第三章--多维随机变量及其分布

1、第三章 多维随机变量及其分布§3.1 多随机变量及其联合分布内容概要1. 随机变量 如果是定义在同一个样本空间上的个随机变量,则称为随机变量,或元随机变量,或随机向量.2.联合分布函数 对任意的个实数,称为维随机变量的联合分布函数.二维随机变量的联合分布函数具有如下四条基本性质:(1) 单调性 分别对或是单调不减的.(2) 有界性 对任意的和,有,且 (3) 右连续性 对每个变量都是右连续的,即 .(4) 非负性 对任意的有.可以证明:具有上述四条性质的二元函数一定是某个二维随机变量的分布函数.3.联合分布列 如果只取有限个或可列个数对,则称为二维离散随机变量,称为的联合分布列,联合

2、分布列也可用如下表格形式表示:联合分布列的基本性质:(1)非负性: (2) 正则性:4.联合密度函数 如果存在二元非负函数,使得二维随机变量的分布函数可表示为 则称为二维连续随机变量,称为的联合密度函数.联合密度函数的基本性质:(1)非负性: , (2)正则性: (3)在偏导数存在的点上有 (4)为平面上的一个区域,则有 5. 多项分布 在次独立重复试验中,如果每次试验有个可能结果:,且每次试验中发生的概率为记为次独立重复试验中出现的次数,则服从多项分布,又称项分布,记为,其联合分布为其中.当时,即为二项分布.6.多维超几何分布 有个对象,共分类,其中第类对象有个,N=N1+N2+Nr,从中随

3、机取出个,若记为取出的个对象中第类对象的个数,则服从维超几何分布,其联合分布列为其中7. 多维均匀分布 设D为R中的一个有界区域，其度量(平面上为面积，空间为体积等)为SD，如果多维随机变量(X，X，X)的联合密度函数为则称(X,X,X)服从D上的多维均匀分布，记为(X，X，X)U(D).8. 二元正态分布 如果二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为则称(X,Y)服从二元正态分布,记为(X,Y)N其中E(X)=E(Y)=Var(X)=Var(Y)=-1习题与解答3.11. 一批产品中有一等品50%,二等品30%,三等品20%.从中有放回地抽取5件,以X、Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件

4、数,求(X,Y)联合分布列.解 这是一个三 项分布,若取出的5件中有件一等品、件二等品,则有件三等品,所以当时,有用表格形式表示如下：X Y012345行和00.000320.002400.00720.01080.008100.002430.0312510.004000.024000.05400.05400.020250.000000.1562520.020000.090000.13500.06750.000000.000000.3125030.050000.150000.11250.00000.000000.000000.3125040.062500.093750.00000.00000.0

5、00000.000000.1562550.031250.000000.00000.00000.000000.000000.03125列和0.168070.360150.30870.13230.028350.002431.00000注：行和就是X的分布B(5,0.5), 列和就是Y的分布B(5,0.3)4. 设随机变量Xi,i=1,2的分布列如下，且满足P(X1X2=0)=1,试求P(X1=X2) Xi-101P0.250.50.25解 记(X1,X2)的联合分布为X2 X1-101-1p11p12p130p21p22p231P31p32P33由P(X=0)=1知： , .即X2 X1-101-

6、10p1200p21p22p2310p320又因为0.25=P()=P()+P(=同理由 ,X2 X1-101-100.25000.25p220.25100.250又有分布列的规范性得 p22=0，于是(X1,X2)的联合分布列为X2 X1-101-100.25000.2500.25100.250从而 P(X1=X2)= p11 +p22 +p33=05. 设随机变量(X,Y)的 联合密度函数为试求：(1)常数k; (2) (3) (4)解 (1)由dx=8k=1,解得xOx+y=4y422图 3.1(2)(3)(4)由图3.1可得6.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 试求：(1) 常数；

7、(2) (X,Y)的联合分布函数F(x,y); (3) P(0<X)解 (1)由=12,所以 7设二维随机变量的联合密度函数为 试求=8设二维随机变量解 解得 k=6y=x2O11yxy=x(a)y=x2O1yx(b)y=x0.5y=x2O1yx(c)0.5y=x图 3.2又因为9.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为解：=6yx0.50.5O(a)11yx0.5O(b)11yx0.5O(c)11yxO(d)110.5x+y=1y=x图 3.3又因为P(x,y)的非零区域与y<0.5的交集为图3.3(c)阴影部分，所以(3)p(x,y)非零区域与x+y<1的交集为图3.3

