高中数学三角变换与解三角形教案

1、文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！1 / 7第 8 讲三角变换与解三角形1. 掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、 诱导公式、 和、 差角及倍角公式)及应用；能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形2. 在复习过程中，要熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点及常规使用方法等； 熟悉三角变换常用的方法(化弦法、 降幂法、 角的变换法、 “1”的变换等)；掌握化简、求值和解三角形的常规题型；要注意掌握公式之间的内在了解3. 近年来高考对三角函数与向量了解问题的考查有所增加，三角函数

2、知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点，应给予充分的重视新教材降低了对三角函数恒等变形的要求，但对两角和的正切考查一直是重点1. 若 tan3，则sin2cos2的值等于_.2.已知 cos6 sin453，则 sin76 的值是_3.在ABC 中，tanA12，tanC13，则角 B 的值为_4.在锐角ABC 中，BC1，B2A，则ACcosA的值等于_【例 1】已知 cos17，cos()1314且 02.(1) 求 tan2的值；(2) 求.【例 2】在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC，求 b.文档供参考，

3、可复制、编制，期待您的好评与关注！2 / 7【例 3】 在ABC 中， 角 A、 B、 C 的对边分别是 a， b， c， 已知 sinCcosC1sinC2.(1) 求 sinC 的值；(2) 若 a2b24(ab)8，求边 c 的值【例 4】已知 sin(2)3sin，设 tanx，tany，记 yf(x)(1) 求 f(x)的解析式；(2) 若角是一个三角形的最小内角，试求函数 f(x)的值域1. (2011全国)已知，32 ，tan2，则 cos_.2.(2011江苏)已知 tanx4 2，则tanxtan2x的值为_3.(2011重庆)已知 sin12cos，且0，2 ，则cos2s

4、in4的值为_4.(2010广东)已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a1，b 3，AC2B，则 sinC_.5.(2011广东)已知函数 f(x)2sin13x6 ，xR.(1) 求 f54 的值；(2) 设，0，2 ，f32 1013，f(32)65，求 cos()的值6.(2011全国)ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c； 已知 asinAcsinC 2asinCbsinB.(1) 求 B；文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！3 / 7(2) 若 A75，b2，求 a，c.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)2c

5、osx23cosx2sinx2 .(1) 设2，2 ，且 f() 31，求的值；(2) 在ABC 中，AB1，f(C) 31，且ABC 的面积为32，求 sinAsinB 的值解：(1) f(x)2 3cos2x22sinx2cosx2 3(1cosx)sinx2cosx6 3.(3 分)由 2cosx6 3 31, 得 cosx6 12.(5 分)于是 x62k3(kZ)，因为 x2，2 ，所以 x2或6.(7 分)(2) 因为 C(0，)，由(1)知 C6.(9 分)因为ABC 的面积为32，所以3212absin6，于是 ab2 3，在ABC 中，设内角 A、B 的对边分别是 a、b，由

6、余弦定理得 1a2b22abcos6a2b26，所以 a2b27，由可得a2，b 3或a 3，b2.于是 ab2 3.(12 分)由正弦定理得，sinAasinBbsinC112，所以 sinAsinB12(ab)132. (14 分)第 8 讲三角变换与解三角形1. 在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若(a2c2b2)tanB 3ac，则角B 的值为_【答案】3或23解析： 由余弦定理得a2c2b22accosB, tanBcosB32，sinB文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！4 / 732，B 为3或23.2. 在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B

7、、C 的对边，且acabbac，(1) 求角 B 的大小；(2) 若ABC 最大边的边长为 7，且 sinC2sinA，求最小边边长解： (1)由acabbac整理得(ac)c(ba)(ab)，即 acc2b2a2， cosBa2c2b22acac2ac12， 0B， B23.(2) B23， 最长边为 b， sinC2sinA， c2a， a 为最小边，由余弦定理得( 7)2a24a22a2a12 ，解得 a21， a1，即最小边边长为 1.基础训练1. 6解析：sin2cos22tan.2. 45解析：cos6 sin453化为32cos12sinsin4 35， 3sin6 4 35，s

