三讲熟练定理与技巧

1、第二、三讲：熟练定理与技巧，学好几何面积【规则图形公式总结】【常用知识总结】三角形的等积变形：等底同高，面积相等。等高同底，面积相等。三角形中的比例关系：两个三角形高相等，面积之比等于底边之比；两个三角形底边相等，面积之比等于高之比。 鸟头定理（等分点定理）：如图所示面积有，AED=ABC。蝴蝶定理（任意四边形的比例关系）或者；。如图所示：对乘相等。梯形蝴蝶定理（梯形比例关系）：；S1S3S2S4S梯形=a2b2abab(a+b)2 ;如图所示： 燕尾定理（三角形中有一点和三角形的顶点连接，常考蝴蝶定理或燕尾定理。） SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC； SBGA：SBGCSAGF

2、：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB； 相似三角形性质:相似图形，对应边的比相等。相似图片的面积比等于对应边之比的平方。 ; S1S2=a2A2 中位线定理与相似三角形：在三角形中，E、F为AB、AC的中点，则有：（1）EFBC，（2）2EF=BC,（3）AEF与ABC相似， 则AE:AB=AF:AC=EF:BC在梯形中（如上右图），E、F为BC、AD的中点，则有EFDCAB，2EF=AB+DC 长方形相关结论(三大面积关系) S上S下=S左S右（1）锯齿定理(左下图)：阴影=空白面积=矩形面积的一半。（2）右下图的三个平等四边形面积相等。 共角定理（鸟头定理是

3、共角定理的特例）：在ABC和，若A或A，则。如下图：【常用求面积的方法】1、公式计算。2、借助方程。3、加减法。4、巧添辅助线（常考虑等分点）。5、“移动法”，即割补法。割补法的主要思路：“割”下图形的某一部分，再将它改变位置后“补”在图形的剩余部分上，使图形变为一个面积容易求出的图形。6、面积变换（等积变形）。变形法的主要思路：不需要“割补”，利用各种性质作一系列等积代换，便可解决问题。等积变形核心想法：面积比转化为线段比，线段比转化为面积比。【按比例分配】【1】【解】8.4 如下图所示 SBC×AECD×AF ,其中 AE3 . 5 , AF4，即BCCD.所以CDCD

4、4.5，CD2.1cm，故它的面积 SCD×AF8 . 4 .【2】【解析】 【面积大小关系的题目】常常同时加一块（或减一块）。【1】【解】8 将空白的三角形加在甲和乙上即变为两个直角三角形，这两个直角三角形的差即为甲、乙的面积差，故×8×6×8×48即甲比乙的面积大8.【2】【解】7.5 COD比AOB大15平方厘米，则CBD比ABD大15平方厘米，而CBD是ABD的2倍，所以ABD的面积为15平方厘米，AOB的面积是ABD面积的一半，所以AOB的面积为7.5【综合应用移动、补割、加减法、容斥原理、辅助线及相关定理等巧求面积】【1】【解析】从

5、图中易看出，长方形的面积比三角形的面积大1.如下图所示ABG、ECB，CDF均是等腰三角形，面积均为于是 1 ，各边对应相等。ABBCCD，故 ABAD。所以3×3×218 ,所以119【2】【解析】连接ED、DF、DM（M为EF的中点），可看出EH与DM平行，则EDF的面积是长方形EFGH面积的一半。EDF的面积正方形ABCD的面积EBF的面积FCD的面积AED的面积16.5则长方形的EFGH面积33【3】【解析】（1）因为三角形AGD的面积是三角形DGF的面积的2倍，两个三角形有相同的底边DG，所以三角形AGD的高是三角形DGF的高的2倍，则 AB=4×（2+

6、1）=12.梯形ADCB的面积是 （4+12）×4÷2=32.（2）正方形DEFC的面积是4×4=16，三角形AFB的面积是 （4+4）×12÷2=48.因为三角形AGD与多边形ADGFB的面积和等于三角形AFB的面积，即48，所以三角形GEF和三角形AGD的面积相等。【4】【解析】因，所以中间阴影面积等于三个小三角形的面积，如下图： ，连接BG，如上图，设，因BD=2DA，所以有=；因CE=2EB，则，因此知，所以；则因此ABC的面积是阴影三角形面积的7倍。【5】【解析】7. 31易知阴影部分的外围也是一个正方形，设其边长为a , 其面积为大

