周期函数傅里叶级数

1、Fourier series周期函数的傅里叶级数周期函数的傅里叶级数 上一节详细研究了一种重要的函数项级数上一节详细研究了一种重要的函数项级数: :幂级数幂级数. . 下面研究另一种重要的函数项级数下面研究另一种重要的函数项级数: :这种级数是由于这种级数是由于研究周期现象的需要而研究周期现象的需要而产生产生的的.它在电工、力学和许多学科中都有很它在电工、力学和许多学科中都有很重要的应用重要的应用.傅里叶傅里叶级数级数. .傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 1757年年, 法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时时,

2、 大胆地采用了大胆地采用了三角级数三角级数表示函数表示函数:,cos2)(10 nnnxAAxf 1759年年, 拉格朗日在对声学的研究中也使用了拉格朗日在对声学的研究中也使用了三三角级数角级数. 1777年年, 欧拉在研究天文学的时候欧拉在研究天文学的时候, 用三角用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角级数时的系函数的正交性得到了将函数表示成三角级数时的系数数, 也就是现今教科书中傅里叶级数系数也就是现今教科书中傅里叶级数系数.历史朔源历史朔源 20dcos)(21xnxxfAn 在历史上在历史上, 三角级数的出现和发展与求解微分方三角级数的出现和发展与求解微分方程是分不开的程是分不开的.

3、 1753年年, 丹丹 贝努利首先提出将弦振动贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为三角级数的形式方程的解表示为三角级数的形式, 这为函数的傅里叶这为函数的傅里叶展开这个纯数学问题奠定了物理基础展开这个纯数学问题奠定了物理基础, 促进了分析学促进了分析学的发展的发展. 1822年年, 傅里叶在傅里叶在热的解析理论热的解析理论一书中对一书中对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的特殊的情形所采用于欧拉和贝努利等人就一些孤立的特殊的情形所采用的三角级数方法进行加工处理的三角级数方法进行加工处理, 发展成一般理论发展成一般理论.傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数在自然界和人类的生产实践中在自然界和人类的生

4、产实践中, 周期运动很常见周期运动很常见.如行星的飞转如行星的飞转, 飞轮的旋转飞轮的旋转, 蒸气机活塞的往复运动蒸气机活塞的往复运动,数学上数学上, 用周期函数来描述它们用周期函数来描述它们. 最简单最基本最简单最基本的周期函数是的周期函数是)sin( tA谐函数谐函数周期周期 2振幅振幅时间时间角频率角频率初相初相 简谐波简谐波 简谐振动简谐振动正弦型函数正弦型函数傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数物体的振动物体的振动, 声、光、电的波动等声、光、电的波动等.问题的提出问题的提出如矩形波如矩形波 tttu0 , 10 , 1)(当当当当除了正弦函数外除了正弦函数外,常遇到的是常遇到的是

5、非正弦周期函数非正弦周期函数,傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数Otu11 tusin4 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数11 Otu 2 22 2 23 23 Otu11 )3sin31(sin4ttu 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数Otu11 2 22 2 23 23 Otu11 )5sin513sin31(sin4tttu 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数Otu11 2 22 2 23 23 Otu11 )7sin715sin513sin31(sin4ttttu 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数Otu11 2 22 2 23 23 Otu11 )9sin91

6、7sin715sin513sin31(sin4tttttu 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数Otu11 2 22 2 23 23 Otu11 12)9sin917sin715sin513sin31(sin4 ttttt )0 ,( tt 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数Otu11 tttu0 , 10 , 1)(当当当当 把一个周期运动把一个周期运动 (如矩形波如矩形波) 分解为简谐振动的分解为简谐振动的迭加迭加, 反映在数学上反映在数学上, 是把一个周期函数是把一个周期函数 f(t) 表示为表示为各类正弦函数的迭加各类正弦函数的迭加, 即即 10)sin()(nnntnAAtf

7、谐波分析谐波分析即即 10)sincoscossin()(nnnnntnAtnAAtf 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb . xt 三角级数三角级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 函数函数 f (t) 满足什么条件满足什么条件,系数系数nnbaa,0才能展为才能展为如何确定如何确定?).( 2 ,xf为为周周期期的的函函数数考考虑虑以以为为简简便便计计 1 三角级数三角级数?傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数, 1基本三角函数系的正交性基本三角函数系的正交性