8、(d)阴影部分，所以P(X+Y<1)=10.设随机变量Y服从参数为=1的指数分布，定义随机变量如下:求X1和X2的联合分布列。解 (X，Y)的联合分布列共有如下4种情况：=所以()的联合分布列为X2X10100.632120.0000010.232540.1353411.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为求yx11O图 3.42x+y=1yxO图 3.511x+y=1y=x0.50.5解 p(x,y)的非零区域与的交集为图3.4阴影部分，所以12. 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为试求解：p(x,y)的非零区域与的交集为图3.5阴影部分。所以P(X+Y1)= =13.设二维

9、随机变量(X，Y)的联合密度函数为p(x,y) 求X与Y中至少有一个小于0.5的概率。解 两事件X<0.5与Y<0.5中至少有一个发生的概率为P(X<0.5Y<0.5)=1-P(X)=1-14. 从(0,1)中随机地取两个数,求其积不小于,且其和不大于1的概率.解 设取出的两个数分别为X和Y,则(X,Y)的联合密度函数为xy=3/161/43/4O11yx图 3.6x+y=1因为p(x,y)的非零区域与xy3/16, x+y1的交集为图3.6阴影部分。所以PXY=15.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示下列概率：(1) P(a&l

10、t;Xb,c<Yd); (2) P (aX<b,cYd); (3) P(aXb,Y<c);(4) P(x=a,Y>b); (5) P(X<).解 (1)P(a<Xb,c<Yd)=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c).(2) P(aX<b,cYd)=P(X<b,Yd)+P(X<b,Y<c)+P(X<a,Yd)+P(X<a,Y<c)= F(b-0,d)-F(b-0,c-0 )-F(a-0,d)+F(a-0,c-0).(3) P(aXb,Y<c)=P(Xb,Y<c)-P(X<a,Y

11、<c) =F(b,c-0)-F(a-0,c-0).(4) P(x=a,Y>b)=P(Xa,Y<)-P(Xa,Yb)-P(x<a,Y+)+P(X<a,Y)=F(a,+)-F(a,b)-F(a-0,+)+F(a-0,b)(5)P(X<-,Y<+)=016.一个电子设备含有两个主要部件，分别以X和Y表示这两个主要部件的寿命(单位：h)。若设其联合分布函数为F(x,y)=试求这两个部件的寿命都超过120h的概率.解 所求概率为P(X>120,Y>120)=1-P(X 120) (Y 120) =1-P(X 120)-P(Y 120)+P(X 120

12、,Y 120) =1-F(120,+ )-F(+ ,120)+F(120,120) =1-(1- e -12)-(1- e -12)+(1-2 e -12 + e -24) = e -24=0.0907.这表明:两个主要部件的寿命都超过120h的概率为0.0907.3-62§3.2 边际分布与随机变量的独立性内容概要1. 边际分布函数 若二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),则称(x)=F(x,+)=F(x,y),为X的边际分布.称为Y的边际分布。2. 边际分布列 若二维离散随机变量的联合分布列为则称为X的边际分布列。称为Y的边际分布列。3. 边际密度函数 若二维连续随

13、机变量的联合密度函数为，则称为X的边际密度函数。称为Y的边际密度函数。4. 一些注意点l 由高维联合分布可以获得低维的边际分布，反之不一定。l 不同的联合分布可以有相同边际分布l 多项分布的边际分布仍为低维的多项分布或二项分布。l 二维正态分布的边际分布为一维正态分布。5. 随机变量间的独立性(1)设二维随机变量的联合分布函数为，且为的边际分布函数。如果对任意个实数有，则称相互独立。否则称不互相独立。(2)设维离散随机变量的联合分布列为且为的边际分布列。如果对其任意个取值，有 ，则称相互独立。否则称不相互独立。(3)设n维连续随机变量的联合密度函数为,且为的边际密度函数。如果对任意n个实数，有

