电磁场理论复习题(含答案)

1、第12章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1. 设：直角坐标系中，标量场 u = xy yz zx的梯度为A，贝U M (1, 1, 1 )处A=， A= 。A ),则必须同时给定该场矢量2. 已知矢量场 A = ? ( y + z) + $y 4 xy 2 + 3z xz ,则在 M( 1,1,1 )处可、A= _9_。3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场(场量为的旋度l A 及散度 人1#4. 写出线性和各项同性介质中场量 D、程)：D = eE, B = PH , J = cE5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为e、B、H、j所满足的方程(结构方JdS =_ gJ 二-c

2、PS土和二一#答案：B答案：C6. 设理想导体的表面 A的电场强度为E、磁场强度为B，则(a) E、B皆与A垂直。(b) E与A垂直，B与A平行。(c) E与A平行，B与A垂直。(d) E、B皆与A平行。7. 两种不同的理想介质的交界面上,(A) E1 =E2 , HH2(B) E1n 二 E2n ,日仆二出.(C) E1t = E2t , H 仆=H 2t(D)E1t = E2t , H1n = H2n8.设自由真空区域电场强度E =eyEoSin(3t B)(V/m),其中E。、3、卩为常数。则空间位移电流密度 Jd (A/m2)为:(a) ey E0 cos( wt B )(C)e w

3、；o E 0 cos( st - B )(d)- e BEcos(wt- B Z 答案：Cx9.已知无限大空间的相对介电常数为；r =4，电场强度E=exT0cos (V/m),其中2d(a)(c)(d)2 二；答案：d订、d为常数。则x=d处电荷体密度t为:3#10. 已知半径为Ro球面内外为真空，电场强度分布为(_? cos r ?sin -) Ro(r 2R2Ro(2)由边界条件RoDm 一 02n 二:?s 得:_；o(Em 一 E2n) 一 ；o(E1r - E2r)二2rcr即空间电荷只分布在球面上。11. 已知半径为Ro、磁导率为的球体，其内外磁场强度分布为(r A二丁 R；-o

4、(2) 球面上由边界条件 比七-H2t二Js得Js =(Ht-H2)w一(2 V)sin =-o#第3章 静电场及其边值问题的解法1.静电场中电位与电场强度E的关系为_ -;在两种不同的电介质(介电常数分别为勺和)的分界面上，电位满足的边界条件为1=2 ；:1；：n2-22.设无限大真空区域自由电荷体密度为p ,则静电场：、E =0 .E =；- -2 -P 2eVP3.电位 和电场强度E满足的泊松方程分别为純、4.介电常数为；的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为Wm=；E225.对于两种不同电介质的分界面，电场强度的切向 分量及电位移的法向 分量总是连续的。6.如图，E!、E2分别为两

5、种电介质内静电场在界面上的电场强度,；，=-30,7.则小-60，IE!I IE?3理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度 九与电位沿其法向的方向导数 的#关系为；n8. 如图，两块位于 x = 0和x = d处无限大导体平板的电位分别为0、Uo,其内部充满体密度P=巾(1- ex_d )的电荷(设内部介电常数为 苍。( 1)利用直接积分法计算 0x a各点的电位分布。Sol.空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于:无限大接地导体平面 +接地导体球边界条件：平面=球面=Q使平面=Q，引入镜像电荷：z - -d, q - -qQ 使球面=0，引入镜像电荷： 2aa乙=一,q1 = q

6、odd22a az2刁石，q2二z轴上z a各点的电位：,也4二;q |z -d | z -乙qo 1q。q2旦z _ z2z d2a31,2 -24-4兀gQzd| z d -a z + d#11.已知接地导体球半径为 Ro，在x轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷 +q、-q , 位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2 ）球外空间电位；（3） x轴上x2Ro各点的电场强度。Sol. (1)q1引入两个镜像电荷:Roqq =2Ro2q2RoRqx-i :2Rq2Ro2RoX2Ro2(2)(x, y,z)二 14 二；Q.q1 . q2R1R2二（略）R 二.(x匚

7、2Ro)LyLz2 , R(x匚R/2厂yLz2R2 二. (x Ro/2)2 y2 z2 , R = (x 2Ro)2 y2 z2(3) x轴上x2Ro各点的电场强度：E=xq 2+/2 2 十也 2 十q 21(x2R0)(x R0/2)(X + R0/2)(x + 2R) 一12. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q,求(1)各镜像电荷的位置及电量；(2)两块导体间的电位分布。Sol. (1) qi = 一q， ( -a, 0, 0)q2 ngo， (0, -a, 0)(2)(x,y,z)4 兀iR0R1R2二(略)其中：R = . x2 (y _a

