第四节向量的数量积与向量积ppt课件

1、第四节第四节 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积一、向量的数量积 引例 外力做功问题 由物理学可知，假设质点受外力F的作用，沿直线挪动，得到位移s.设位移方向与力的方向间的夹角为(F,s)，那么这个力所做的功W为 W=|F|s|cos(F,s).定义1 假设给定向量a，b，定义|a|b|cos(a,b)为向量a与b的数量积，记为ab，即 ab= |a|b|cos(a,b) ，又称之为点积.性质 两个非零向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为零.由数量积的定义可以证明 ab=ba， (a)b=a(b)=(ab) ( 为

2、一数量为一数量)， (a+b)c=ac+bc.假设a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，那么向量的数量积可以用向量的坐标来表示：)()(222111kjikjibazyxzyx.212121212121212121kkjkikkjjjijkijiiizzyzxz zyyyxy zxyxxx 由于i，j，k是相互垂直的根本单位向量，因此，1 , 1 , 1, 0 , 0 , 0, 0 , 0 , 0kkjjiijkkjikkiijji于是可得. 212121zzyyxxba由此可得知两个非零向量a，b垂直的充分必要条件的坐标表达式:. 0212121zzyyxx特别地，当a=b时，

3、有.|),cos(|22121212aaaaaaaazyx 留意到ab=|a|b|cos(a,b)，可知当a，b都是非零向量时，它们间夹角的方向余弦可以由坐标表达式表示为.222222212121212121|),cos(zyxzyxzzyyxxbababa例1 证明.)()(22bababa证 (a+b)(ab)bbabbaaa.2222bababbaa例2 知a=(3,0,1)，b=(2,1,3)，求ab，(a,b). 93) 1() 1(0)2(3ba 有,10) 1(03|222212121zyxa由于 且,|),cos(bababa,7035914109),cos(ba 因此.703

4、59arccos),(ba,143) 1()2(|222222222zyxb,212121zzyyxx ba由解例3 设a=2i+xjk，b=3ij+2k，且ab，求x.解 由于ab ，可知必有, 0212121zzyyxx即 23+x(1)+(1)2=0.整理得方程x+4=0，解方程得x=4.二 、两向量的向量积 引例 当用扳手拧螺母时，假设扳手沿逆时针方向转动，那么其螺母朝外挪动.假设扳手沿顺时针方向转动，那么螺母朝里挪动，而其挪动的间隔，取决于所施外力及扳手的臂的长短.其挪动的方向垂直于外力方向与扳手的臂所决议的平面.从力学上看螺母挪动取决于力矩M，而力矩又取决于力臂L和力F，且).,s

5、in(|FLFLM 定义2 由向量a，b可以作出向量c，使c满足以下三个条件：(2) ca，cb，(3)a，b，c成右手系，那么称c为a，b的向量积，记为c=ab，通常也称c为a，b的叉积.(1) |c|=|a|b|sin(a,b)， 对于OA，OB的向量积OC也可以给出几何解释：OC的模在数值上等于以OA，OB为两邻边的平行四边形的面积，而OC垂直于OA，OB所决议的平面，且OA，OB，OC成右手系.性质 两个非零向量平行的充分必要条件是它们向量积为零. 假设 ，可以导出ab的坐标表达式.),(),(222111zyxzyxba由向量积的定义可以证明：.)(),()(),()(),(cbca

6、cbabababababaab).()()()()()()()()(212121212121212121kkjkikkjjjijkijiiizzyzxz zyyyxy zxyxxx)()(222111kjikjibazyxzyx由于i，j，k为相互垂直的根本单位向量，可得知.,jkijikijkikjkijkjikkjjii0 00 00 0因此可得.)()()(122112211221kjibayxyxxzxzzyzy假设利用行列式的方式，上式可以写为方式记法. zyxzyx222111kjiba留意ab=0意味着. 0, 0, 0122112211221yxyxxzxzzyzy. ,212

7、121222zzyyxxzyx都不为零时，有当 当x2，y2，z2中有一个为零时，无妨设x2=0，而y2，z2不同时为零，那么商定x1=0，此时上述比例记法仍可以以为有意义.因此可以说假设a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，那么ab的充要条件为. 212121zzyyxx例4 设a=(0,1,2)，b=(2,1,1)，求与a和b都垂直的单位向量.解 令c=ab，由向量积的定义知c与a和b都垂直.112210kjic,24kjikji121012201121因此).24(211kjice所以与a和b都垂直的单位向量为ec，即).24(211)24(211kjikji与而与c同方向的单位向量 .| ccce,21)2()4() 1(|222c例5 知空间中的三点A(1,1,0)，B(2,1,3)，C(2,1,2)，求ABC的面积.解 由向量积的定义可以得到启发，作向量AB， AC，),2 , 2, 1 ()02 , 11, 12( ),3 , 0 , 3()03