8、的的正交性正交性是指是指:其中任何两个其中任何两个不同的函数的乘积不同的函数的乘积,上的积分为零上的积分为零 在一个周期长的区间在一个周期长的区间 而任而任一个函数的自乘一个函数的自乘 (平方平方) 在在 ,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cosnx,sinnx . ,上的积分非零上的积分非零 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数(orthogonality)基本三角函数系基本三角函数系nmxnxmx , 0dsinsin 0dcossin xnxmx , 2 , 1 , nm其中其中 xnxdcos2 xnxdsin2 xnxmxdcoscos傅里叶傅里叶(Fourie

9、r)级数级数, 1,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cosnx,sinnx0dsin1dcos1 xnxxnx,2d12 x傅里叶系数傅里叶系数 (Fourier coefficient) 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf设设有有. )1(0a求求 0a xxfad)(10 xad20三角函数系的正交性三角函数系的正交性两边积分两边积分 1)dsindcos(kkkxkxbxkxa 0 0 xkxbkxaxaxxfkkkd )sincos(d2d)(10傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数. )2(na求求 xnxxfdcos)(dcossindcosc

10、os1 xnxkxbxnxkxakkk 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xnxandcos2 na ) , 3 , 2 , 1( dcos)(1 nxnxxfan 逐逐项项积积分分得得到到并并从从两两边边同同时时乘乘以以 cos nx xnxadcos20时非零时非零 nk 0 0 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数三角函数系的正交性三角函数系的正交性19. )2(nb求求 xnxxfdsin)(dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xnxbndsin2 nb ) , 3 , 2 , 1( d

11、sin)(1 nxnxxfbn 逐项积分得逐项积分得到到并从并从两边同时乘以两边同时乘以 in nxs xnxadsin200 0 时非零时非零 nk 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数三角函数系的正交性三角函数系的正交性的傅里叶级数的傅里叶级数设设)( ,)(2 xxxxf则则展开式为展开式为)sincos(210nxbnxaannn ).(3 b系数系数 32 xnxxfbndsin)(1解解由由傅里叶系数公式傅里叶系数公式, 3 n xxxxbd3sin)(123 xxxxxxd3sind3sin12dxxx 3sin 32 偶偶奇奇 02傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数0 )

12、 , 2 , 1(,dsin)(1) , 2 , 1 , 0( ,dcos)(1 nxnxxfbnxnxxfann其其中中函数函数 f (x) 的的傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数. 2/3 , 2/ ,2 0, , 2 等等例例如如的的值值不不变变与与的的区区间间任任一一个个长长度度为为定定积积分分的的积积分分区区间间换换成成 nnba注注称为函数称为函数 f (x) 的的傅里叶系数傅里叶系数.函数函数 f (x)的的傅里叶级数傅里叶级数常记为常记为f (x) 10)sincos(2nnnnxbnxaa注注f (x) 的傅

13、里叶级数不见得收敛；的傅里叶级数不见得收敛； 即使收敛，即使收敛，级数的和也不一定是级数的和也不一定是 f (x).不能无条件的不能无条件的傅里叶级数收敛定理傅里叶级数收敛定理解决了这些问题解决了这些问题.所以所以,把符号把符号“ ”它的傅里叶级数收敛，它的傅里叶级数收敛，当当 f (x) 满足什么条件时，满足什么条件时，并收敛于并收敛于 f (x) 本身本身.换为换为“=”.傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数狄利克雷狄利克雷 (Dirichlet) 收敛定理收敛定理满满足足为为周周期期的的函函数数是是以以设设 , 2 )( xf;)1(有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点在在一一个个

14、周周期期内内连连续续或或只只.)2(在一个周期内逐段单调在一个周期内逐段单调傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 , )( ,2)()( )( ),()(的第一类间断点的第一类间断点为为若若的连续点，的连续点，为为若若xfxxfxfxfxxfxs, )( 的傅里叶级数处处收敛的傅里叶级数处处收敛则则xf且且. )( )( 的傅里叶级数的和函数的傅里叶级数的和函数为为其中其中xfxs(1) 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成(2) 周期函数的三角级数展开是唯一的周期函数的三角级数展开是唯一的, 就是就是(3) 要注明要注明傅氏级数的和函数与函数傅氏级数的和函数