8、in6 45.3.34解析：tanBtan(AC)tan(AC)tanAtanC1tanAtanC1.4. 2解析：由正弦定理得BCsinAACsinB，1sinAACsin2A，1sinAAC2sinAcosA，ACcosA2.例题选讲例 1解：(1)cos17，0，2 ， sin4 37，tan4 3，tan28 347.(2) coscos()coscos()sinsin()12，0，2 ， 3.例 2解：(解法 1)在ABC 中， sinAcosC3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有 aa2b2c22ab3b2c2a22bcc，化简并整理得：2(a2c2)b2，又由已知 a2c

9、22b，4bb2，解得 b4 或 0(舍)(解法 2)由余弦定理得： a2c2b22bccosA.又 a2c22b，b0.所以 b2ccosA2，又 sinAcosC3cosAsinC， sinAcosCcosAsinC4cosAsinC，sin(AC)4cosAsinC，即 sinB4cosAsinC，由正弦定理得 sinBbcsinC，故 b4ccosA，文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！5 / 7由，解得 b4.变式训练在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.(1) 若 c2，C3，且ABC 的面积 S 3，求 a，b 的值；(2) 若 sinCsin(B

10、A)sin2A，试判断ABC 的形状解： (1) 由余弦定理及已知条件得，a2b2ab4，又因为ABC 的面积等于 3，所以12absinC 3，得 ab4.联立方程组a2b2ab4，ab4，解得 a2，b2.(2) 由题意得 sinBcosAsinAcosA，当 cosA0 时，A2，ABC 为直角三角形；当 cosA0 时，得 sinBsinA，由正弦定理得 ab，ABC 为等腰三角形所以，ABC 为直角三角形或等腰三角形例 3解：(1) 由已知得 2sinC2cosC212sin2C21sinC2，即 sinC22cosC22sinC210，由 sinC20 得 2cosC22sinC2

11、10，即 sinC2cosC212，两边平方得：sinC34.(2) 由 sinC2cosC2120 知 sinC2cosC2， 则4C22， 即2C， 则由 sinC34得 cosC74，又 a2b24(ab)8，即(a2)2(b2)20，故 ab2，所以由余弦定理得 c2a2b22abcosC82 7，c 71.变式训练已知ABC 中， a、 b、 c 是三个内角 A、 B、 C 的对边， 关于 x 的不等式 x2cosC4xsinC60 的解集是空集(1) 求角 C 的最大值；(2) 若 c72，ABC 的面积 S323，求当角 C 取最大值时 ab 的值解： (1) 不等式 x2cos

12、C4xsinC60 的解集是空集cosC0，0，即cosC0，16sin2C24cosC0，得cosC0，cosC2 或 cosC12，故 cosC12，而 cosC0 时解集不是空集 角 C 的最大值为 60.(2) 当 C60时，SABC12absinC34ab323， ab6，由余弦定理得 c2a2b22abcosC(ab)22ab2abcosC，文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！6 / 7 (ab)2c23ab1214， ab112.例 4解：(1)(解法 1)注意角的变换 2()，().(1) 由 sin(2)3sin得，sin()3sin()，则 sin()coscos

13、()sin3sin()cos3cos()sin， sin()cos2cos()sin， tan()2tan，于是tantan1tantan2tan，即xy1xy2x， yx12x2，即 f(x)x12x2.(解法 2) 直接展开，利用“1”的变换sin2coscos2sin3sin，2sincoscos(cos2sin2)sin3sin，2sincossin2cos2cos2sin2sin2cos2tan3tan，2tan1tan21tan21tan2tan3tan， yx12x2，即 f(x)x12x2.(2) 角是一个三角形的最小内角， 03，0 x 3，f(x)12x1x，设 g(x)2

14、x1x，则 g(x)2x1x2 2(当且仅当 x22时取等号)，故函数 f(x)的值域为0，24 .高考回顾1. 55解析：由 cos2cos2sin2cos21tan2115，又，32 ，cos0，所以cos55.2.49解析： tanx4 1tanx1tanx2, tanx13， tanxtan2xtanx2tanx1tan2x1tan2x249.3. 142解析： sin12cos得 sincos12， sin4 24，cos2sin4sin22sin42sin4 cos4sin42cos4 ，sincos12，42， cos4 144，文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！7 / 7cos2sin42144142.4. 1解析：由三角形内角和定理得 B3，根据正弦定理得1sinA3sin3，即 sinA12，1 3， AB， A6，C2，sinC1.5. 解：(1) f54 2sin5126 2sin4 2.(2) f32 2sin1013， sin513， 0，2 ， cos1213.f(32)2sin2 2cos65， cos35， 0，2 ，