7、正方形面积减去四个小直角三角形的面积，即=4××3×5=34.故阴影部分面积等于该正方形的面积减去小圆形的面积：即 =·=7.31【6】 【解析】从四边形的4个顶点向对着的正方形的边画垂线，可以看出，阴影部分的面积比正方形阴影以外的面积多出一个小正方形，面积是2*3=6，所以阴影部分面积=（100+6）/2=53（平方厘米） 例1、 答：阴影部分的面积是53平方厘米。【龙班】（实验中学考题）在直角边为3与4的直角三角形各边上向外作正方形，三个正方形顶点连接如图所示的六边形ABCDEF，则这个六边形的面积是_。 如右上图，六边形面积为74。【7】【解析】2

8、7，阴影部分面积是三角形EDC面积的一半12，MEB+NPC=12，AMN=MNO=3.【8】【解析】作辅助线 BE ，则易看出AED 与AEB 面积相等，分别以AD与AB为底，且高均为×62cm.所以， ×6×26又 ×（×6）×（×6）8×（×6）×66.所以36一（6×286) 10.【9】【解析】因为等底同高的三角形面积相等，已知BD=AB， 所以即，【10】【解析】假设宽为a,长为2a，由勾股定理可得：5a×a=9×9=81，所以a×a=81&#

9、247;5，长方形面积为2a×a=162÷5=32.4【11】【解析】24÷(4+2×8)=1.2,1.2×1.2=1.44【12】【解析】（1）8×2×3.14÷4+10×2×3.14÷4+6×2×3.14÷4=37.68（厘米）；（2）8×8×3.14÷4+10×10×3.14÷4+6×8+6×6×3.14÷4=205（平方厘米）。【13】【解析】10

10、从图中可以看出AFD、ABC、DBC 的面积相等，且均为长方形ABCD的一半，即×8×15 =60 .若将三块面积（上述三个三角形）加起来，再加上阴影部分的面积，则可看出除了四边形EFGO “覆盖”了三层之外，其他部分均“覆盖”了两层，故四边形 EFGO 的面积为：= 2= 3×6070一2×8×l5= 10 即四边形 EFGO 的面积为 10。【14】【解析】8.58如下图所示：正方形的面积 = 9。扇形BMQ和CNP的面积：=·=3 而扇形BKQ与扇形CKP的面积为：·18=故PKQ的空白区域面积为： 2（）=9所以=1

11、一2=2 3一（9） = 18 一3=8 . 58【15】【解析】如下图有：18:89=26:x，解析得x=1157/9，三角形DBE的面积为115/9-89=【16】【解析】由图可知，SADE与SAGE的高相等，是SADG的高，故设SADG的高为h1；同理可得，SBCG的高为h2.由此列式：SADE+SBCE=67,SAGE+SBFE=166；带入面积公式可得：24×h1+20×h2=166×2，8×h1+10×h2=67×2；解得：h1=8。所以，三角形ADG的面积是（8+20+4）×8÷2=128平方厘米。【

12、表面积与立体图形的认识】投影法巧求表面积，一刀两面的应用。【1】【解】26，应用投影法，（4+4+5）×2=26【2】【解析】B ； 2：3， A的体积=×22×3 = 12 B的体积=×32×2 = 18故 B 的体积比牧大， A、B体积比为=。【3】【解析】168。切开后的表面增加了立方体的表面积，易看出相当于每个面都增加了2倍，即总表面应增加到 56×3 = 168，即为所求（无需单个计算，整体看即可）。【4】【解析】利用投影法：5×5×6+3×3×4+2×2×2=19

13、4（平方厘米）.【5】【解析】因为大正方体每条边上有偶数个小正方体，所以从图中可以看出，每层都有4个黑色的小正方体，它们在每层中所占的百分比相同。所以每层有4÷（1-93.75%）=64个小正方体。即大正方体的每边上有8个小正方体，所以一共用了8×4=32个黑色的小正方体。【6】【解】25；9 【7】【解析】9【8】【解析】942，V =××9 = 706 . 5 ，=V×（1）=942（因圆锥的体积为V）【9】【解析】若将小球的体积看作3份，则 中球体积为（31）份 大球体积为（46）份 所以小、中、大三球的体积比是3：4：10【几

14、何计数】【1】【解析】如图所示，三面涂颜色的立方体在8个顶点处，两个面涂颜色的在棱上（不含顶点），只有一面涂色的是表面上除去上述两类的小正方体，总数去掉这三类就是没有涂色的小正方体。顶点所在的立方体有三面涂颜色，共8个；每条棱所在的立方体中只有两面涂颜色的有8个，共8×12=96（个）；每个侧面所在的立方体中只有一面涂颜色的有64个，共64×6=384（个），没有涂颜色的有8×8×8=512（个）。【2】【解析】小正方体可以分成两类：一类是顶点处，每组有8个小正方体，另一类是夹在前者之间的下正方体，这类共有12个。第一类为8个一组的正方体。每一组的外部有

