2018寒假半角模型

1、半角模型过等腰 ABC（AB=AC）顶角 A 引两条射线且它们的夹角为A，这两条射线与底角顶点的相关直线交于 M、N两点，则 BM、MN、NC之间必然存在固定的关系，这种关系仅与两条相关直线及顶角 A 相关解决办法：以 A 为中心，把 CAN（顺时针或逆时针）旋转度，至 ABN，连接 MN结论： 1、 AMN AMN， MN=MN2、若 BM、MN、 NB共线，则存在 x+y+z 型的关系若不共线，则 BMN中， MBN必与 A 相关应用环境：1、顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为 30°、 45°、 60°、75° 90°，或它们的补角为这些

2、特殊角度的时候；2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形3、过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边4、此等腰三角形的相关弦半角模型1且1800.条件：2思路：（ 1）、延长其中一个补角的线段（延长 CD到 E，使 ED=BM，连 AE或延长 CB到 F，使 FB=DN，连 AF）结论：MN=BM+DNC CMN2AB AM、AN分别平分 BMN和DNM（2）对称（翻折）思路 : 分别将 ABM和 ADN以 AM和 AN 为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线 . （B+D=1800 且 AB=AD

3、）例题应用：例1、在正方形 ABCD中，若 M、 N分别在边 BC、CD上移动，且满足 MN=BM+DN，求证： . 45MAN= . C CMN 2AB . AM、AN分别平分 BMN和DNM.思路同上略 .例 2 拓展：在正方形 ABCD中，已知 MAN=45 ，若 M、N分别在边 CB、DC的延长线上移动，. 试探究线段 MN、BM、DN之间的数量关系 . . 求证： AB=AH.（提示）例 3. 在四边形 ABCD中，B+D=180 ，AB=AD，若 E、F 分别在边 BC、EAF1BAD.CD上，且满足 EF=BE+DF.求证：2（提示）例 4，在 ABC中， AB=AC， BAC=

4、2DAE=120°，若 BD=5， CE=8，求 DE。例五 . 请阅读下列材料：已知：如图1 在 Rt ABC 中，BAC90 ， ABAC ，点 D 、 E 分别为线段 BC 上两动点，若DAE45 探究线段 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间的数量关系小明的思路是：把AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 ，得到ABE ，连结 E D ，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（ 1）猜想 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（ 2）当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，

5、中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明AACDCBDEBE图1图 2例6探究：（ 1）如图 1，在正方形 ABCD中， E、 F 分别是 BC、 CD上的点，且 EAF45°，试判断 BE、DF 与 EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（ 2）如图 2，若把 (1) 问中的条件变为“在四边形ABCD中， AB AD， BD180°， E、F 分别是边 BC、 CD上的点，且 EAF=1 BAD”，则（ 1）问中的2结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（ 3）在（ 2）问中，若将 AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点分别E、F

6、运动到 BC、CD延长线上时，如图 3 所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明 .练习巩固 1：如图，在四边形中，=90，若、ABCDB=DAB=ADE1BAD .F 分别在边 BC、CD 上的点，且EAF2. 求证： EF=BE+DF.（提示）练习巩固 2，已知：正方形 ABCD 中，MAN45 ，绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点M、N（ 1）如图1，当MAN绕点A 旋转到BMDN时，有 BMDNMN当MAN绕点A 旋转到BMDN时，如图2，请问图1 中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理

7、由；（ 2）当 MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM ，DN 和 MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明ADADADNNBMCBMCMBCN练习巩固 3如图，在四边形 ABCD 中， ABAD ,BD90，E, F分别是(1)边 BC,CD 上的点，且1BEFD ;EAF =BAD 求证： EF2ADFBEC(2) 如图在四边形 ABCD 中， AB AD, B+D 180 ， E, F 分别是边 BC,CD 上的点，且 EAF1中的结论是否仍然成立？不用证明BAD ， (1)2ADFBEC(3) 如图，在四边形ABCD中， ABAD ，分别是边BC ,CDBAD

