勾股定理讲解

1、勾股定理讲解知识点一:勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为:a , b ,斜边长为 c ,那么 a 2+b 2=c 2.即直角三 角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.要点诠释:(1勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。(2勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。(3理解勾股定理的一些变式:c 2=a2+b2, a2=c2-b 2, b2=c2-a 2, c 2=(a+b2-2ab熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的: 3、 4、 5 5、 12、 13; 8、 15、 17; 7、 24、 25; 10、 24、 26; 9、 40、 41. 类型一:勾股定理的直接

2、用法1、在 Rt ABC 中, C=90°(1已知 a=6, c=10,求 b , (2已知 a=40, b=9,求 c ; (3已知 c=25, b=15,求 a. 【 练习 】 :如图 B = ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则 AB 的长是多少 ?类型二:勾股定理的构造应用例 如图,已知:在 中, , , . 求:BC 的长 . 12【 练习 1】如图,已知:, , 于 P . 求证:.【 练习 2】已知:如图, B= D=90°, A=60°, AB=4, CD=2。求:四边形 ABCD 的面积。题型三 :旋转问题:

3、例 如图, P 是等边三角形 ABC 内一点, PA=2,PB=求 ABC 的边长 . 3练习 如图, ABC 为等腰直角三角形, BAC=90°, E 、 F 是 BC 上的点,且 EAF=45°,试探 究 222BE CF EF 、 、 间的关系,并说明理由 .题型四 :关于翻折问题例:如图,有一块直角三角形纸片, C=90°, AC=6cm , BC =8cm ,现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠,使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,求 CD 的长。练习:如图, 矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm, BC=6cm, E 为 BC 上一点, 将矩

4、形纸片沿 AE 折叠, 点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处,求 BE 的长 . 类型五:勾股定理的实际应用例 如图,公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇,点 A 处有一所中学, AP=160米,点 A 到公路 MN 的距离 为 80米,假使拖拉机行驶时,周围 100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向 行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是 18千米 /小时,那 么学校受到影响的时间为多少?类型六 用勾股定理求两点之间的距离问题例 如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地 A 点出发,沿北偏东 60°方向走了到达

5、 B 点,然后再沿北偏西 30°方向走了 500m 到达目的地 C 点。(1求 A 、 C 两点之间的距离。(2确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。 4【 练习 】一辆装满货物的卡车,其外形高 2.5米,宽 1.6米,要开进厂门形状如图的某 工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ? 类型七用勾股定理求最短问题【 例题 】如图,一圆柱体的底面周长为 20cm ,高AB为 4cm ,BC是上底面的直径.一只蚂 蚁从点 A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点 C ,试求出爬行的最短路程. 练习:如图为一棱长为 3cm 的正方体,把所有面都分为 9个小正方形,其边长都是 1cm ,假 设一只蚂

6、蚁每秒爬行 2cm , 则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点, 最少要花几秒钟? 类型八:勾股定理及其逆定理的基本用法例 若直角三角形两直角边的比是 3:4,斜边长是 20,求此直角三角形的面积。5【练习 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。 【练习 2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。 类型九：转化的思想方法 例 如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。 一、选择题（每小题 2 分，共 26 分） 1. 将直角三角

7、形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 2、等边三角形的边长为 2，则该三角形的面积为（ A、 4 3 B、 3 C、 2 3 ） D、3 ( 3、一艘轮船以 16 海里小时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，同时另一轮船以 12 海 里小时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 3 小时后，则两船相距（ A：36 海里 B：48 海里 C：60 海里 D：84 海里 ） 6 4、若 DABC 中， AB = 13cm, AC = 15cm ，高 AD=12,则 BC 的长为（ A：1

8、4 B：4 C：14 或 4 D：以上都不对 ） 5、 五根小木棒， 其长度分别为 7， 15， 20， 24， 25， 现将它们摆成两个直角三角形 （如图） ， 其中正确的是（ ） 6、如图 1，小方格都是边长为 1 的正方形，则四边形 ABCD 的面积是（ A25 B125 C9 D85 ） 图1 二、填空题（每小题 3 分，共 48 分） 1. 直角三角形的两直角边是 3,4,则以斜边长为直径的圆的面积是_. 2若a-18+（b-80）2+（c-82） =0，则以 a，b，c 为三边长的三角形是_ 2 3. 如图 4，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径” ，在花圃内走出

9、一 条“路” ，他们仅仅少走 了_米路，却踩伤了花草。 图4 图5 图3 4某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种地毯每平方米售 价 30 元，主楼道宽 2m，其侧面如图 5，则购买地毯至少需要_元 5 、如图 6 所示，以直角三角形 ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为 S1 , S 2 , S 3 , 且 S1 = 4, S2 = 8, 则S3 = ； 图6 7 图7 6、如图 7， ÐC = ÐABD = 90° , AC = 4, BC = 3, BD = 12 ,则 AD= 三、解答题 ； 1、如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 3m，梯子的顶端 A 向外移 动