0418线性代数经管类

1、'A不可逆r(A) <nA kuAx = o有非零解0是刖勺特征值A的列(行)向量线性相关'A可逆r(A) = nAx = 0只有零解A勺特征值全不为零A勺列(行)向量线性无关AT A是正定矩阵A与同阶单位阵等价A= P1P2Ps, Pi是初等阵VP W Rn, Ax = P总有唯一解向量组等价、相似矩阵>_甘二 反身性、对称性、传递性矩阵合同M 关于 ei,e2, en：称为Ln的标准基，Ln中的自然基，单位坐标向量;e1,e2,1en线性无关； 0©,ej =1 ； tr(E)=n ；任意一个n维向量都可以用0,金，,en线性表示.V行列式的计算:A

2、*.° B若A与B都是方阵(不必同阶)，则* AA ol _|A o中 B 1口 B(-1)mn A|b上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积关于副对角线：aniV逆矩阵的求法：ain0a2n。aniaina2nn(n 1= (T) 2 aina2n HI aniA(A王) %T (E； A-)1 dJad - bc | -cB1 Dat ct-T 竺D 1aia21ana2-AiAnA2V方阵的寨的性质:AmAn 二 Am n(Am)n=(A)aj一AT1V 设 f (x) =amx+ amxml +| +ax +a0,对 n 阶矩阵 A规定：f (A) = amAm +am

3、Am' +| + a1A + a0E 为 A的一个多项式 ， 设AmBn知A的列向量为必尸2,叫，B的列向量为P3P2,，Bs , AB的列向量为r1,r2,IH,rs,贝上=ANi =1,2jlls,即 A(P1,P2, -,Ps)=(AP1, Ap2,IH,APs),用A,B中简若P =(hb, Hlbn)T,则 aB =片% 十b2a2 十lllbn4，单的一个提即：AB的第i个列向量口是A勺列向量的线性组合，组合系数就是£的各分量；篙运算速度AB的第i个行向量n是B的行向量的线性组合，组合系数就是四的各分量.，V用对角矩阵 A左乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素

4、依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵 A右乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘，A。1-Bn0 1 A>2_B22与分块对角阵相乘类似，即：A=.,B=22 ,1JAkk _JBkk_ABABA22 B22。AkkBkj，矩阵方程的解法：设法化成(I)AX=B 或 (II) XA = B当A ¥0时，(I)的解法：构造(A一变巴第t(E：X)(当B为一列时， 即为克莱姆法则)(II)的解法：将等式两边转置化为AtXt = Bt,用(I)的方法求出XT,再转置得XV Ax =0和Bx = o同解(A, B列向

5、量个数相同)，则:它们的极大无关组相对应，从而秩相等;它们对应的部分组有一样的线性相关性;它们有相同的内在线性关系V判断7J2J H产s是Ax = 0的基础解系的条件:WHIR线性无关;”JILs是 Ax =0的解;s = n -r( A)=每个解向量中自由变量的个数零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关. 原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关.两个向量线性相关u对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 向量组ac, ;中任一向量«i (1< i

6、< n)都是此向量组的线性组合. 向量组ai,c(2,Un线性相关二 向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示.向量组a1,a2,，；ctn线性无关之 向量组中每一个向量 Gj都不能由其余n1个向量线性表示 m维列向量组 3，ot2,，, otn线性相关u r(A)<n；m维列向量组叫，豆2, .'-Pn线性无关 u r(A) =n. r(A) =0：= A=' 若0(1, c(2, ',；an线性无关，而 %,%,an, 口线性相关，则P可由四,口2, ,%线性表示，且表示法惟一? 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的

7、个数.? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量(的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系.向量组等价I%02,%和日1, %,优可以相互线性表示.记作：%户2, '1'Pn#P1，P2,晶矩阵等价I A经过有限次初等变换化为 B.记作：AB? 矩阵A与B等价u r(A)=r(B) #> A, B作为向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价u(叫P2,4n)=r(A,p2, I% =(,” -/书，,% =矩阵A与B等价.? 向量组冏，葭；久可由向量组«1,«2, ',%线性表示U

