多面体 欧拉公式的发现

1、多面体 欧拉公式的发现【重点难点解析】本节是新增内容，教学要求只是了解，作为知识的综合性与联系，重点应掌握正多面体的概念，尤其是正四面体和正方体的性质，难点是欧拉公式【命题趋势分析】本节为新增内容，只要求了解，高考单独出题可能性不大. 核心知识【基础知识精讲】1.多面体的概念和分类由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体，图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过的棱柱，棱锥都是凸多面体.一

2、个多面体至少有四个面，多面体按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体. 2.正多面体的概念为了更好地弄清正多面体的概念，我们讲一讲与多面体有关的一些其他概念.多面角：从一点出发并且不在同一平面内的几条射线，以及每两条相邻射线之间的平面部分叫组成的图形.如图所示是一个多面角，记作多面体SABCD，或者多面角S.              图中射线如SA叫做多面角的棱，S叫做顶点，相邻两棱如SA、SB之间的平面部分叫做多面角的面，ASB为多面角的两角.每相邻两

3、个面角间的二面角为多面角的二面角，如ESAB.正多面体：如果面体的各个面都是全等的正多边形，并且各这样的多面体叫做正多面体. 3.正多面体的性质(i)正多面体的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.(ii)经过正多面体积上面的中心所在面的垂线相交于一点，这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等.(iii)正多面体各面经过它中心的垂线的交点叫做正多面体的中心.定理：任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.(iv)正多面体只存在五种：因为一个多面角的面数至少是三，并且它的各面角的和必须小于360°，而正n边形的每个内角等于 ，所以，由正三角形组成的正多面体只有

4、三种：正四面体、正八面体和正十二面体；由正方形组成的正多面体只有一种：正六面体；由正五边形组成的正多面体也只有一种面体.  书中是这样定义的正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.其实质是一样的.4.欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V，面数F，棱数E，那么V+F-E2，这个公式叫做欧拉公式.计算棱数E常见方法：(1)EV+F-2(2)E各面多边形边数和的一半(3)E顶点数与共顶点棱数积的一半 典型例题例1  下列几何体是正多面体的是(    )A.长方体

5、60;               B.正四棱柱C.正三棱锥              D.棱长都相等的三棱锥解  选D.因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体. 例2  对于下列命题：(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；(3)若长方体的各

6、侧面都是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是             .解  (2)显然不对，正十二本每个面都是全等的正五边形.(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故(1)、(4)不对.应填(3). 例3  一个凸多面体有8个顶点，如果它是棱锥，那么它有      条棱

7、，     面；如果它是棱柱，那么它有      条棱      个面.解  如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面基础题例1  一个十二面体共有8个顶点，其中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相同数目的棱，则其他顶点处各有多少条棱？ 思路：可利用欧拉公式，关键在于弄清E、F、V的含义。解：F=12，V=8   E=V+F-2=18两个顶点处各有6条棱，余

8、下6个顶点，这6个顶点构成六边形，过这6个顶点的棱各有4条。这样的十二面体模型可以这样作：作一六边形（不妨作正六边形），在这个六边形所在两侧各取一点，共8个顶点，12个面。 例2  一个简单多面体的顶点数为12，每个顶点处都有3条棱，面的形状只有四边形和六边形，求该多面体的各面中四边形和六边形的个数。 思路：可利用欧拉公式列出关于多面体面数F，顶点V的方程，关键在于确定棱数或找出棱数与该多面体的各面中四边形和六边形的个数之间的关系，从而探求思路。解：设多面体中，四边形和六边形分别有x个和y个在多面体中，顶点数V=12，面数F=x+y棱数 根据欧拉公式有12+(x+

9、y)-18=2     另外，棱数E也可表示为 于是    联立得x=6，y=2所以该多面体的面中四边形有6个，六边形有2个。 易错题例   一个简单多面体的各面都是三角形，若它的顶点数为V，面数为F，则F与V之间的关系是_。 错解：因多面体有F个三角形，从而有3F条边故多面体的棱数为E=3F据欧拉公式得V+F-3F=2V=2F+2  即 错误原因分析：错把多面体的棱数算成了3F条，没有考虑到多面体相邻两面的两条边合为一条棱，故多面体的棱数实为 。解：因多面体有F个三角形，从而有3F条

10、边故多面体的棱数为 据欧拉公式得 2V=F+4   即F=2V-4 创新题例1  已知铜的单晶体的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶体有24个顶点，以每个顶点为一端都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目。 思路：欧拉公式在化学中有广泛的应用。本例的特点是：各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍是各面边数总和的一半，另一方面，已知顶点数及每一个顶点发出的棱数，也能求得多面体的棱数，计算公式如下：多面体的棱数E与各面的边数之间的关系 （其中 ， ， 为各面的边数）多面体的棱数E与各顶点引出的棱数

11、之间的关系 （其中 、 ， 为各顶点的棱数） 解：设三角形晶面有x个，八边形晶面有y个，则单晶铜面数F=x+y又顶点数V=24，且每个顶点为一端都有3条棱所以棱数 由欧拉公式得24+(x+y)-36=2  整理得x+y =14   又因棱数    整理得3x+8y=72   由解得x=8，y=6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个。 例2  有一个三棱锥和一个四棱锥，它们的棱长都相等，将它们的一个侧面重叠后，还有几个暴露面？ 思路：此题是美国的一道有83万人参加的1982年中

12、学生数学竞赛试题，出题者和绝大部分考生都认为正确的答案是7个面，但佛罗里达州的一名中学生丹尼尔则答是5个面。被评卷委员会所否定，结果丹尼尔自己做了一个模型验证其结论的正确性，并给出了证明。提出了申诉。最后在有关数学家再度仔细考虑之后不得不承认他是正确的。实际上丹尼尔最初是凭直觉来思考的。但丹尼尔的思维是创新思维。 解：如图9-126，面VAD叠合后，直觉地想到SVAB，则S、A、B、V共面，同理，S、V、C、D也共面。先作SVAB，取VS=a（棱长），则易证SVAD为正三棱锥。答：还有5个面暴露。 名校模拟题 例1  已知简单多面体的每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱相交。求该简单多面体的面数、顶点数和棱数。 思路：由欧拉公式及简单多面体的顶点数、棱数、面数之间的关系，得到由三个未知量组成的方程组，解方程组即可。解：设简单多面体的面数为F，顶点数为V，棱数为E因为每个面上有5条边，所以棱数 又因为每个顶点有三条棱相交，所以棱数 ， 又因为V+F-E