自动控制原理拉普拉斯变换

1、 拉普拉斯变换拉普拉斯变换(Laplace变换变换)拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的应用 在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用一种变换手段. 所谓积分变换，就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换包括拉普拉斯（Laplace）变换和傅立叶（Fourier）变换。这里只研究Laplace变换，讨论他的定义、性质及其应用。一、拉普拉斯变换的概念以时间t为自变量的函数 ，它的定义域是则积分式拉普拉斯变换( )f t0t0( )( )stF sf t edt（ 是一个复变量） s称上式为函数 的拉普拉斯变换式 ( )f t( )F s

2、 ( )f t叫做( )f t的拉氏变换,称为象函数.( )F s叫做的拉氏逆变换,称为原函数,( )f t( )F s( )f t= )(1sF（2） 在 的任一有限区间上连续或分段连续； （1） 时, 一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是0t 0t ( )0f t 二、拉普拉斯变换存在定理二、拉普拉斯变换存在定理dtetfst0)(（3）拉普拉斯变换例1 求单位阶跃函数求单位阶跃函数 的拉氏变换的拉氏变换 u t解解 0100)(tttusstsstedtetuL10101)(三、一些常用函数的拉普拉斯变换三、一些常用函数的拉普拉斯变换 即stuL1)(根据定义dtetftfLst0)()

3、(拉普拉斯变换tttt0, 00)(11)1 (1 ()1 ()()(11101101seedtetLsssstsst解解 例2 求单位脉冲函数求单位脉冲函数 的拉氏变换的拉氏变换 t1)(tL即根据定义dtetftfLst0)()(拉普拉斯变换例3 求指数函数求指数函数 的拉氏变换的拉氏变换 ktetf)(解：解：根据定义kseksdtedteetfLtkstksstkt10)(1)()(0)(0dtetftfLst0)()(kseLkt1即拉普拉斯变换四、拉普拉斯变换的性质四、拉普拉斯变换的性质 )()(saFtafL)()()()(2121sFsFtftfL1. 线性性质 齐次性：设 则

4、拉普拉斯变换的性质拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性叠加性：设)()(11sFtfL)()(22sFtfL则)()(sFtfL)()(sFtfL2.微分定理设可得各阶导数的拉氏变换为) 0() 0() 0() 0()()() 0() 0()()() 0()()() 1()2(21222nnnnnnnfsffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL拉普拉斯变换的性质特别地,当(1)(0)(0)(0)(0)0nffff时,)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn拉普拉斯变换的性质3.积分定理)()(sFtfL设原函数

5、 积分的拉氏变换为:)(tfsdttfssFdttfLt0)()()(拉普拉斯变换的性质4.时滞定理)(tf)(TtfT)()(sFtfL设平移函数的拉氏变换0)()()(sFedteTtfTtfLsTst拉普拉斯变换的性质若 且 存在5.初值定理)()(sFtfL)(limssFs则)(lim)(lim0ssFtfst6.终值定理若 ， 且 的所有极点全部在s平面的左半部。)()(sFtfL)(ssF则 的稳态值)(tf)(lim)(lim0ssFtfst拉普拉斯变换的性质例4.应用初值定理求 的原函数 的初始值2)2(1)(ssF)(tf)0(, )0(ff解：（1）求)0(f0441li

6、m)2(1lim)(lim)(lim)0(20ssssssFtffssst（2）求)0(f 0)2(1)0()()(2ssfssFtfL14411lim)2(lim)(lim)(lim)0(220ssssssFstffssst拉普拉斯变换的性质五五. . 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换根据拉普拉斯变换的定义 102js tjf tF s e dstj 右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦. 对于绝大多数控制系统，是按照下面方法求拉氏逆变换的。五. 拉普拉斯逆变换设的极点称为的零点称为)()()()(,)(1111101110sFpsFzpszsKmnasasasab

7、sbsbsbsFjinjjmiinnnnmmmm（1）只包含不相同极点时的逆变换)(tf因为各极点均互不相同，因此 可分解成为诸分式之和)(sF五. 拉普拉斯逆变换nnpsApsApsAsF2211)(式中， 为常数，称为 的留数。iAips)()(limsFpsAipsii即ipsiipssFA)(各项系数求出后，可按下式求原函数)(tftpntptpnnneAeAeApsALpsALpsALsFLtf212112211111)()(五. 拉普拉斯逆变换例5.求下列函数的拉氏逆变换。已知 ，求)2)(1(3)(ssssF)()(1sFLtf解：21)(21sAsAsF式中，21) 1()2)

8、(1(31sssssA12)2()2)(1(32sssssA022112)()(211teessLsFLtftt五. 拉普拉斯逆变换（2）包含共轭复极点时的逆变换如果 有一对共轭复极点，则可以利用下面的展开式简化运算。)(tf)(sF设 为共轭复极点21, pp nnpsApsApspsAsAsF332121)()(式中， 的计算可根据21, AA11)()()(2121pspsAsApspssF五. 拉普拉斯逆变换例6.) 1(1)(2sssssF)()(1sFLtf求解：1) 1(1)(22102ssAsAsAsssssF确定各待定系数111)(0200sssssssFAjsjsAsAss

9、ssss232121232122)() 1() 1(1得0121AA五. 拉普拉斯逆变换223222322)() 5 . 0(5 . 0)() 5 . 0(5 . 0111)(sssssssssF)23sin(3323cos1)(5 . 05 . 0tetetftt（3）包含有 个重极点时的逆变换)(tfr)()()()()()(21021nrrrmpspspspszszszsKsF将上式展开成部分分式nnrrrrrpsApsApsApsApsAsF11001002001)()()(五. 拉普拉斯逆变换上式中，000)()()!1(1)()()()(0110002001psrrrrpsrpsr

10、sFpsdsdrAsFpsdsdAsFpsA五. 拉普拉斯逆变换2)2)(1(3)(ssssF例7.)()(1sFLtf求解：12)2()(3221sAsAsAsF2) 1()2)(1(32)2()2)(1(31)2()2)(1(312322222221sssssssAssssdsdAssssA1222)2(1)(2ssssFttteetesFLtf22)()(221五. 拉普拉斯逆变换六.常系数线性微分方程的拉普拉斯变换 解法 利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.应用例例8 8 求微分方程 满足初始