湖南省长沙市2017届高三上学期期末数学试卷(理科).Word版含解析

1、可编辑版2016-2017学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1在复平面内，复数对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合A=1，2，3，B=x|x23x+a=0，aA，若AB，则a的值为（）A1B2C3D1或23将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为（）ABy=cos2xCy=cos2xD4九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节

2、容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）A升B升C升D升5如图是某几何体的三视图，其正视图、俯视图均为直径为2的半圆，则该几何体的表面积为（）A3B4C5D126二项式的展开式中（）A不含x9项B含x4项C含x2项D不含x项7A是抛物线y2=2px（p0）上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|=4时，OFA=120，则抛物线的准线方程是（）Ax=1By=1Cx=2Dy=28某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7iN，”设计程序框图如右，则判断框中可填入（）AxNBxNCxNDxN9在AB

3、C中，C=，AB=3，则ABC的周长为（）ABCD10函数y=ln|x|x2的图象大致为（）ABCD11P是双曲线C： =1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值为（）A1BCD12对于满足0b3a的任意实数a，b，函数f（x）=ax2+bx+c总有两个不同的零点，则的取值范围是（）AB（1，2C1，+）D（2，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（1+cosx）dx=14空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，

4、050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；大于300为严重污染一环保人士当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为为（该年为365天）15化简： =16平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，BAD=120，P是平行四边形ABCD内一点，且AP=1，若，则3x+2y的最大值为三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知数列an为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn中，b1=

5、1，b2=2，从数列an中取出第bn项记为cn，若cn是等比数列，求bn的前n项和18张老师 上班，有路线与路线两条路线可供选择路线：沿途有A，B两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为，若A处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇到绿灯，则全程所花时间为20分钟路线：沿途有a，b两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为，若a处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所化时间为15分钟（1）若张老师选择路线，求他20分钟能到校的概率；（2）为使张老师日常

6、上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？说明理由19如图，以A，B，C，D，E为顶点的六面体中，ABC和ABD均为正三角形，且平面ABC平面ABD，EC面ABC，EC=，AB=2（1）求证：DEAB；（2）求二面角DBEA的余弦值20如图，P是直线x=4上一动点，以P为圆心的圆经定点B（1，0），直线l是圆在点B处的切线，过A（1，0）作圆的两条切线分别与l交于E，F两点（1）求证：|EA|+|EB|为定值；（2）设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|FQ|=|BF|EQ|21已知函数f（x）=ex，a，f（x）为实数（1）当a0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0

7、，+）上存在极值点，且极值大于ln4+2，求a的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C2的方程为（cosmsin）+1=0（m为常数）（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）设P点是C1上到x轴距离最小的点，当C2过点P时，求m的值选修4-5：不等式选讲23已知f（x）=|xa|+|x3|（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）3的解集非空，求a的取值范围2016-2017学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，

8、每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1在复平面内，复数对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求【解答】解： =，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限故选：B2已知集合A=1，2，3，B=x|x23x+a=0，aA，若AB，则a的值为（）A1B2C3D1或2【考点】交集及其运算【分析】分别令a=1、2、3，求出B中方程对应的解，即可得出AB时a的取值【解答】解：a=1时，B中方程为x23x+1=0，其解

9、为无理数，AB=；a=2时，B中方程为x23x+2=0，其解为1和2，AB=1，2；a=3时，B中方程为x23x+3=0，无解，AB=；综上，a的值为2故选：B3将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为（）ABy=cos2xCy=cos2xD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律即可得解【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为y=sin2（x+）+=sin（2x+）=sin（2x+）故选：A4九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有

10、一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）A升B升C升D升【考点】等差数列的性质【分析】自上而下依次设各节容积为：a1、a2、a9，由题意列出方程组，利用等差数列的性质化简后可得答案【解答】解：自上而下依次设各节容积为：a1、a2、a9，由题意得，即，得，所以a2+a3+a8=（升），故选：A5如图是某几何体的三视图，其正视图、俯视图均为直径为2的半圆，则该几何体的表面积为（）A3B4C5D12【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中三视图，可得该几何体是一个

11、半径为1的半球，进而可得答案【解答】解：由已知中三视图，可得该几何体是一个半径为1的半球，其表面积S=3，故选：A6二项式的展开式中（）A不含x9项B含x4项C含x2项D不含x项【考点】二项式系数的性质【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：Tr+1=（1）rx123r，故x的次数分别为：12，9，6，3，0，3，6，因此不含x项故选：D7A是抛物线y2=2px（p0）上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|=4时，OFA=120，则抛物线的准线方程是（）Ax=1By=1Cx=2Dy=2【考点】抛物线的简单性质【分析】当|AF|=4时，OFA=120，结合抛物线的定义可求得p，进而

