2010高考理科数学参考答案(全国卷1)

1、2010年高考大纲卷全国理科数学试题及答案 (必修+选修II)第I卷参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中R表示球的半径一、选择题(1)复数(A) (B) (C)12-13 (D) 12+13(2)记,那么A. B. - C. D. -(3)若变量满足约束条件则的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则=(A) (B) 7 (C) 6 (D) (5)的展开式中x的系数是(A) -4 (B) -

2、2 (C) 2 (D) 4(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种（7）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为A B C D（8）设a=2,b=In2,c=,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a(9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点p在C上，p=，则P到x轴的距离为(A) (B) (C) (D) （10）已知函数,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围

3、是(A) (B) (C) (D)（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么的最小值为(A) (B) (C) (D)（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) 第卷二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试题卷上作答无效) (13)不等式的解集是 .(14)已知为第三象限的角，,则 .(15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .三解答题：本大题共

4、6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效) 已知的内角，及其对边，满足，求内角(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为05，复审的稿件能通过评审的概率为03各专家独立评审 (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； (II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被

5、录用的篇数，求的分布列及期望 （19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明： .（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D .（）证明：点F在直线BD上；（）设，求的内切圆M的方程 .（22）(本小题满分1

6、2分)（注意：在试题卷上作答无效）已知数列中， .（）设，求数列的通项公式；（）求使不等式成立的的取值范围源头学子 2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学试题(必修+选修)参考答案一、选择题1. A 2. B 3. B 4. A 5. C 6. A7. D 8. C 9. B 10. C 11. D 12. B(1)复数(A)i (B) (C)12-13 (D) 12+131A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析1】.【解析2】 (2)记,那么A. B. - C. D. -2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式

7、等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析1】,所以【解析2】，xAL0A(3)若变量满足约束条件则的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为.【解析2】，画图知过点是最大，（4）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则= (A) (B) 7 (C) 6 (D) 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析1】由等比数列的性

8、质知，10,所以,所以(5)的展开式中x的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4【解析2】=5；=10，5.C【解析】2 x的系数是 -10+12=2 (6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.【解析2】

9、 (7)正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为A B C DABCDA1B1C1D1O7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB1/DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,则,.所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，（8）设a=2,b=In2,c=,则A a<b<c Bb<

10、c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析1】 a=2=, b=In2=,而,所以a<b,c=,而,所以c<a,综上c<a<b.【解析2】a=2=,b=ln2=, ，； c=，c<a<b (9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点p在C上，p=，则P到x轴的距离为(A) (B) (C) (D) 9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有

11、效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得，.由余弦定理得cosP=,即cos,解得,所以，故P到x轴的距离为【解析2】由焦点三角形面积公式得：（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是(A) (B) (C) (D)10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去

12、)，或，所以a+2b=又0<a<b,所以0<a<1<b，令,由“对勾”函数的性质知函数在(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+=3,即a+2b的取值范围是(3,+).【解析2】由0<a<b,且f(a)=f(b)得：，利用线性规划得：，求的取值范围问题，过点时z最小为3,(C)（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么的最小值为 (A) (B) (C) (D)11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能

13、力.【解析1】如图所示：设,PABO则，, ，则当且仅当时，取“=”，故的最小值为，故选D.【解析2】法一： 设，法二：换元：，或建系：园的方程为，设，（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) 12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析1】过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,故.【解析2】过CD作平面PCD，AB平面PCD,交AB于P,设

14、点P到CD的距离为h,则有，当直径通过AB与CD的中点时，最大，二、填空题13. 14. 15. 16. (13)不等式的解集是 .13.0,2 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.【解析1】原不等式等价于解得0x2.【解析2】，(14)已知为第三象限的角，,则 .14【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析1】因为为第三象限的角,所以，又<0, 所以,于是有,所以.【解析2】为第三象限的角， ，在二象限，y

15、=1xyaO(15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .15.(1,【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.【解析1】如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线,观图可知，a的取值必须满足解得.【解析2】由数型结合知： (16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .16. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析1】如图，,作轴于点D1,则由，得,所以,即,

16、由椭圆的第二定义得又由,得,整理得.两边都除以,得,解得.【解析2】设椭圆方程为：第一标准形式，F分 BD所成的比为2，代入，-2010年全国卷1理科数学试题答案一、选择题题号123456789101112答案ABBACADCBCDB1.A 解析：本题考查了复数代数形式的运算法则.，故选A.2.B 解析：本题考查了同角三角函数关系以及诱导公式.，故选B.Oxy=1x+y=0x-y-2=0yAZ=x-2y3.B 解析：本题考查了在线性约束条件下求目标函数的最值问题，即线性规划问题.如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数经过与的交点时，取到最大值3，故选B.4.A 解析：本题考查了等比数列的性