8、)2 z2R1 = (x a)2 y2 z2R2x2 (ya)2 z2R3 = . (x -a)2 y2 z27第4章 恒定电场与恒定磁场1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于 0，净余电荷只能分布在该导电媒质的表面上。2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中，、J二 0; I Q二 0。3. 在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度E和电流密度J的边界条件为：E1tE2t、 J1nJ2n24. 在电导率为二的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小 E的关系为Pc二二E 。5. 恒定磁场的矢量磁位 A与磁感应强度B的关系为B八 A ； A所满足的泊松方程为 v2a = - 2。6

9、. 对线性和各项同性磁介质（磁导率设为卩），恒定磁场（磁场强度大小为H ）的磁能密1 L 12度WmH 2, V空间磁能Wm =2H dV。27.已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：A =xX2y eyy2x - &zCxyz , C为常数，且A满足库仑规范。求（1）常数C ; （2 ）电流密度J ; （3）磁感应强度B。Sol. （1）；az（直角坐标系中： a =8x（- cycz库仑规范：A = 0 匹 :x:y: z-a yax :. aza yax）e?y（x z）ez（- x）czexexcy二 2xy 2xy Cxy = 0二 C - -4由 I 2a 二 ,-v2AJ 二A =g

10、x2y eyy2x _ez4xyz 得:1 2A c A c2A+ +2 2 cycz1ex2y ey2x822B = i A = -g4xz ey 4yz 0（ y - x ）8. （P.136.习题4.2）在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（；1壬1和%严2 ）,其厚度分别为d1和d2。若在两极板上加上恒定的电压U 。试求板间的电位门、电场强度E、电流密度J以及各分界面上的自由电荷密度。Sol.用静电比拟法计算。用电介质（-.-I和；）替代导电媒质，静电场场强分别设为” E1d1 +E2d2 =U0Dr = D2 t 角Er = 2E2E1E21U 02宀11 d 2（0 ：

11、x ： d1）（dr : x ： d2）#E1x(x)二EidipU oi -2 d i -d 2 E2 (x di)i.1 X ( -2 ；i)diUo（0 : x ： di）（di ： x ： d2）1 ；2U 0电位移：Di - D? - ”Ei-?Epdi i d 29#静电比拟： E=E , J=D ,6=，则导电媒质中的恒定电场:#U 0x:2di；一“2qx (:2 - ;i )di二2di vd2UoexE(x)=_ ex6U oGdi ；：id2-iU 0二2di -rid2(0 ： x ： di)(di ： x ： d2)(0 : x : di)(di : x ： d2)s

12、 Xz0“-；i ；2U 0二2di 一d.:n:x1 ；RU 0-2d -d2，sx id2j2；2gUs_=n_=nGd（；i；2 一 ；2；i）U：n xm_=xx=di二 2dird可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号Ps XT -Ps。只有理想电容器才有电容定义。9. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为a、2a，电导率为二。如图建立圆柱坐标，若电位计: U0 （常量）及. 0 = 0。求（i）导电媒质上电位分布以及恒定电场的电场强度 E ；（2）该情况下导电媒质的直流电阻R。Sol.由边界条件可知，导电媒质上电位仅与坐标有关，即(i)、2二=0-i d2

13、由=U0及.0得：（）=空（第 9题图）10(2)J 二：丁 E 二严02Uoji11#2a2S（a小三 22aI = JJ dS = J J (a d)Sa#直流电阻:JI2；al n2#10. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为a、2a ,电导率为二。如图建立圆柱坐标，若电位心=U0 （常量）及九|.；步=0。求（1）导电媒质上电位分布以及导电媒质上恒定电场的电场强度E ；（2）该情况下导电媒质的直流电阻Sol.由边界条件可知，导电媒质上电位仅与坐标有关，即二（1 ）1 2=0 二:：dU =0 - 二 Al By d-由Uo及 g =0得: （-制n黑ln（2a）-

14、二 -二-U0 1_厂汩n2 ;(2)J YE J。1-jrPIJ dS 二 J (a ) S22ln 2直流电阻:2ln2a12第5章电磁波的辐射1. 复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为 , 。2. 坡印亭矢量 S 的瞬时表示式是 ，平均值是 ：2E3. 自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为I 2E20，这个方程在正弦2 二 2 二渔电磁场的情况下变为E k E = 0。4.正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为在无损耗的均匀媒质中V2H +k2H =0，其中 A5.(A)(C)2在时变电磁场中，磁感应强度(B)(D)2B与位的关系为电场强度E与位的关系为13#6.已知某一理想介质；