15、与函数 f (x) 相等相等注注幂级数的条件低得多幂级数的条件低得多;其傅里叶级数其傅里叶级数;傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数的的 x 的取值范围的取值范围.解解, )( 满足狄利克雷条件满足狄利克雷条件函数函数xf因为因为)( f)( f收收敛敛于于的的傅傅里里叶叶级级数数在在点点所所以以 )( xxf2)()( ff,1)1(lim22 xx, 1)1(lim x22 , 0 ,1, 0 , 1)( 2 2时时当当时时当当的的函函数数周周期期为为 xxxxf_. 处处收收敛敛于于的的傅傅里里叶叶级级数数在在 x傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数)( f周期函数的周期函数的傅里叶

16、级数解题程序傅里叶级数解题程序并验证是否满足狄氏条件并验证是否满足狄氏条件(画图目的画图目的: 验证狄氏条件验证狄氏条件;由图形写出收敛域由图形写出收敛域;易看出奇偶性可减少求系数的工作量易看出奇偶性可减少求系数的工作量);(2) 求出傅氏系数求出傅氏系数;(3) 写出傅氏级数写出傅氏级数, 并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于 f (x).傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数(1) 画出画出 f (x)的图形的图形,解解u(t) 的图象的图象 计算傅里叶系数计算傅里叶系数 tnttudcos)(1) , 2 , 1 , 0( n奇奇0 的傅里叶级数的傅里叶级数.例例傅里叶傅里叶(Fou

17、rier)级数级数OtumEmE 0 ,0 ,)( 2 tEtEtumm 的矩形脉冲波的矩形脉冲波求周期为求周期为 xnxxfandcos)(1 tnttubndsin)(1)cos1(2 nnEm )1(1 2nmnE 偶偶 tntEmdsin 0cos2ntnEm ,4 nEm, 0 , 5 , 3 , 1 n , 6 , 4 , 2 n02 tnnEtunm)12sin(1214)(1 )5sin513sin31(sin4 tttEm 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数故故 u(t) 的傅里叶级数为的傅里叶级数为时时当当 kt 由于由

18、于u(t)满足狄利克雷条件满足狄利克雷条件,), 2, 1, 0(处不连续处不连续在点在点 kkt 2mmEE 收敛于收敛于2)(mmEE 0 所以所以tnnEnm)12sin(12141 ),(tu时时当当 kt , 0tnnEtunm)12sin(1214)(1 ),2, 0;( tt傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数u(t)的图象的图象OtumEmE 和函数图象和函数图象OtumEmE 且且为周期为周期以以函数函数 , 2 )( xf ,0, 0, 0,)( xxxxf解解 计算傅里叶系数计算傅里叶系数 xxfad)(10 0d1 xx2 例例傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数

19、2 3 2 3Oxy将将 f (x) 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数. f (x) 的图象的图象 xnxxfandcos)(1 0dcos1 xnxx)cos1(12 nn 02cossin1 nnxnnxx ,22 n, 0, 5 , 3 , 1 n;, 6 , 4 , 2 n)1(1 12nn xnxxfbndsin)(1 0dsin1 xnxx02sincos1 nnxnnxxnn cos .)1(1nn 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 112sin)1(cos)1(114nnnnxnnxn )(xf傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数故故 f (x) 的傅里叶级数的傅里叶级

20、数 ,22 n, 0, 5 , 3 , 1 n;, 6 , 4 , 2 nna.)1(1nbnn )3sin313cos32(2xx x2sin21 x4sin41 )5sin515cos52(2xx )sincos2(4xx 由于由于 f (x) 满足狄利克雷充分条件满足狄利克雷充分条件, ) , 2 , 1 , 0( )12( 处处不不连连续续在在点点 kkx 2)()( ff收收敛敛于于).( )12( xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 220 由收敛定理由收敛定理得得傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 2 3 2 3Oxy的图象的图象)(xf和和函函数数的的图图象象2 2

