3C.4D. 以上均不对l1解：分别作出ysin( x)44O5 4 x与直线 l : y1 x 的图象如下44- 1只须考虑 x

3、4,4 时交点个数，得答案B.4设 P ( x, y) 是圆x2( y1)21上的任意一点， 欲使不等式 xyc 0恒成立， 则 c 的取值范围是（）A. 12,21B. 21,)C. (21,2 1)D. (,2 1解：由线性规划知识知xyc 0 表示点 P 在直线l : xyc0 的上方圆在 l上方，即圆心(0,1)到 l 的距离大于（或等于）1 |1c | 1， c21（舍去）或 c 21，得答案 D.25已知 f ( x)( xa)( xb)2（其中 ab ）且、是方程 f (x)0 的两根（），则实数 a,b, ,的大小关系是（）A.abB.abC. abD. ab解：易知 a,b

4、是 g( x)( xa)( xb)0 的两根yg( x) yf ( x) f ( x)g (x)2，作 f ( x), g( x) 的图象如下ab得答案 A.x6平面上整点（横、纵坐标都是整数的点）到直线y5 x4的最小值是（）35A.34B.34C.1D.1170852030解：直线方程化为25x15 y 120，设整点坐标为(m, n) ，则距离d| 25m15n12|5(5m3n)12|252152534 5(5m 3n)0或5或10或 15 |5(5m3n)12 |min2 ，此时 m2, n4 dmin234，此时整点为 (2, 4)，选答案 B.53485二、填空题7已知实数 x,

5、 y 满足 ( x3)2y23 ，则y的最大值是 _.x1y可看作点 P ( x, y) 与点 M (1,0)y解：1连线的斜率，A3xM且 P 在圆 ( x 3)2y23 上O13x如图，易知当直线与圆处于圆中切线MA 位置时，斜率最大，最大值为tan 603 .8.4xx2( a1)x的解集为A,且A (0,2) ,_.如果不等式那么实数 a 的取值范围是解：根据不等式解集的几何意义，yl作出函数 y4xx2与 y(a1)x 的图象如图：易知必须满足 a1 kl ，即 a1 1 a 的取值范围为 2,) .O24x9x 的方程xx2aa0且a1_.a2x（）的解的个数是关于解：方程化为 a

6、xa1( x1)2 ，分别作出 ya x 与 ya1( x1)2 的图象若a1，如图（ 1）；若0a12 个 .，如图（ 2）易知答案为yyaxy1O1图（ 1）1yaxy a 1 ( x 1)2O1xya 1 (x 1)2x图（ 2）x2y2P ( 2, 3) 在椭圆内，点M 在椭圆上且使10点 F 是椭圆1 的左焦点，点1612| PM | 2 | MF |最小，则点 M 坐标为 _.1y解：如图，易知离心率ed，M2|MF |1d 为点 M 到左准线距离，则KPd2 d2|MF |Fx|PM|2| MF| PM | d | PK |“”成立时， M 是 PK 与椭圆的交点，得答案 M(

7、2 3,3) .当x 4,0时，ax24x4x1恒成立，则 a 的取值范围是_.113解：作出 y1ax24x （4 x 0 ）与 y24 x 1 的图象，3易知 y1 表示以 ( 2, a)为圆心， 2 为半径的上半圆，y2 为直线，如图，依题意 y1 在 y2下方，故有：y圆心到直线 4x 3 y3 0 的距离 d 2 | 4(2)3a3|2x5或 a 5得 a 5（舍去） a 的取值范围是 (3, 5.12把一个长、宽、高分别为25cm、 20cm、5cm 的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少为_cm.解：木盒最小周长的侧面为长20cm，宽 5cm 的长方形，如图x

8、y得x2x2202x20yy 2y252 x 102, y52x2y5正方形窗口的最小边长为52252yx10 22（ cm） .2三、解答题解关于x 的方程lg( x1)lg(3x)lg( ax 1) .13解：原方程化为ax1( x1)(x3)1x3化为 x2( a4) x20此时(a4) 28a28a8，得 a422a 42 2时，有两根 x1,24aa28a8ya12yax1 与1分别作出直线a抛物线 y(x1)(x3) （1x3 ）的图象如下3O13x易得答案如下：当 a(, 1(422,) 时，原方程无解；3当 a422 时，原方程有唯一解x2 ；当 1a422 时，原方程有两个解

9、4aa28a8x1,22当 1a 1时，方程有一解x4aa28a8.3214已知函数（ 1）若方程f ( x)1x2 ， g( x)x2f ( xa)g( x) 有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围；1（ 2）若 f (x) g(xb) 的解集为 1, ，求实数 b 的值 .2解：（ 1） f ( xa)g (x) 即为1( x a)2x 2分别作出 y11 ( xa)2（ (xa)2y21, y 0 ）与 y2 x2 的图象如下当半圆 y1 过点 (2,0),(0,0)时，a1 ，即 a 1当半圆 y1 与直线 y2 相切时，| a2 |1，2- 2 a22 （舍去）或 a22由图形可看

10、出y1 与 y2 有两个交点，即原方程有两个不等实根时，（2） f ( x)g ( xb) ，即为1 x2 x2b作出 f (x) 与 g(xb) 的图象，由不等式解集为 1,1 ，2知直线 y x2b 过点 ( 1 ,3 )y22312 b22y2Oxa(22,15 3为所求 .- 1 b212x设关于x 的方程sin x3 cos x a 0在(0, )内有相异解,15（ 1）求 a 的取值范围；（ 2）求 tan()的值.，解：（ 1）原方程化为 a2sin( x) ，3用五点法作出 y12sin( x)在(0,) 上的图象如下3当直线 y2a 与 y1 有两个交点时，2必有 2a33（

11、2）如图知263 tan() tan33 .3616设 A x |2 x a ， B y | y2x3,且 xA ， C z | zx2 , 且 xA ，若 CB ，求实数 a 的取值范围 .解： y2x3在 2, a 上是增函数1 y 2a3，即 B y |1 y 2a3作出 zx2 的图象，该函数定义域右端点xa 有三种不同的位置情况如下：yyy44a24a2a2- 2a Ox- 2Oax- 2O2 a x当2 a 0 时， a2 z 4 即 C z| z2 z 4要使 CB ，必须且只需2a3 4 ，得 a 1，这与2 a0 矛盾当 0 a 2 时， 0 z 4即 C2 z | 0 z 4 ，要使 CB ，由图可知，必须且只需2a 3 41 a 2，解得0 a 22当 a 2 时， 0 z a2 即 C z | 0 z a2 ，04 2a+3a22a3，解得 2- 1要使 CB ，必须且只需a 32a当 a2时， A，此时 BC，则 CB 成立综上所述，a 的取值范围是 (,2)1 ,3 .217.已知 a cosbsinc, a cosbsinc （ ab0,k , k Z ），求证： cos22c2a2b2证明：在平面直角坐标系中， 点 A(cos,s