15、4×6=24个面，其中与第二类小正方体接触的那3个面没有被染上红漆。第二类每个小正方体有4个面被染上红漆，所以被染上红漆的面的个数为（4×6-3）×8+4×12=216（个）。【3】【解析】体积为16立方厘米的长方体木块能够分成16个相同的小正方体，由此可知小正方体的棱长是1厘米。因为，16=1×1×16=1×2×8=1×4×4=2×2×4，即体积为16立方厘米的长方体三条棱长有4种可能：1，1，16；1，2，8；1，4，4；2，2，4.其中，只有第种长方体在切开后，2面涂漆

16、的小正方体有8个，3面涂漆的小正方体有8个，4面涂漆的小正方体有0个。【4】【解析】36+36+8-1=79个。【5】【解析】2+8×(8-1)×5+16+18+19+20=282+16+18+19+20=355个部分。【6】【解析】单位正方体，边长为 1 .易看出，从A到B，最短的路线长为 6.由于各棱的等效情况，我们只看其在一棱上出发的可能性的个数A 从一条棱出发，走一步后有三种选择，每一种选择之后又有两种选择，在每一个选择后又有二种选择，故一共的选择有： N3×3×2×354 种.故从 A 到 B 的最短路线共有 54 种【三角形的两边之

17、和大于第三边，两边之差小于第三边】【1】【解析】55。能拼成三角形木架，说明任意三根木条都不满足三角形边长条件，即两边和大于第三边，两边差小于第三边. 假设木条从短到长排列的编号依次为1，2，3，10，不妨假设2号长2，则3号最短为3，4号最短为5，5号为8，6号13，7号21，8号34，9号55，10号89。即排列顺序为：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89（每一根木条都是前两根木条的和），所以第二长的木条为55。【角度相关】【1】【解析】540如下图所示，易1=2，3=4，5=6，且2+4+6=180°，所以A+B+C+D+E+F+G=（A+B+G+5）+（C+D+1

18、）+（E+F+3）（2+6+4）=360°+180°+180°180°=540°【2】【解析】五个长方形加起来为12×5×10=600，5个扇形加起来一定正好是一个圆3.14×10×10=314，共914.【评析】n边形内角和：(n-2)×180度，n边形外角和：360度。【巩固练习】【1】【解】6长方形的总面积为16×（2x），被分成面积相等的的四部分.16×2×16×（2x），所以x826.【2】【解析】不考虑去掉的3个小正方体时，表面积为3×

19、;3×6；上底与下底共减少了2个小正方形，但又增加了12个小正方形，所以所求几何体的表面积=3×3×6-1×1×2+1×1×12=64.【3】【解析】【4】【解】800【5】【解析】（平方厘米）或（平方厘米）【6】 【解析】图（）、图（）、图（）分别最多留下0个、2个、6个×的空方块。如下图所示。（画法不唯一）【7】【解析】（5×4+5×3+3×4）×2=94，94-5×4=74.【8】【解析】76【9】【解析】25%【10】【解析】先计算四个长条形面积之和，再减去

20、重叠部分=3×25+1×25+2×15+3×15-2×l-2×3-3×1-3×3=155。解法1 先计算四个长条形面积之和，再减去重叠部分 =3×25+1×25+2×15+3×15-2×l-2×3-3×1-3×3=155。 解法2 可将四组平行线分别移至端线处，如图所示，移动后阴影部分面积不变。 长方形ABCD面积为 25×15=375， 中间空白的长方形面积为 (25-2-3)×(15-1-3)=220。 所以 =375-220=155 【11】【解析】4 b+a=6a，也就是4 b=5 a,即a:b=4:5；6a=5c,即a:c=5:6;所以a：b：c=20：25：24【12】【解析】显然，20平方厘米.5【13】【解析】因为ABC和DEC都是等腰直角三角形，阴影部分是正方形，把图形分割，ABC的面积等于9个小三角形的面积，DEC的面积等于8个小三角形的面积。所以ABC的面积=160÷8×9=180（平方米）。【14】 【解析】“L”图形占用4个小正方形，大正方形一共有25个小正方形，25=4×6+1，故理论上可放置6个这样的“L”图