15、=4 ；o,亠=0 中）时谐电磁场的角频率为，位移电流复矢量为，Jd =唧0 cos nya,a、l：,J0皆为常数。则电场强度复矢量E为（A）（-J。5xn 4cos e(B)-J。 ex-n隹cos ej aj40a（C）J0渋-n 4隹sin e(D)J0ex-sin卫丁心答案：Bj aj4ya7. 电偶极子天线的功率分布与二的关系为 a（a） sin2（b） sin（c） cos2（d） cost8.自由空间的原点处的场源在t时刻发生变化，此变化将在b时刻影响到r处的位(a) t -丄;cr(b) t ;(c) t ;(d)任意c9. 在球坐标系中，电偶极子的辐射场（远区场）的空间分布

16、与坐标的关系是sin日(b) -rsin日(c)rsin2 日(d) r10. 一均匀平面波垂直入射至导电媒质中并在其中传播，则（A）不再是均匀平面波。（B）空间各点电磁场振幅不变（C）电场和磁场不同相。（D）传播特性与波的频率无关。答案：C11. 下列电场强度所对应的电磁波为线极化方式的是.（A） E =ex10 e：z eylOj e（b）E =ex10 e：z-ey1Oj ejz（C） E =&10 e护-&10 e（D） E =& 10 沪+瓦10答案：C12、已知真空中某时谐电场瞬时值为E（x,乙t） =$ySin（ 10二x） cos（，tkzZ）。试求电场和磁场复矢量表示式和功率

17、流密度矢量的平均值。解：所给瞬时值表示式写成下列形式E（x, z,t） = Rey sin（10二x）ekzZej t因此电场强度的复矢量表示为-ik zE（x, z） = & sin（10二 x）e z由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为H (x, z)二C E)exez1j呱dxczExEyEzj0sin(10 二 x) -？10 二j0cos(10兀 x) e_ikzz15#功率流密度矢量的平均值Sav等于复坡印廷矢量的实部，即- - 1 * 1&v 二 Re(S)二 Re(E H )二 Re2 2exEx*HxEy*HyezEz*Hz#AIRe(&EyHz

18、-ezEyHx)k 2zsin 2(10 兀 x)05二 kz2_xsin (20 兀 x)+ezI j叫卩kz 2二 & z sin (10： x) 20#13、已知真空中时变场的矢量磁位为A(z,t)二ExA。cos( t - kz)16求：（1）电场强度E和磁场强度H ； （2）坡印廷矢量及其平均值。#解：（1）把矢量磁位的瞬时值表示为A(z,t)二 Reiexejkzei t#则矢量磁位的复数形式为A（z）=软产根据磁场强度复数形式H与矢量磁位复数形式 A之间关系可以求出11H (z) ( tA)：LL0e；:xez=eyAx =ey(-jkAo)ez；z jzAzAx磁场强度的瞬时值

19、为H （z,t）二 ekAcosC，t - kz _ ）根据麦克斯韦方程组的第一个方程lJ j D，此时J = 0，电场强度与磁场强度之间关系为E（z）=& 订）=丄jEj0SeHxey.9Hyez.: - 12= _exj；HzHy 1 kA。_jkzF e：z j ；电场强度的瞬时值为k2A0E(z,t) =Re(E ej)=&cos(豹t kz)2（2）坡印廷矢量为,3 2c c k A0S=E H 二 g y父 cos(tkz )g2,3 2c k A02:二 ez- cos ( tkz ) 2坡印廷矢量的平均值为_1_l1Sav=Re(S2Re(E H*zkA22：-.17第6章、均

20、匀平面波的传播1. 两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成波为圆极化波，则它们的振幅 相同，相位相差二/2。2. 均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，反射波电场与入射波电场的振幅相等 :相位相差二。3. 均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质；r =2.25,3 =1,二=0表面上，则电场反射系数为_ -1/ 5。4. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度为E二ex100cost-20：zV/m，则波的传播方向为 +z ，频率为 3X109 Hz ，波长为 0.1m，波的极化方式为 _沿100x方向的线极化波，对应的磁场为H20rZ)A/m ，平均坡印亭矢量Sav为気 37 7