14、则称不相互独立。6. 一些注意点l 多维随机变量间相互独立，必导致其部分随机变量与另一部分随机变量相互独立。l 多维随机变量相互独立，其联合分布可由其边际分布唯一确定。l 多维随机变量间的相互独立性可从定义出发加以判别，也可以从实际背景加以判别。l 多维随机变量间的独立性假设，可给理论研究和实际运用带来很多方便之处。习题与解答3.21. 设二维离散随机变量(X，Y)的可能取值为(0，0)，(-1，1)，(-1，2)，(1，0)，且取这些值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，试求X与Y各自的边际分布列。解 由题设条件知，(X，Y)的联合分布列为YX012-101/31/1201/60

15、015/1200在上面表格中按行相加，得X的边际分布列；X-101P5/121/65/12按列相加，得Y的边际分布列：Y012P7/121/31/122. 如果二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为试求X和Y各自的边际分布函数。解 因为所以X和Y各自边际分布函数为FX()=F(,+ )=Fy()=F()=可见，这两个边际分布都是指数分布，但两俩个分布对应的随机变量不相互独立。3试求以下二维均匀分布的边际分布：=解 因为在的非零区域内，当-1<x<1时，有所以当时，有所以，X的边际密度函数为又因为在的非零区域内，当时，所以当时，有所以，Y的边际密度函数为xe21O1ye-2图3.7y

16、=1/x可见，这俩个随机变量不相互独立。4设平面区域D由曲线及直线所围成，二维随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，试求X的边际密度函数。解 因为D的面积为(如图3.7)又因为(X，Y)服从D上的均匀分布,所以(X，Y)的联合密度函数为由此得，当时，所以X的边际密度函数为若此题要求出Y的边际密度，则从图3.7中可以看出：当时，有当时，有所以Y的边际密度为5求以下给出的(X，Y)的联合密度函数的边际密度函数和：(1) (2) 解 (1)当x>0时，有，所以X的边际密度函数为这是指数分布Exp(1)而当时，有所以Y的边际密度函数为x1-1Oy=1-x2图 3.8y这是伽玛分布Ga(2,1

17、)(2) 因为的非零区域为图3.8阴影部分，所以当时，有所以X的边际密度函数为又因为当时，有所以Y的边际密度函数为6设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为试求边际密度函数为 和.解 因为的非零区域如习题与解答3.1第8题图3.2(a)所示，所以当时，有 ，所以X的边际密度函数为这是贝塔分布Be(2,2)又因为当时，有 所以X的边际密度函数为7.试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数.解 因为当时，有又因为当时，有所以与有相同的边际密度函数.8.设随机变量X和Y独立同分布，且.试求解 利用独立性可得 9,甲 乙两人独立进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率

18、为0.5，以X和Y 分别表示甲和乙的命中率次数，试求P(XY)解 因为当I=0，1，2，j=0,1,2,时有P(X=i,Y=j)= P(X=i)P(Y=j)=,所以(X，Y)的联合分布列为YX01200.160.320.1610.080.160.0820.010.020.01由此得P(XY)=0.8910.设随机变量X与Y相互独立，其联合分别列为YXx1a1/9cx21/9b1/3试求联合分布列中的a,b,c解 先对联合分布列按行按列求和，求出边际分布列如下：YXP(x=)x1a1/9ca+c+1/9x21/9b1/3b+4/9x3a+1/9b+1/9c+1/31由X与Y的独立性，从上表的第2

19、行，第2列知b=( b+)( b+)，从中得b=, 又有=( b+)(a+)，得a=，又a+b+c=,由此得c=11设，分别是掷一枚色子两次先后出现的点数，试求有实根的概率p和有重根的概率q.解 由题设条件：，相互独立，又P(=i)=P(=j)=,I=1,2,6. P(X=i,Y=j)=,I,j=1,2,6所以q=P12.设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，XU(0，1)，YExp(1). 试求(1)X与Y的联合密度函数；(2)P(XY)；(3)P(x+y1)解 (1)因为X与Y的密度函数分别为 所以由X与Y 的独立性知，X与Y的联合密度函数为(2)P(YX)= (3) P(X+Y1)= 1