8、C 180E ,F延长线上的点，且 EAF1， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证BAD2明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明FADBCE（ 4）如图， 将边长为 4cm的正方形纸片 ABCD沿 EF 折叠（点 E、F 分别在边 AB、CD上），使点 B 落在 AD边上的点 M处，点 C 落在点 N 处， MN与 CD交于点 P，连接 EP（ 1）如图，若 M为 AD边的中点， AEM的周长 =6cm；求证： EP=AE+DP；（2）随着落点 M在 AD边上取遍所有的位置（点 M不与 A、D 重合）， PDM的周长是否发生变化？请说明理由（ 5） . 如图 17，正方形 ABC

9、D，E、F 分别为 BC、CD边上一点（ 1）若 EAF=45o 求证： EF=BE+DF（ 2）若 AEF绕 A 点旋转，保持 EAF=45o ，问 CEF的周长是否随 AEF位置的变化而变化？（ 3）已知正方形 ABCD的边长为 1，如果 CEF的周长为 2求 EAF的度数练习巩固 4. 如图，五边形 ABCDE中， AB=BC=CD=DE=EA， CAD1BAE ，求2 BAE练习巩固 5. 如图，已知在正方形ABCD中，MAN=45°，连接 BD与 AM， AN分别交于 E、 F 两点。求证：（1）MN=MB+DN；（2）点 A 到 MN的距离等于正方形的边长；（3）CMN的

10、周长等于正方形ABCD边长的 2 倍；（4）S ABCD2AB；S CMNMN（5）若MAB=20°，求AMN；（6）若 MAB045 ，求AMN；（7） EF2EB2DF2 ；（8）AEN与AFM是等腰三角形；（9）SAEF1 。SAMN2练习巩固 6. 在等边ABC 的两边 AB ， AC 所在直线上分别有两点 M ，N ，D 为ABC 外一点，且 MDN60 ， BDC 120 ， BD CD ，探究：当点 M ，N 分别爱直线 AB ，AC 上移动时， BM ，BN ，MN 之间的数量关系及AMN 的周长 Q 与等边ABC 的周长 L 的关系NAAAMNNMBBCBCCMDD

11、D图图图（ 1）如图，当点 M ，N 在边 AB ，AC 上，且 DMDN 时， BM ，NC ，MN 之间的数量关系式 _；此时 Q_L（ 2）如图，当点 M ，N 在边 AB ，AC 上，且 DMDN 时，猜想 (1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（ 3）如图，当点 M ，N 分别在边 AB ，CA 的延长线上时，若 ANx ，则 Q_(用 x ，L 表示 )练习巩固 7. 如图所示， ABC是边长为 1 的等边三角形， BDC是顶角为 120° 的等腰三角形，以 D为顶点作一个 60°的 MDN，点 M，N分别在 AB，AC上，求 AMN的周长练习巩固

12、 8. 如图，在正方形 ABCD中， BE=3，EF=5，DF=4，求 BAE+ DCF为多少度。巩固练习 9、（三新练习册 P131）如图 1，RtABCRt EDF，ACB= F=90°， A= E=30° EDF绕着边 AB的中点 D旋转， DE，DF分别交线段 AC于点 M，K(1) 如图 2、图 3，当 CDF=0° 或 60°时， AM+CK_MK( 填“ >”，“ <”或“=”) 如图 4，当 CDF=30° 时， AM+CK_MK( 只填“ >”或“ <”) (2) 猜想：如图 1，当 0° C

13、DF60°时， AM+CK_MK，证明你所得到的结论(3) 如果MK2CK2AM2 ，请直接写出的度数和 MK 的值CDFAM* 必会结论 -图形研究正方形半角模型【例】已知：正方形 ABCD ， E 、 F 分别在边 BC 、 CD 上，且 EAF 45 ，AE、 AF分别交 BD于H 、G，连 EF.一、全等关系（1）求证： DFBE EF； DG2BH HG2； AE 平分BEF ， AF 平分 DFE .二、相似关系（2）求证： CE2DG ； CF2BH ； EF2HG .（3）求证： AB2BG DH ； AG2BG HG ； BEDF1 .CECF2三、垂直关系（4）求