21、 3 2 3Oxy )(xf)3sin313cos32(2xx x2sin21 x4sin41 )5sin515cos52(2xx ). ,3 , ;( xx)sincos2(4xx 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数:)( )( )1(xFxf作周期延拓得周期函数作周期延拓得周期函数对函数对函数(2) F(x) 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数;注注, ; )( , )()3(的傅里叶级数展开式的傅里叶级数展开式内便是内便是的傅里叶级数限制在的傅里叶级数限制在xfxF , )4(处处 x作作 法法傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数对于非周期函数对于非周期函数,如果如果 f (x)只在

22、区间只在区间上有定义上有定义, 并且满足狄氏充分条件并且满足狄氏充分条件,也可展开成也可展开成傅氏级数傅氏级数.).()(21 ff级数收敛于级数收敛于 2 )( ),()( ), 周周期期为为且且内内在在xFxfxF 解解, 例例 将函数将函数 xxxxxf0 ,0 ,)(展开为傅氏级数展开为傅氏级数.延拓后的周期函数延拓后的周期函数连续连续, 其傅氏级数展开式在其傅氏级数展开式在 xxfad)(10 0d2xx下面计算傅里叶系数下面计算傅里叶系数.傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数Oxy 2 2 收敛于收敛于 f (x). xnxxfandcos)(1)1(cos22 nxn 1)1(

23、22 nn |x|x|xf ,)( 0dcos2xnxx偶函数偶函数 , 6 , 4 , 2, 0 , 5 , 3 , 1,42nnn xnxxfbndsin)(10 奇函数奇函数傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 12)12cos()12(142)(nxnnxf )( x所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为)5cos513cos31(cos4222 xxx 利用傅氏展开式求级数的和利用傅氏展开式求级数的和, 0)0( , 0 fx时时当当 222513118 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 |x|x|xf ,)(,4131211222 设设8513112221 ,6141

24、212222 22234131211 42 ,242 21 ,62 .122 ,421 312 3 21 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 2 )( 2 ,2 ,)( 以以写写出出设设xf|x|/x/|x|xxf 为周期的傅氏级数的为周期的傅氏级数的和函数和函数 s(x) 在在 上的上的, 解解s(x) =, x 2 x, x x2, 0 ,2x傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数表达式表达式. 由由 f (x) 周期延拓后的函数图像可知周期延拓后的函数图像可知,61212 nn 已知级数已知级数 则级数则级数 的和的和 12121nn等于等于82 12216nn 12)12(1nn

25、1212141)12(1nnnn解解641)12(1212 nn 222241312111 12)2(1nn8)12(1212 nn所以所以,傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数由奇函数与偶函数的积分性质由奇函数与偶函数的积分性质系数的公式系数的公式,易得下面的结论易得下面的结论.和傅里叶和傅里叶 na nb此时称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为nxbnnsin1 即即 xnxxfandcos)(1), 2 , 1 , 0( n0), 2 , 1( n xnxxfbndsin)(12 0 xnxxfdsin)( (sine series)正弦级数正弦级数,傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数

26、sine series and cosine series四、正弦级数和余弦级数四、正弦级数和余弦级数它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为,)( 2 . 1展展成成傅傅里里叶叶级级数数时时的的奇奇函函数数当当周周期期为为xf nb此时称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为nxaann 10cos2即即), 2 , 1( n), 2 , 1( n na 0dcos)(2xnxxf xnxxfandcos)(1 xnxxfbndsin)(10注注将函数展为傅里叶级数时将函数展为傅里叶级数时,先要考查函数先要考查函数这是非常有用的这是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性, 0a 0d)(2xxf(cosine

27、 series)余弦级数余弦级数,傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为,)( 2 . 2展成傅里叶级数时展成傅里叶级数时的偶函数的偶函数当周期为当周期为xf xxxxxf0,0,)(2 的函数的函数试将周期为试将周期为解解 函数的图形如图函数的图形如图,电学上称为电学上称为 偶函数偶函数 0a 0d)(2xxf 0d2xx 0dcos)(2xnxxfan)1(cos22 nxn 1)1(22 nn 0dcos2xnxx的的图图象象)(xf例例展为傅里叶级数展为傅里叶级数.锯齿波锯齿波.傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数Oxy 2 2 3 , 6 , 4 ,