20、3.设随机变量(X，Y)的联合密度函数为p(x,y)= 试求(1)边际密度函数和；(2)X与Y是否独立？解 (1) 因为当0<x<1时有 =所以密度函数为=这是贝塔分布Be(3，1)。又因为当0<y<1时，有 =，所以Y的边际密度函数为=(2)因为p(x,y) ,所以X 与Y独立。14.设随机变量(X，Y)的联合密度函数为P(x,y)=试求(1)边际密度函数和；(2)X和Y是否独立？解 (1)因为P(x.y)的非零区域为图3.9的阴影部分y1y=xy=xx-11图 3.9O所以，当-1<x<0时有=1+x,当0<x<1时有=1-x,因此X的边际密

21、度函数为=又当0<y<1时，有=因此Y的编辑密度函数为=, 这是贝塔分布Be(2,1).(2)因为P(x.y)，因此X和Y不独立。15.在长为a的线段的中点的两边随机地各选一点，求两点间的距离小于的概率。xa/2a/6Oa/3ayy-x=a/3a/2图 3.10解 记X为线段中点左边所取点到端点o的距离，Y为线段中点右边所取点到端点o的距离，则XU(0.)，YU(，),且X与Y相互独立，它们的联合密度函数为P(x.y)=而P(x.y)的非零区域与的交集为图3.10阴影部分，因此所求概率为16.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为p(x,y)。证明：X与Y相互独立的冲要条件是p(

22、x,y)可分离变量，即p(x,y)=h(x)g(y).有问h(x)，g(y)与边际密度函数有什么关系？解 记X与Y的边际密度函数分别为和。必要性是显然的，因此XY相互独立，则p(x,y)= ，即p(x,y)可分离变量，其中h(x)= ，g(y)= 。下证充分性：因为p(x,y)=h(x)g(y)，所以记 由联合密度函数的正则性，得=1又因为由此可得 p(x,y)=h(x)g(y)= =kh(x)k=所以X与Y相互独立，且从以上的证明过程可知： h(x)与相差一个常数因子k§ 3.3 多维随机变量函数的分布内容概要1. 最大值、最小值分布 设()是相互独立、同分布的n维连续随机变量，其

23、共同的密度函数和分布函数分别为p(x)和F(x)，记Y=min() , Z=max().则 2.变量变换法 若变换 存在唯一的反函数且变换的雅可比行列式 则二维连续随机变量(X,Y)的函数的联合密度函数为 PUV(u,v)=pXY(x(u,v),y(u,v)|J|3.卷积公式 卷积公式用于求随机变量和Z=X+Y的分布.(1)离散场合的卷积公式 Z=X+Y的分布列为P(Z=zk)当X与Y独立时,P(Z=)其中诸为X的值,诸为Y的值.(2) 连续续场合的卷积公式 Z=X+Y的密度函数为.当X与Y独立时,4.积的公式 U=XY的的密度函数为当X与Y独立时,5.商的公式 U=X/Y的密度函数为当X与Y

24、独立时,6.分布的可加性 若同一类分布的独立随机变量和分布仍属于此类分布,则称此类分布具有可加性,以下一些常用的分布具有可加性:(1) 二项分布:若Xb(n,p),Yb(m,p),且X与Y独立,则Z=X+Yb(n+m,p).注意这里两个二项分布中的参数p要相同.(2) 泊松分布:若XP(l1),YP(l2),且X与Y独立,则Z=X+YP(l1+l2).(3)正态分布：若XN(,),YN(,),且X与Y独立，则Z=X+YN()(4)伽玛分布：若XGa(a1,l)，YGa(a2,l)，且X与Y 独立，则Z=X+YGa(a1+a2,l)注：这里两个伽玛分布中的尺度参数要相同(5)分布：若，且X与Y

25、独立，则Z=X+Y 7一些结论(1)设独立同分布，都服从二点分布b(1，p)，则服从二项分布b(n，p) (2)设独立分布，都服从几何分布Ga(P)，则服从负二项分布Nb(n，p) (3)设 独立同分布，都服从指数分布Exp()，则服从伽玛分布Ga(n，)习题与解答331 设二维随机变量(X，Y)的联合分布列为.Y X1 2 30120.05 0.15 0.200.07 0.11 0.220.04 0.07 0.09试分别求U=max(X，Y)和V=min(X，Y)的分布 解：可以看出U=max(X，Y)的可能取值为1，2，3，并且P(U=1=P(X=0，Y=1)=0.05+0.75=0.12