14、证：AGEG ；AHFH；tanHCFABBE.（5) 、和差关系求证：BGDG2BE ；ADDF2DH ；| BEDF |2|BHDG |.中考链接 -正方形二相关题型 - 半角模型1，（2016 石景山 28）在正方形 ABCD中， E 为边 CD上一点，连接 BE（ 1）请你在图 -1 画出 BEM，使得 BEM与 BEC关于直线 BE对称；（ 2）若边 AD上存在一点 F，使得 AF+CE=EF，请你在图 2 中探究 ABF与CBE的数量关系并证明；（ 3）在（ 2）的条件下，若点 E 为边 CD的三等分点，且 CE<DE，请写出求cosFED的思路（可以不写出计算结果 ）BAB

15、ABAFCEDCEDCD图 1图 2备用图答案石景山 28（1）补全图形，如图1 所示BAM1 分CED（2）ABF 与证明：连接 BFCBE 的数量关系：ABF， EF ，延长 DC 到G，使得四边形 ABCD 为正方形，CBECGAF45 2分，连接 BG 3分BA ABBC ，ABCDABC90 BAF BFBG，BCG ABFCBG F AFCEEF ， EFGE 4 分 GCED BEF BEG FBE = MBEABFCBE ABFCBE45 5 分（ 3）求解思路如下：a设正方形的边长为 3a ， AF 为 x ，则 EF xa ， DF 3ax ；b在 Rt EFD 中，由 E

16、F 2DF 2DE2 ,可得 x23a22ax2a从而得到 x 与 a 的关系 2x3a ；c根据 cos FED DE2a ，可求得结果 7 分EFxa2，（2016 门头沟 28）在正方形 ABCD中，连接 BD（1）如图 1，AEBD于 E直接写出 BAE的度数（ 2）如图 1，在（1）的条件下，将 AEB以 A 旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到 AB'E' ，AB'与 BD交于 M，AE'的延长线与 BD交于 N 依题意补全图 1； 用等式表示线段 BM、 DN和 MN之间的数量关系，并证明（ 3）如图 2，E、F 是边 BC、CD上的点

17、， CEF周长是正方形 ABCD周长的一半， AE、AF分别与 BD交于 M、 N，写出判断线段 BM、DN、 MN之间数量关系的思路（不必写出完整推理过程）ADADENFMBCB EC门头沟 28（本小题满分 7 分）解：（1）BAE°1分=45（2） 依题意补全图形（如图 1）；2222分 BM、DN和 MN之间的数量关系是 BM+ND=MN 3分AFB证明：如图 ，将 AND绕点 A 顺时针旋转90°，得1ADB FBA， ，DN BF，AF AN=1= 3=正方形ABCD AEBD， ， ADB= ABD=45°FBM=FBA+ ABD=ADB+ABD=9

18、0°AD3E'1 2N222由勾股定理得 FB BM FM+=E旋转 ABE得到 AB'E' ，FM E'AB' =45°，B'B图 1C 2+3=90° 45°=45°，又 1= 3，AD 2+1=45°即FAM=45° FAM=E'AB' =45°NFAMAM，AF AN，M又=AFMANMGBECFM MN=图 2222FB BM FM，又+=222DN BM MN+= 5分（3）判断线段 BM、 DN、MN之间数量关系的思路如下：a如图 ，将A

19、DF绕点 A 瞬时针旋转°得 ABG，推出 DF GB；290=b由 CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，得EF DF BE；c 由 DF GB和EF DF BE推出= +EF GE，进而得AEG AEF；=+=d由AEG AEF推出 EAF= EAG=45°；222e与同理， 可证 MN BM DN=+7分3（. 2016一模（ ）如图1，点 E、 F 分别是正方形 ABCD的边 BC、 CD上的点，1 EAF=45°，连接 EF，则 EF、BE、 FD之间的数量关系是： EF=BE+FD连结 BD，交 AE、 AF于点 M、N，且 MN、BM、DN满足 MN 2BM 2DN 2 ，请证明这个等量关系；（ 2）在 ABC中， AB=AC，点 D、E 分别为 BC边上的两点如图 2，当 BAC=60°， DAE=30°时， BD、DE、EC应满足的等量关系是_；如图3，当BAC，(0°<°，DAE1时， BD、 DE、EC应满足的=<90 )=2等量关系是 _【参