28、 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn ,)(处处连续处处连续由于由于xf所所以以 12)12cos()12(142)(nxnnxf x xxx5cos513cos31cos4222 0 nbnxaann 10cos2余弦级数余弦级数傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数Oxy 2 2 3解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.为为周周期期的的是是以以时时 2)()12(xfkx ), 2 , 1 , 0(, 0 nan奇函数奇函数傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 2 2 3 3xyO设设 f (x)是周期为是周期为 的周期函数的周期函数,它在它在例例 2上上

29、), 上的表达式为上的表达式为,)(xxf 将将 f (x)展开成傅氏级数展开成傅氏级数. f (x)的图形的图形2)0()0( ff收敛于收敛于2)( , 0 ),()12(xfkxx处收敛于处收敛于在连续点在连续点 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin2xnxx 02sincos2nnxnnxx nncos2 1)1(2 nn), 2 , 1( n,), 2, 1, 0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数的图形的图形)(xf 2 2 3 3xyO和函数图象和函数图象 2 2 3 3xyO)3sin312sin21(sin2)( xxxxf

30、 11sin)1(2nnnxn),3,;( xxnxbnnsin1 正弦级数正弦级数1)1(2 nnnb), 2 , 1( n傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数例例 在无线电设备中在无线电设备中,常用电子管整流器将交流电常用电子管整流器将交流电转换为直流电转换为直流电.已知电压已知电压t为时间为时间试将试将E(t)展为傅氏级数展为傅氏级数.|sin|)(ttE 解解为为)(tE, 0 nb), 2 , 1( n在整个数轴上连续在整个数轴上连续.ttad |sin|200 04dsin2tt偶函数偶函数, ,傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 2 21tEO所给函数满足狄利克雷充分条件，

31、所给函数满足狄利克雷充分条件， 0dcossin2tnttan 01)1cos(1)1cos(1 ntnntn)1( nn为奇数为奇数n为偶数为偶数 01dcossin2ttta0 0d)1sin()1sin(1ttntn , 0.)1(42 n )( t (n=1时也对时也对)傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数)6cos3514cos1512cos31(42 ttt )(tE上上函函数数定定义义在在, 0 上上函数延拓到一个周期函数延拓到一个周期, 数数轴轴上上函函数数按按周周期期延延拓拓到到整整个个级级数数上上的的函函数数展展开开成成傅傅立立叶叶定定义义在在, 0 傅里叶傅里叶(Fou

32、rier)级数级数上上的的使使函函数数成成为为,. 1 上上有有上上的的函函数数延延拓拓到到把把, 0 上上的的使使函函数数成成为为,. 2 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓两种两种:正弦级数正弦级数.偶函数偶函数,奇函数奇函数,余弦级数余弦级数;傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数因而展开成因而展开成因而展开成因而展开成上有定义上有定义., 0 作法作法3. F(x)可展开为傅氏级数可展开为傅氏级数, 这个级数必定是这个级数必定是)()(xfxF 得到得到 f (x)的的正弦级数正弦级数 的展开式的展开式.上，上，在在限制限制, 0(. 4 x,( (偶函数偶函数)的的奇函数奇函数正弦级数正弦级数(余弦级数余弦级数)(余弦级数余弦级数)注注其实也不必真正实施这一手续其实也不必真正实施这一手续.傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 满足收敛定理的条件满足收敛定理的条件1. f (x)在在 2. 在开区间在开区间内补充定义内补充定义,得到定义在得到定义在上的函数上的函数F(x),),( 使它成为使它成为 在上在上)0 ,( 解解(1) 求正弦级数求正弦级数. .进行进行对对)(xf 0dsin)1(2xnxx)coscos1(2 nnn 0 nan22 , 5 , 3 , 1 nn2 , 6 , 4 , 2 n奇延拓奇延拓,nxbnnsin1 正弦级数正弦级数分别展开