26、，P(U=2)=0.15+0.11+0.07+0.04=0.37，P(U=3)=即U的分布为U1 2 3P0.12 0.37 0.15又可以看出V=min(X，Y)的可能取植为0，1，2，并且P(V=0)=P(V=1)=0.07+0.11+0.22+0.04=0.44，P(V=2)=P(X=2，Y=2)+P(X=2，Y=3)=0.07+0.09=0.16，即V的分布列为V0 1 2P0.40 0.44 0.162设X和Y是相互独立的随机变量，且XExp，YExp如果定义随变量Z :，求Z的分布列解 因为X，Y 相互独立，所以其联合密度函数为P由此得P(Z=0)=P(X>Y)=1-P(X&

27、#163;Y)=m/(m+l).3.设随机变量X和Y 的分布列为X-101Y01P1/41/21/4P1/21/2已知P(XY=0)=1，试求Z=max(X，Y)分布列解 记(X，Y ) 联合分布列及各自的边际分布为X Y0 1P(X=i)-101p11 p12p21 p22p31 p321/41/21/4P(Y=j)1/2 1/21由题设条件知所以得代入上表得X Y0 1P(X=i)-1p11 01/40p21 p221/21P31 01/4P(Y=j)1/2 1/21此时从上表可得=1/2，由此又得=0，进而又=1/4，=1/4.即(X,Y)的联合分布列为X Y0 1-1011/4 0 0

28、 1/21/4 0所以Z=max(X,Y)的分布列为Z0 1P1/4 3/44.设随机变量X,Y独立同分布，在以下情况下求随机变量Z=max(X,Y)的分布列.(1) X服从p=0.5的(01)分布.(2) X服从几何分布，即P(X=k)=p,.解 (1)因为X与Y的可能取值均为0或1，所以Z=max(X,Y)的可能取值也为0或1，因此P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=0.50.5=0.25,P(Z=1)=1-P(Z=0)=0.75.(2) 因为X服从几何分布，所以P(Xi)=p=, .由此得P(Z=i)P(Z) 5.设X和Y为两个随机变量，且 试求解 因为由此得

29、同理由 可得1/7，再由得所以 6设X与Y的联合密度函数为试求以下随机变量的密度函数(1) (2). 解 (1)因为的非零区域为所以当时，0，而当时，y-x=zxOy-zy-x=zxOy-z(a)(b)图 3.11所以，当时，有而当时，有这是伽玛分布(2)当时，的非零区域与的交集为图3.11(a)阴影部分. 又因为当z>0时，p(x,y)的非零区域与y-xz的交集为图3.11(b)阴影部分，所以由此得 7.设X与Y的联合密度函数为 试求Z=X-Y的密度函数.解 因为当0<z<1时，p(x,y)的非零区域与x-yz的交集为图3.12阴影部分，所以x-y=z图3.12xyy=x1

30、zO=当z<1时，FZ(z)=0当z³1时，FZ(z)=1 8.某种商品一周的需求量是一个随机变量,其密度函数为设各周的需求量是相互独立的,试求(1)两周需求量的密度函数p2(x);(2)三周需求量的密度函数p3(x).解 记Xi为第i周的需求量,根据题意知相互独立，且密度函数都为.(1) 两周需求量X1+X2为,所以当x<0时,p2(x)=0,而当x³0时,利用卷积公式得所以(2) 三周需求量为(X1+X2)+X3, 所以当x<0时,p2(x)=0,而当x³0时,利用卷积公式得所以9. 设随机变量X与Y相互独立,试在以下情况下求Z=X+Y的密度