21、。5.均匀平面波电场方向的单位矢量eE、磁场方向的单位矢量 eH以及传播方向的单位矢量6.e三者满足的关系是损耗媒质的本征阻抗为eeEeH，表明损耗媒质中电场与磁场在空间同一位置存在18#着 相位差，损耗媒质中不同频率的波其相速度不同，因此损耗媒质又称为 色散 媒质。7.设海水的衰减常数为-，则电磁波在海水中的穿透深度为12_，在此深度上电场的振#1幅将变为进入海水前的e 。8.在良导体中，均匀平面波的穿透深度为(a)22帖PerI 2(c)-七(d)aO-j :z9.在无源的真空中，已知均匀平面波的 常矢量，则必有 C 。4E =E0eT-z和H =日代一山，其中的E0和H0为# ezE =

22、0；(b) ez H 二 0;(c) E H = 0； (d)E H =010.以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是 b(a) 不再是平面波(b) 电场和磁场不同相(c) 振幅不变(d) 以TE波的形式传播11、已知空气中存在电磁波的电场强度为E =e yEoCOS(6二108t 2：z)V/m试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应 的磁场强度H。相位和方向均相解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、 同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量E = eyEoejkz该式的电场幅度为 E。，相位和方向均不变，且 E =0

23、= E _ez，此波为均匀平面波。 传播方向为沿着 _ z方向。t =6二 108t =，- 6门：108波的频率f =3 108 Hz波数波长相速Vp由于是均匀平面波,1 mkdz 3 10 m/s dt k因此磁场为?（- ez E）Zw二 ex 旦 ejkzxZw20# 8E 二 exE0 sin（2二 10t-2：z），已知介12、在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为质的7 =1，求；r，并写出H的表达式。 解：根据电场的瞬时表达式可以得到 =2二108， k=2二，而2k = .= ；r r ：0 %r = C9c电场强度的瞬时式可以写成复矢量为- j2z 七E 二 exEe波阻

24、抗为Zw -=40，则磁场强度复矢量为HE ） “y旦 e*2Zw40 :#因此磁场为H 二 ey旦40-sin （2 二 108t-2：z）#13、铜的电导率=5.8 107 S/m，、J = ；r =1。求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、 波长、透入深度及其波阻抗。36 二(1) f =1 MHz ； (2) f =100 MHz ； (3) f =10GHz 解：已知；0 吕 10-9 F/m 和 =4二 10 H/m，那么=44 1018(1)当f=1MHz时，*=1.04410121，则铜看作良导体，衰减常数：和相位常数：分别为= 15.132、，f =15.132 103相速：v

25、 pf =4.152 10 f =0.4152 m/s波长：.=24.152 10 m透入深度：=1 =6.6 10 mCt波阻抗：Zw ：、J(1 j)=2.61 10(1 j). f=2.61 10-4(1 j) 当f =100 MHz时，二=1.044 1010 . 1，则铜仍可以看作为良导体，衰减常数和OS相位常数一:分别为15.132. f =15.132 104 2 n相速：vp=_=4.152 10 f =4.152 m/s波长：.=2=4.152 10-5 m透入深度：=1 =6.6 10-6 mCt波阻抗：zw：二(1 j)=2.61 10(1 j). f=2.61 10止(

26、1 j)当f =10 GHz时，亠=1.044 108 . 1，则铜看作良导体，衰减常数:-和相位常数一：分别为- -5a =B =、；一 =15.132jf =15.132汉105相速：vp 二：=4.152 10/ . f =41.52 m/s波长：，二生=4.152 10-6 m透入深度：1=6.6 10 _ma波阻抗：Zw =筹(1 +j) =2.61x10(1 +j)/F =2.61 汉10(1 +j)14、海水的电导率 c -4S/m， ；r =81 ,lr =1，求频率为10 kHz、10 MHz和10 GHz时 电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。解：已知；0110-9 F/m 和

27、 =4 二 10H/m，那么育 1 8 109。36 昭cos f 9(1)当f 10kHz时，二=-8 109=8 105 - 1，则海水可看作良导体，衰减常数和;.讥 f 99相位常数：分别为I =397 W “397相速：vp=- =1.582 103._ f =1.582 105波长：15.83 m透入深度：= =2.52 mCt波阻抗：Zw ：-(1 - j) =0.316二 10-3(1 j).厂=0.099(1 j)V 2cty衰减常数:- 当f =10 MHz时，一 =8 102 =88.89 .1 ,则海水也可近似看作良导体, ;讥 9和相位常数分别为= 3.97 10： . f =12.5522#= 1.582 103. f =5.00 106波长：=2 = 0.500 m相速:Vp1透入深度：.二丄=