12、根据抛物线的性质求得抛物线的准线方程【解答】解：由题意BFA=OFA90=30，过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B如图，A点到准线的距离为：d=|AB|+|BC|=p+2=4，解得p=2，则抛物线的准线方程是x=1故选A8某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7iN，”设计程序框图如右，则判断框中可填入（）AxNBxNCxNDxN【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图结合程序框图的功能即可得解【解答】解：由于程序框图的功能是给定正整数N，求最小的正整数i，使得7iN，故xN时，执行循环体，当xN时，退出循环故选：C9在ABC中，C=，AB=3，则ABC的周长

13、为（）ABCD【考点】正弦定理【分析】设ABC的外接圆半径为R，由已知及正弦定理可求BC=2RsinA=2sinA，AC=2RsinB=2sin（A），进而利用三角函数恒等变换的应用化简可得周长=2sin（A+）+3，即可得解【解答】解：设ABC的外接圆半径为R，则2R=2，所以：BC=2RsinA=2sinA，AC=2RsinB=2sin（A），所以：ABC的周长=2（sinA+sin（A）+3=2sin（A+）+3故选：C10函数y=ln|x|x2的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】先判断函数为偶函数，再根据函数的单调性即可判断【解答】解：令y=f（x）=ln|x|x2，其定

14、义域为（，0）（0，+），因为f（x）=ln|x|x2=f（x），所以函数y=ln|x|x2为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D，当x0时，f（x）=lnxx2，所以f（x）=2x=，当x（0，）时，f（x）0，函数f（x）递增，当x（，+）时，f（x）0，函数f（x）递减，故排除C，方法二：当x+时，函数y0，故排除C，故选：A11P是双曲线C： =1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值为（）A1BCD【考点】双曲线的简单性质【分析】依题意，当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|

15、PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，从而可求得|PF1|+|PQ|的最小值【解答】解：设右焦点分别为F2，|PF1|PF2|=2，|PF1|=|PF2|+2，|PF1|+|PQ|=|PF2|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，可得l的方程为y=x，F2（），F2到l的距离d=1|PQ|+|PF1|的最小值为2+1故选D12对于满足0b3a的任意实数a，b，函数f（x）=ax2+bx+c总有两个不同的零点，则的取值范围是（）AB（1，2C1，+）D（2，+）【考点】函数零点的判定定理【分析】由题意可得=b24a

16、c0，于是c，从而=1+（）2，运用换元法和二次函数的最值的求法，结合恒成立问题的解法，即可得到所求范围【解答】解：由满足0b3a的任意实数a，b，函数f（x）=ax2+bx+c总有两个不同的零点，可得=b24ac0，于是c，从而=1+（）2，对任意满足0b3a的任意实数a，b恒成立令t=，由0b3a，可得0t3，则t2+t+1=（t2）2+2，当t=2时，取得最大值2，则t2+t+1（1，2故2故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（1+cosx）dx=【考点】定积分【分析】首先求出被积函数的原函数，代入积分上限和下限计算即可【解答】解：原式=（x+sinx）|=；故

17、答案为：14空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；大于300为严重污染一环保人士当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为为146（该年为365天）【考点】茎叶图【分析】根据该样本中AQI大于100的频数求出频率，由此估计该地全年AQI大于100的频率与频数【解答】解：该样本中AQI大于100的频数是4，频率为，由此估计该地全年AQI大于1

18、00的频率为，估计此地该年AQI大于100的天数约为365=146（天）故答案为：14615化简： =4sin【考点】三角函数的化简求值【分析】直接由三角函数的诱导公式化简计算得答案【解答】解： =4sin，故答案为：4sin16平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，BAD=120，P是平行四边形ABCD内一点，且AP=1，若，则3x+2y的最大值为2【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】根据，得出=1，利用基本不等式得出3x+2y的最大值【解答】解：，=9x2+4y2+2xy32（）=（3x+2y）233x2y（3x+2y）2（3x+2y）2=（3x+2y）2；又=1，即（3x+2

19、y）21，所以3x+2y2，当且仅当3x=2y，即x=，y=时，3x+2y取得最大值2故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知数列an为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn中，b1=1，b2=2，从数列an中取出第bn项记为cn，若cn是等比数列，求bn的前n项和【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由等差数列的通项公式，可得方程组，解得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得等比数列cn的公比，求得bn=（3n1+1），运用数列求和方法：分组求和，化

20、简整理，即可得到所求和【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由a2+a3=8，a5=3a2，可得2a1+3d=8，a1+4d=3（a1+d），解得a1=1，d=2，则an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1；（2）c1=a=a1=1，c2=a=a2=3，则等比数列cn的公比为3，则cn=c1qn1=3n1，又cn=a=2bn1，则bn=（3n1+1），设bn的前n项和为Sn，则Sn=（1+3+3n1+n）=（+n）=18张老师 上班，有路线与路线两条路线可供选择路线：沿途有A，B两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为，若A处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B处