17、质.，选A.另法: 由等比数列的性质知，成等比数列,则×=50,>0，所以.5.C 解析：本题考查了二项式定理.展开式的通项为，展开式的通项为，因此，展开式的各项为，当时有且或且两种情况，因此展开式中的系数为（-10）+12=2，故选C.6.A 解析：本题考查了排列组合知识.不同的选法分两类，A类选修课1门，B类选修课2门，或者A类选修课2门，B类选修课1门，因此，共有种选法，故选A.7.D 解析：本题考查了立体几何中线面角的求法. 与平面所成角等于与平面所成角,在三棱锥中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面内的射影为等边的垂心即中心H，则为与平面所成角,设正方体棱长为a,则，故选

18、D.8.C 解析：本题考查了代数式大小比较的方法.，又，因此，故选C.9.B 解析：本题考查了双曲线中有关焦点三角形的问题.由双曲线焦点三角形面积公式得，设P到x轴的距离为h，则由，P到x轴的距离为，选B.10.C 解析：本题考查了对数函数、对数式的运算性质、对勾函数图像性质.由题意，由得，因此，由对勾函数性质知在单调递减，因此，即的取值范围是，故选C.11.D 解析：本题考查了向量数量积的定义运算，考查了最值的求法，考查了圆的切线性质.设,则，, ，则当且仅当时，取“=”，故的最小值为，故选D.ABCDMO12.B 解析：本题考查了球和多面体的组合体问题，考查了空间想象能力.如图，过OCD三

19、点作球的截面，交AB于点M，由条件知，、均为边长为2的等边三角形，设M到CD的距离为，A到面MCD的距离为，B到面MCD的距离为，则，因此，当AB面MCD时， 最大，故选B.二、填空题13. 解析：本题考查了不等式的基本性质. 由得，不等式解集为. .axy14. 解析：本题考查了同角三角函数的关系，二倍角公式以及两角和差的三角函数公式.由，且为第三象限角得，得，.15 解析：本题考查了利用数形结合的思想解题的策略. 如图，作出的图像，若要使与其有四个交点，需满足，解得.16. 解析：本题考查了椭圆离心率的求解策略.不妨设椭圆C焦点在轴上，中心在原点，B点为椭圆上顶点，F为右焦点，则由,得D点

20、到右准线的距离是B点到右准线距离的一半，则D点横坐标，由知，F分所成比为2，由定比分点坐标公式得，得，得.三、解答题17. 解：由及正弦定理得从而又故所以18. 解： ()记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用.则 D=A+B·C, = = =0.25+0.5×0.3 =0.40. ()，其分布列为： 期望.19. 解法一：()连接BD,取DC的中点G，连接BG, 由此知 即为直角三角形，故. 又,所以，.作，故与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直D

21、E平面SBC，DEEC,DESB所以，SE=2EB() 由知.故为等腰三角形.取中点F,连接,则.连接，则.所以，是二面角的平面角.连接AG,AG=,所以，二面角的大小为120°.解法二： 以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（）设平面SBC的法向量为=(a,b,c)由，得故2b-2c=0,-a+b=0令a=1，则b=c,c=1,=(1,1,1)又设 ，则设平面CDE的法向量=(x,y,z)由,得，故 .令，则.由平面DEC平面SBC得,故SE=2EB（）由（）知，取DE的中点F，则，故

22、，由此得又，故，由此得，向量与的夹角等于二面角的平面角于是 所以，二面角的大小为20.解： （），,题设等价于.令，则当，；当时，是的最大值点， 综上，的取值范围是.()由（）知，即.当时，；当时， 所以21. 解：设，的方程为.（）将代入并整理得从而直线BD的方程为，即令，得所以点F(1,0)在直线BD上（）由（）知， 因为 ， 故 ，解得 所以的方程为 又由（）知 故直线BD的斜率，因而直线BD的方程为因为KF为的平分线，故可设圆心，到及BD的距离分别为.由得，或（舍去），故 圆M的半径.所以圆M的方程为.22. 解：（），所以是首项为，公比为4的等比数列，（）用数学归纳法证明：当时.（）当时，命题成立；（）设当n=k时，则当n=k