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1、222164zyxf 为正定二次型为正定二次型22213xxf 为负定二次型为负定二次型一、正一、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念 ., , 0)(0;,00 0, 0,)( 1是是负负定定的的并并称称对对称称矩矩阵阵为为负负定定二二次次型型则则称称都都有有如如果果对对任任何何是是正正定定的的并并称称对对称称矩矩阵阵次次型型为为正正定定二二则则称称显显然然都都有有如如果果对对任任何何设设有有实实二二次次型型定定义义AfxfxAffxfxAxxxfT 例如例如第二节第二节 正定二次型正定二次型二、正(负)定二次型的判别.: 1个系数全为正它的标准形的件是为正定的充分必要条实二次型定理nAx

2、fxT, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa定理定理2 2 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即AA 正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质;,A, . 1 1T定定矩矩阵阵均均为为正正则则为为正正定定实实对对称称阵阵设设 AAA., . 2 矩阵矩阵也是正定也是正定则则阶正定矩阵阶正定矩阵均为均为若若BAnBA 例例1 1 判别二次型判别二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 能否正定能否正定.解解 的的矩矩阵阵为为321,xxxf,524212425 它的顺序主子式它的顺序主子式, 05 , 011225 , 01524212425 故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例2 2 判别二次型判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩阵为的矩阵为f, 0511 a, 026622522211

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