求二次型标准形的方法及正定二次型

1、二次型及其标准形的概念称为称为二次型二次型. .的二次齐次函数个变量含有定义nxxxn, 1211221111212131311222223232221,111,1(,)222 22 2 nnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xaxaxx 2 nnna x 2 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax22112222121212121111 nnnnnnn

2、nnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(.,为为对对称称矩矩阵阵其其中中则则二二次次型型可可记记作作AAXXfT ,nnnnnnnxxxXaaaaaaaaaA21212222111211记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121, 定义定义合合同同与与，则则称称，使使矩矩阵阵若若存存在在可可逆逆和和阶阶矩矩阵阵设设有有两两个个ABAPPBPBAnT,的的合合同同变变换换矩矩阵阵变变为为称称为为把把矩矩阵阵BAP合同矩阵有一下性质：合同矩阵有一下性质：（1）自反性（）自反性（2）对称性）对称性(3)

3、(3) 传递性传递性定理定理 设设 是一个可逆矩阵是一个可逆矩阵,若若 为对称矩阵为对称矩阵, PAAPPBT则则 也为对称矩阵也为对称矩阵,且且 )()(BRAR1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则

4、先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.四、配方法求二次型的标准形由上节内容知道任何一个二次型都可以表示成矩阵形式AXXxxxaaaaaaaaaxxxxxxfFTnnnnnnnnn212122212112112121),(),(然后，经过某个坐标变换可以将它的二次型矩阵变成对角矩阵。CYXyyycccccccccxxxnnnnnnnn或者写成令,2121222211121121其中矩阵A是对称矩阵，即 AT = A。DYYACYCYAXXFTTTT是一个可逆的矩阵CACCDT,我们知道，任何一个可

5、逆矩阵都等于一系列的初等矩阵的乘积m),1,2,i是初等矩阵（其中imppppC,21TTTmTpppC12DppAppppmTTTm2112111DAppT22112DpApppTTDppAppppmTTTm2112一一系系列列的的合合同同运运算算经过一系列的合同运算使矩阵A变成对角矩阵D即所用的变换矩阵就变成了是对角矩阵时当最后换作一次相应的初等行变同时对每作一次初等列变换，对矩阵构造,CECEAAEAEAn2n也就是说，我们可以通过以下步骤得到变换矩阵C以及A的对角化矩阵 （二次型的标准化矩阵）。.,4223.132312121并求所用的变换矩阵成标准形化二次型例xxxxxxxf 021

6、201113二次型的矩阵为解100010001021201113EA10001001010103313535311312cc1312rr 10001001012110331353110001010000331313135353110051021800000033131所所给给二二次次型型化化为为标标准准形形所所以以经经过过变变换换,PYX 1005102131P其中2322218313yyyf100010010101033135353113131313rrcc232355rrcc.,822.2323121并求所用的变换矩阵成标准形化二次型例xxxxxxf 解：041401110A二次型的矩阵为

7、2121rrcc100010001041401110EA10001100104340131212121212rrcc100010103030221212525211000101030302212125252112331233rrcc10011000022321232129252521100114180000002212121232355rrcc2322212182yyyf二次型的标准形为坐标变换矩阵为10011412121C置即所用的变换矩阵的转就变成了是对角矩阵时当最后换作一次相应的初等行变同时对每作一次初等列变换，对矩阵构造,TTCECEAAEAEA2nn 在原理上，我们也可以设计初等行变

8、换来求二次型矩阵的标准形及其变换矩阵。DppAppppmTTTm2112111DAppT22112DpApppTTDppAppppmTTTm2112TTTTmCEppp12DACCTD为对角矩阵.,4223.332312121并求所用的变换矩阵成标准形化二次型例xxxxxxxf 021201113二次型的矩阵为解100021010201001113)(AE13121312rrcc100010100011033531353113131313rrcc100010001003313135313531232355rrcc1528000100001003313115280001000010033131二

9、次型的标准形为：1005102131C2322218313yyyf坐标变换矩阵为1520100131TC必须说明：不同的初等变换过程，可以获得不同的二次型15280001000010033131例如：131131rc1528000100000013131313221232212,3,3rrcc110003010000014252233313232rrcc03100101000001334252231例3中的二次型，可以继续进行合同运算其标准形为232221zzzf坐标变换矩阵为01030425332231C以上过程告诉我们，二次型可以通过坐标变换化成标准形。2121221121),(ydydy

10、dDYYAXXxxxfnTTn其中D是对角矩阵，主对角线上各元为d1, d2, , dn, n个实数进一步进行合同变换，可以将二次型化成如下形式：222212222121),(rpppnzzzzzzxxxf该式称为二次型的规范形。r是矩阵A的秩，即二次型的秩。注意：规范型中“+”号的个数与标准型中di0的个数相同。 同样，规范型中“-”号的个数与标准型中diq如果找到不全为零的y1,y2,yn，使(4)式不成立，那么假设不成立 问题： y1,y2,yn取怎样的实数时，(4)式左端大于0，同时相应的z1,z2,zn使(4)式右端小于0？2212222122122221rqqrppzzzzzyyy

11、yyf(4)0001nrpyyynqnqqqnnnnygygygzygygygzygygygz22112222121212121111000方程组的未知量个数为n，方程的个数为n-p+qq造成的。同样，pq亦会产生类似的矛盾。由此得到p=q.惯性定理成立。 第二节 正定二次型正(负)定二次型的概念正(负)定二次型的判别232221164xxxf为为正定二次型正定二次型22213xxf 为为负定二次型负定二次型一、正(负)定二次型的概念 不定二次型。其它形式的二次型称为以上的二次型，为半负定二次型。除了则称，都有如果对于任何为半正定二次型则称，都有任何是负定矩阵。如果对于并称对称矩阵为负定二次型

12、则称都有如果对任何是正定矩阵并称对称矩阵次型为正定二则称显然都有如果对任何设有实二次型定义f, 0)(0X;f, 0)(0X, , 0)(0X;,00 0)(, 0,)( 1XfXfAfXfAffXfXAXXXfT例如例如证明证明使设可逆变换CYX 2222211nnykykykCYfXf充分性充分性 ., 10niki 设设, 0X任给, 0X-1CY则故故 . 02222211nnykykykXf二、正(负)定二次型的判别.:个系数全为正它的标准形的件是为正定的充分必要条实二次型定理nAXXfT 1必要性必要性, 0 sk假设有假设有, 时单位坐标向量则当)(seY . 0010021sn

13、sskkkkkCef, 0sCe显然.为正定相矛盾为正定相矛盾这与这与 f故故 ., 10niki 推论推论1. 实二次型正定的充要条件是其正惯性系数为实二次型正定的充要条件是其正惯性系数为n推论推论2. 实二次型正定的充要条件是其矩阵与实二次型正定的充要条件是其矩阵与n阶单位合同阶单位合同推论推论3. 正定矩阵的行列式大于零正定矩阵的行列式大于零证明：设证明：设A为正定矩阵，则为正定矩阵，则CTAC = E, 两端求行列式得：两端求行列式得：1, 12CACACT012CA, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa ., 2 , 1, 011111nra

14、aaarrrrr 这个定理称为霍尔维茨定理这个定理称为霍尔维茨定理定理定理2 2 对称矩阵对称矩阵 为为正定正定的充分必要条件是：的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即的各阶顺序主子式为正，即AA对称矩阵对称矩阵 为为负定负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即A例例1 1 判别二次型判别二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解 的的矩矩阵阵为为321,xxxf,524212425 它的顺序主子式它的顺序主子式, 05 , 011225, 01524212425故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例2 2 判别二次型判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解