31、函数:(1). XU(0,1),YU(0,1); (2) . XU(0,1),YExp(1)解 Z=X+Y的密度函数可由卷积公式求得图3.13x1z21z=xz-x=1O(1) 因为XU(0,1),YU(0,1),所以Z=X+Y可在区间(0,2)上取值,且使卷积公式中的被积函数大于0的区域必须是与的交集,此即图3.13的阴影部分. 从图中可以看出:当时,有,当时,有当z<0或 z>2时,有 pZ(z)=0所以的密度函数如下:(2) 因为XU(0,1),YExp(1),所以Z=X+Y可在上取值,且要使卷积公式中的被积函数大于0的区域必须是与的交集, 此即图3.14的阴影部分.zOx1

32、z=x1图3.14从图中可以看出:当0z1时，有当1时，有所以得Z的密度函数如下：10设二维随机变量(X,Y)在矩形G=(x,y)|0上服从均匀分布，试求边长分别为X和Y的矩形面积Z的密度函数。解 因为(X,Y)服从矩形G上的均匀分布，所以(X,Y)的联合密度函数为vz1v=z/22O图3.15又因为边长分别为X和Y的矩形的面积Z=XY,所以，Z的密度函数可用积的公式求得要使以上被积函数大于0的区域必须是0<z/v<2与0<v<1的交集，此交集为z/2<v<1,z>0,所以当0<z<2时，有11.设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立同分

33、布，P=0.6,P=0.4,i=1,2,3,4求行列式X=的分布。解 因为X=,所以X的可能取值为一1，0，1。又因为与独立同分布，且P()=PP由此得 =0.84´0.16=0.1344，所以X的分布列为X-101P0.13440.73120.134412. 设某一设备装有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间都服从参数为的指数分布。当3个元件都正常工作时，设备才正常工作。试求设备正常工作时间T的概率分布。 解 记为第i个元件的工作时间，i=1，2，3，则独立同分布，其共同的密度函数和分布函数分别为 由题设条件知，当3个元件都正常工作时，设备才正常工作，这等价于“3个元件

34、中有一个失效，则此设备就停止工作“，故设备正常工作时间所以T的密度函数为这表明：设备正常工作时间T服从参数为3l 的指数分布。13 设独立同分布，且都服从标准正态试求解 记，从而的密度函数为又因为当及，所以当时，；当时，14. 设X，Y独立分布，且都服从标准正态分布N(0，1)，试证明：Z=X/Y服从柯西分布。证 由于P(Y=0)=0，所以Z=X/Y中分母为零的情况可以不予考虑。因为Z=X/Y的取值区间为，所以对用商的公式结论得证。15. 设随机变量X与Y相互独立，都服从上的均匀分布，试证明X-Y的分布与无关。证 因为的分布与无关，的分布也与无关，所以的分布与无关。16. 设随机变量相互独立，

35、且，试证证 的联合密度为 而事件 从而该事件的概率为 =17. 设连续随机变量独立同分布，试证证 设诸的密度函数为，其联合密度函数为，而事件 ，从而该事件的概率为若记诸的分布函数为，则上式积分可化为.18. 设随机变量与独立同分布，其密度函数为(1) 求与的联合密度函数(2) 以上的与独立吗？解 (1)的反函数为，变换的雅可比行列式所以在的可能取值范围内，有(2) 因为与各自的边际密度函数分别为，.所以 由知与相互独立。19设随机变量与相互独立，且，试证：与V=X/Y相互独立。解 因为X与Y的密度函数分别为 下求的联合密度函数为，因为的反函数为，且变换的雅可比行列式 所以，当u>0,v&

36、gt;0时，即可分离变量，所以由上一节习题3.2第16题知：U，V相互独立，其中：U Vp(v)=V的分布又称为Fisher Z分布.§3.4 多维随机变量的特征数内容概要1. 多维随机变量函数的数学期望 若二维随机变量(X，Y)的分布用联合分布列P(X=，Y=)或用联合密度函数p(x，y)表示，则Z=g(X，Y)的数学期望(假设存在)为Eg(X，Y)=对n维随机变量结论是类似的。2数学期望与方差的运算性质 以下均假定有关的期望和方差存在，(1)E()=(2)若相互独立，则E()=Var()=3协方差 若E(X-E(X)(Y-E(Y)存在，则称Cov(X，Y)=E(X-E(X)(Y-