8、 r(«i,«2, f, £,% ,Ps) =(%,%,%)= r(Pi,?2,Bs)< r(%P2,Pn).?向量组P1, P2, ；久可由向量组0tl,4,5线性表示，且s>n ,则P1,P2,，久线性相关. sns向量组Pi, 3,其线性无关，且可由%,%, 1玛 线性表示，则s & n.? 向量组P1,P2,''；区可由向量组 叫，,4线性表示，且r(P1,P2,，久)=(,口2，Pn),则两向量组等价;? 任一向量组和它的极大无关组等价 .?向量组的任意两个极大无关组等价，且这两个组所含向量的个数相等 .? 若两个线性

9、无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等.? 若A是mn矩阵，则r (A)三min m, n，若r(A) = m, A的行向量线性无关；若r(A) = n , A的列向量线性无关，即：a1,a2，,an线性无关.Z11a12IIIan x1 I七1A =a21中a22IIIa2nH,x = ： , P =b2-H,ram1.am2IIIhamn.1A -hrA -AX = P |向量式 | Xi +X2«2 +IH +Xn«n = P线性方程组的矩阵式：1j1。2 j .八a j = :, j = 1,2，|，n：“mj_jAx = P有无穷多解Ax =口有非零解口 1户

10、2,川，口 n线性相关B可由 四户2，,人线性表示=P有解u r(A) = r(A逮)u Ax = P有唯一组解-J Ax = 口只有零解二%,62,川。n线性无关q生时-克莱姆法则。不可由0tl,汽2，,4线性表示 二=r( A) = r( A： -)Ax = P 无解仁 r(A)<r(A：B)=r (A) 1 = r(A：:)矩阵转置的性质：(AT )T = A(AB)t =btat(kA)T =kATat =A(A+ B)t = At + Bt矩阵可逆的性质：1 .4(A ) =A(AB) =b a(kA)=kAA'=A(A)T=(AT)伴随矩阵的性质：(A*)*A(AB)

11、* = b*a*(kA)="|a|=|aT(A,)* = (A*)/=6 (ATf = (A*)Tjr(A")=n 若 r(A) = n1 若 r(A) = n -10若 r(A)<n-1ab =|a| b|kA| = kn | a|Ak| =Ak线性方程组解的性质:(1) ?户2是Ax=0的解，1十%也是它的解,(2)”是Ax =0的解，对任意k, kn也是它的解、'、工口/口()，,齐次方程组(3)产2,川,品是庆*=0的解,对任意k个常数?1,>-2,|1|,?,短 1 + % + 7/k也是它的解，«(4) ?是Ax = P的解,“是其

12、导出组Ax = 0的解，了”是Ax = P的解(5) J2是Ax = P的两个解，152是其导出组Ax = 0的解(6)%是Ax = P的解，则？也是它的解之12是其导出组Ax = 0的解(7) 7产2/|产k是Ax= P的解，则，>1 + %”2 +k*也是Ax = P的解U儿+九2 +均=1短1十%。2十鼠*是Ax = 0的解U %十九2十人=0V设A为m xn矩阵，若r( A) =m,则r(A) = r( A：P)，从而Ax = P 一定有解.当m < n时，一定不是唯一解.二方程个数未知数的个数向量维数,向量个数则该向量组线性相关m是r (A)和r( A邛)的上限.V矩阵的

13、秩的性质： r(A) = r(At) = r(AtA) r(A±B)< r(A) +r(B) r(AB) & min '：r(A),r(B)fr(A)若k#0 r(kA)二0若k =0r/口1 " B.=r(A) r(B)若 A#0,则 r(A) 1若Am河，Bn又，且r(AB) =0,则r(A) +r(B) & n 若P,Q可逆，则 r(PA) =r(AQ) =r(A)若A可逆，则r(AB) =r(B)若B可逆，则r(AB) =r(A) 若r(A) =n,则r(AB) =r(B),且A在矩阵乘法中有左消去律AB = 0=- B =二AB =