21、遇到红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇到绿灯，则全程所花时间为20分钟路线：沿途有a，b两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为，若a处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所化时间为15分钟（1）若张老师选择路线，求他20分钟能到校的概率；（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？说明理由【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）走路线20分钟到校，意味着张老师在A、B处均遇到绿灯，由此能求出张老师选择路线，他20分钟能到校的概率（2）设选择khxg延误时间为随机变量，则的

22、所有可能取值为0，2，3，5，分别求出相应的概率，从而求出E=2；设选择路线延误时间为随机变量，则的可能取值为0，8，5，13，分别求出相应的概率，从而求出E=5由此求出为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线【解答】解：（1）走路线20分钟到校，意味着张老师在A、B处均遇到绿灯，张老师选择路线，他20分钟能到校的概率p=（2）设选择khxg延误时间为随机变量，则的所有可能取值为0，2，3，5，则P（=0）=，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=，E=设选择路线延误时间为随机变量，则的可能取值为0，8，5，13，P（=0）=，P（=8）=，P（=5）=，P（=13）=，E=5

23、选择路线平均所花时间为20+2=22分钟；选择路线平均所花时间为15+5=20分钟为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线19如图，以A，B，C，D，E为顶点的六面体中，ABC和ABD均为正三角形，且平面ABC平面ABD，EC面ABC，EC=，AB=2（1）求证：DEAB；（2）求二面角DBEA的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）设AB的中点为F，连结DF，CF，则DFAB，CFAB，从而AB平面CFD，推导出DFAB，从而DF平面ABC，由DFCE，能证明DEAB（2）以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角DBE

24、A的余弦值【解答】证明：（1）设AB的中点为F，连结DF，CF，ABC，ABD均为等边三角形，DFAB，CFAB，DFCF=F，AB平面CFD，平面ABC平面ABD，DFAB，DF平面ABC，EC平面ABC，DFCE，E平面DFC，DE平面DFC，DEAB解：（2）如图，以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），E（0，），D（0，0，），A（1，0，0），=（2，0，0），=（1，），=（1，0，），设平面ABE的法向量=（x，y，z），平面DBE的法向量=（a，b，c），则，取y=1，得=（0，1，2），取a=，得=（），设二面角DBEA的平面角为，则cos=，二面角DBEA

25、的余弦值为20如图，P是直线x=4上一动点，以P为圆心的圆经定点B（1，0），直线l是圆在点B处的切线，过A（1，0）作圆的两条切线分别与l交于E，F两点（1）求证：|EA|+|EB|为定值；（2）设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|FQ|=|BF|EQ|【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）设AE切圆于M，直线x=4与x轴的交点为N，则EM=EB，可得|EA|+|EB|=|AM|=4；（2）确定E，F均在椭圆=1上，设直线EF的方程为x=my+1（m0），联立，E，B，F，Q在同一条直线上，|EB|FQ|=|BF|EQ|等价于y1+y1y2=y2y1y2，利用韦达定理，即可证明结论【

26、解答】证明：（1）设AE切圆于M，直线x=4与x轴的交点为N，则EM=EB，|EA|+|EB|=|AM|=4为定值；（2）同理|FA|+|FB|=4，E，F均在椭圆=1上，设直线EF的方程为x=my+1（m0），令x=4，yQ=，直线与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my9=0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=E，B，F，Q在同一条直线上，|EB|FQ|=|BF|EQ|等价于y1+y1y2=y2y1y2，2y1y2=（y1+y2），代入y1+y2=，y1y2=成立，|EB|FQ|=|BF|EQ|21已知函数f（x）=ex，a，f（x）为实数（1）当a0时，求

27、函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，+）上存在极值点，且极值大于ln4+2，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出答案，（2）设极值点为x0，则极值为f（x0）=，多次构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可求出a的取值范围【解答】解：（1）f（x）=ex的定义域为（，0）（0，+），f（x）=ex+，a0，f（x）=ex+0恒成立，f（x）在（，0），（0，+）上单调递增，（2）由（1）可知，当a0时，f（x）在（，0），（0，+）上单调递增，函数无极值点，当a0时，f（x）在（0，+）上存在极值点，f（x）=ex+=设g（x）=x2ex+a，则g（x）=xex（2+x）0在（0，+）上恒成立，g（x）在（0，+）上单调递增，g（x）g（0）=a0，设极值点为x0，则极值为f（x0）=，由g（x0）=0，得a=x02ef（x0）=（x0+1）e令h（x）=（x+1）ex，h（x）=（x+2）ex，h（x）在（0，+）上单调递增，而f（x0）=（x0+1）eln4+2=2（ln2+1）=（ln2+1）eln2，x0ln2，令（x）=x2ex，x0ln2时