37、E(Y) 为X与Y的协方差。 当Cov(X，Y)>0时，称X与Y正相关，即X与Y同时增加或同时减少， 当Cov(X，Y)<0时，称X与Y负相关，即X增加Y减少，或X减少Y增加。 当Cov(X，Y)=0时，称X与Y不相关。4协方差的性质(1)Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；(2)Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)；(3)若X与Y相互独立，则Cov(X，Y)=0，反之不然；(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X，Z)+Cov(Y，Z)；(5)对任意的常数a，有Cov(X，a)=0；(6)对任意的常数a，b，有Cov(aX，bY)=ab Cov(X，Y)；(7)对任意的二

38、维随机变量(X，Y)，有Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2Cov(X，Y)。对任意n个随机变量，有Var()=+25 许瓦兹不等式 对任意二维随机变量(X，Y)，若X与Y的方差都存在，则有Cov(X，Y)6 相关系数 设(X，Y)是一个二维随机变量，且Var(X)>0, Var(Y)>0.则称Corr(x，y)=为X与Y的(线性)系数。7相关系数的性质(1)-1 Corr(x，y)1。(2)Corr(x，y)与Cov(X，Y)同号，或同为零。(3)Corr(x，y)=其中分别为X，Y的标准化随机变量。(4)Corr(x，y)=1的充要条件是X与Y间几乎处处有线性关系，即存

39、在a(a0)与b，使得P(Y=aX+b)=1。其中当Corr(x，y)=1时，有a>0;当Corr(x，y)=-1时，有a<0。(5)在二维正态分布N(，)场合，比相关与独立是等价的。8. 随机向量的数学期望与协方差阵记n维随机向量为，以下假设所涉及的数学期望、方差、协方差均存在。(1) 随机向量X的数学期望向量为(2) 随机向量X的协方差阵为也记以上的协方差阵为Cov(X),或记成(3) 随机向量X的协方差阵Cov(X)=是一个对称的非负定矩阵。(4) n元正态分布设n维随机向量的协方阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数定义的分布称为n元正态分布，记为N(a,B).习题与解答

40、3.41.掷一颗均匀的骰子2次，其最小点数记为X，求E(X).解 因为X123456P11/369/367/365/363/361/36所以E(X)=91/36.2.求掷n颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.解 记为第I颗骰子出现的点数，则独立同分布，其共同的分布列为Xi123456P1/61/61/61/61/61/6所以；由此得3. 从数字1，2， n中任取两个不同数字之差的绝对值的数学期望.解 记X与Y分别为第一次和第二次取出的数字，则 i,j=0,1, ij.所以 = = =4. 设在区间(0，1)上随机地n个点，求相距最远的两点间的距离的数学期望.解 解法一：分别记此n个点为则相互独

41、立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布我们的目的是求而和的密度函数分别为 又因为 所以解法二：n个点把区间(0，1)分成n+1段，它们的长度依次为.因为此n个点是随机取的，所以具有相同的分布，从而有相同的数学期望。而，因此.而相距最远的两点间的距离为，因此所求期望为.5盒中有n个不同的球，其上分别写有数字每次随机抽出一个，记下其号码，放回去再抽。直到抽到有两个不同的数字为止。求平均抽球次数。解 记为抽球次数，则可能取值是且有又记p=(n-1)/n，则服从参数为p 的几何分布，因此，由此得.6设随机变量的联合分布列为X Y0100.10.1510.250.220.150.15试求的数学期望。解

42、.1xyOx(1,1)x+y=11图3.167随机变量服从以点为顶点的三角形区域上的均匀分布，试求和.解 记此三角形区域D (如图3.16阴影部分)。因为D的面积为，所以的联合密度函数为下求X和Y个自的边际密度函数。当时，有这是贝塔分布.当时，有这也是贝塔分布.即X与Y同分布。因此由贝塔分布的期望、方差公式可知 由于X与Y不独立，所以先计算由此得(负相关)最后得8.设随机变量的联合密度函数为试求。解 9.设是独立同分布的随机变量，其共同的密度函数为试求Y=max()的密度函数，数学期望和方差。解 先求的分布函数。当0<x<1时，F(X)=,所以当0<y<1时，Y的密度函