14、AC= B = C标准正交基| n个n维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1.a与 B正交（ot, P） = 0 .a是单位向量 I WbJQa tV内积的性质：正定性：（0（,0（）2 0,且（二，0（）=0= a=o对称f: （口，P） = （P, a ）双线卜'生:（口, P1 + P2） =（口, P1）+（豆,司）（：1： 2；） =（： J：）（ 2, ：）（c： , : ） = （c ,：）=（二,c ：）施密特| a1,ot2,o（3线性无关，Pi =%正交化 4 P2 ="2 （“£：" P1（即l）二3（,工 3, -1）: （-

15、：3, -2）:2单位化：1正交矩阵I AAt = E .V A是正交矩阵的充要条件：A的n个行（列）向量构成 Ln的一组标准正交基V正交矩阵的性质： at =A； aat =ata = e ； A是正交阵，则AT （或A"）也是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵；正交阵的行列式等于 1或-1.A的特征矩阵九E-A.A的特征多项式九 EA = f (Q.A的特征方程EE -A =0.Ax =儿x tAx与x线性相关V上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.V若A=0,则九=0为A的特征值，且Ax =0的基础解系即为属于 九=0的线性无关的特征向量.A = '

16、i'2lH'nn:一 ' i1=tr AV若r(A) =1,则A 一定可分解为a?h, b2, III, bn、A2 = (aQ+a2b2+|+anbn)A,从而 A 的特征值为： =tr A = a1b1 , a2b2 - 111 anbn, 2 = ,3 = | = , n = 0.M若A的全部特征值 九，%Ml,九n, f(x)是多项式，则:f(A)的全部特征值为f (%), f (%),川，f(Kn); 当A可逆时，A的全部特征值为 4,v,IH,-r, 1 12nA的全部特征值为2-%|？.kAV上是A的特征值，则：aA bEAxA2AmAa/, 一 b1分别

17、有特征值，x是A于儿的特征向量kAk,aA bEa bA关于1 -j-j- ,2A2hAm mAlAl-n- 九的特征向量.，则x也是A与B相似| B=P'AP(p为可逆阵)记为：aLV A相似于对角阵的充要条件:A恰有n个线性无关的特征向量.这时，P为A的特征向量拼成的矩阵，P“AP为对角阵，主对角线上的元素为 A的特征值.V A可对角化的充要条件：nr(%EA) = K K为的重数.V若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似.A与B正交前T| B = P,AP( P为正交矩阵)V相似矩阵的性质： A|_1 B 若A, B均可逆 ATL BTAk Bk ( k为整数) 九E

18、A =，uE B ,从而A,B有相同的特征值，但特征向量不一定相同.即：x是A关于，毛的特征向量，P,x是B关于印0的特征向量. A = B 从而A, B同时可逆或不可逆 r(A) =r(B) tr (A) =tr (B)V数量矩阵只与自己相似.V对称矩阵的性质：特征值全是实数，特征向量是实向量；与对角矩阵合同；不同特征值的特征向量必定正交；k重特征值必定有k个线性无关的特征向量；必可用正交矩阵相似对角化(一定有n个线性无关的特征向量，A可能有重的特征值，重数=n r(KE A).A可以相似对角化A与对角阵A相似.记为：A|_ A(称A是A的相似标准型)V若A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个

19、数(重数重复计算)= r(A).,设%为对应于的线性无关的特征向量，则有:A(： 1, ： 2, II, - n) =(A：1, A： 2, III，A： n)=('T工1, ',2-'-2, H G n - n ) -1, - >2,l | I , - n -1V 若 AL B, C D ,则:AcUb，若 A|_B,则 f(A)f(B), f(A)|=f(B).T.、.，、T二次型f (x,X2,川，Xn) =X AXA为对称矩阵X =(Xi,X2,| ,Xn)A与B合同 B=CtAC.记作：aL b (a,b为对称阵为可逆阵)V两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数V两个矩阵合同