43、数为pY(y)=5F(y)p(y)=5y这是贝塔分布Be(10,1),由此得 E (Y)=；Var(Y)=.10 系统由n个部件组成，记为第i个部件能持续工作的时间，如果独立同分布，且试在以下情况下求系统持续工作的平均时间：(1) 如果有一个部件停止工作，系统就不工作了；(2) 如果有 一个部件在工作，系统就工作。解 因为，所以的密度函数和分布函数分别为p(x)= F(1) 根据题意，系统持续工作的时间为T=min(),所以，当t0时，T的密度函数P(t)=0；而当t>0时这是参数为的指数分布，所以E(T)=1/()。(2) 根据题意，系统持续工作的时间为T=max()，所以，当t>

44、;0时所以系统持续工作的时间为11. 邮局里有A，B，C三个顾客，假定邮局对每个顾客的服务时间服从参数为的指数分布。对A和B立即开始服务，在对A或B 结束服务后开始对C服务，A，B俩人服务所需时间是独立的。求C在邮局中(1)等待时间的数学期望；(2)逗留时间的数学期望。解 记分别为邮局对A，B，C三个顾客的服务时间。(1) 为C在邮局中的等待时间为，所以由上题知(2) 因为C在邮局中的逗留时间为，所以有12设X，Y独立同分布，都服从标准正态分布N(0，1)，求Emax(X,Y).解 因为X，Y独立，都服从N(0，1)，所以X-YN(0，2)。又因为由于X-YN(0，2)，所以13 设随机变量相

45、互独立，且都服从(0，)上的均匀分布，记试求E(Y)和E(Z)。解 记的密度函和分布函数分别为则当时，Y与Z的密度函数分别为所以14 设随机变量U服从(-2，2)上的均匀分布，定义X和Y如下：试求Var(X+Y)。解 先求X+Y的分布列。因为X+Y的可能取值是-2，0，2。所以P(X+Y=-2)=P(X=-1，Y=-1) =P(U-1，U1=P(U-1=1/4， P(X+Y=2)=P(X=1，Y=1) =P(U-1，U1)=P(U1)=1/4，P(X+Y=0)=1-P(X+Y=-1)-P(X+Y=1)=1/2。综上可得X+Y的分布列X+Y-202P1/41/21/4此分布对称，所以E(X+Y)

46、=0，从而得Var(X+Y)=E=215一商店经销某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间(10，20)上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，则可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500，试求此商店经销该种商品每周的平均利润。解 记Z为此商店经销该种商品每周所得的利润，由题知Z=g(X，Y),其中g(x,y)= =由题设条件知(X+Y) 的联合概率密度为(x，y)=于是 E(Z)=Eg(X，Y)= = + =10+5=20000/3+5*150016.设随机变量X与Y独立，都服从正态分布N(a,)，试证:

47、E(max(X,Y)=a+证 记=(X-a)/则与独立，都服从N(0，1)分布。所以由前面第12题知 Emax()= 又因为Emax()=Emax()=由此即得Emax(X,Y)=a+17. 设二维随机变量(X，Y)的联合分别列为 YX-10100.070.180.1510.080.320.20试求 的协方差。解 因为X201Y201X2Y201 P0.40.6P0.50.5P0.720.28所以得 由此得18把一颗骰子独立地掷次，求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及系数。解 记 则1点出现的次数X=从而有E(X)=E(Y)=n/6, Var(X)=Var(Y)=5n/36,我们的目的是求Cov(X,Y),，故下面求E(XY)。由于=+2,且因为X和Y均为仅取0,1值的随机变量，所以XY=1= X=1 ,Y=1=(第i次投掷时，不可能既出现1点同时又出现6点)，因此当i=j时，有P(XY=1)=0, P(XY=0)=1-p(XY=1)=1.由此得E(XY)=0. 而当i¹j时，由于X与Y相互独立，所以E(XY)= E(X) E(Y)=1/36。综上可得=E(XY)-E(X)E(Y)=2-=,=.X与Y负相关是可以理解的，因为在掷n次骰子中，1点出现次数多必使6点出现次数少。19.某箱装100件产品,其中一二和三等品分别为80,10和10件.现从中随机取一件,定义