矩阵理论作业4-1：线性变换(圆-椭圆)

1、.单位圆在线性变换下得到的图形及论证摘要在平面 R2 上线性变换yAx ，（ x, yR2 ， AR2 2 ）且 det(A)0 ，即 A 可逆。给定一个单位圆 x12x221，求其在此线性变换下的图形并论证其结果，并用 matlab 编程实现其图形的转换。结果表明变换后的图形为椭圆，且推出了变换后的椭圆长半轴a 、短半轴 b 和长轴与水平坐标轴的夹角与矩阵 A 的关系。关键字： 单位圆线性变换椭圆引言矩阵的线性变换可以进行图形的改变， 那么不同的矩阵会造成什么样改变， 变换后的图形各参量与变换矩阵有怎样的关系呢？本文结合线性代数中有关矩阵的运算等知识 2 ，在推导和论证13结果的基础上，应用

2、matlab工具进行编程实现3 ，并给出几个具体的算例验证结论，做出变换前后的图形并求出相关参数值。问题概述在平面 R2 上线性变换 y Ax ， x, yR2 ，A R22 ， det(A) 0 （即 A 可逆）。给定一个单位圆x12x221，求其在线性变换 yAx 下的图形，并论证其结果， 以及用 matlab 编程实现其图形的转换。如下图 1，是在 matlab 中编写将单位圆线性变换的程序， 再给出一个二阶随机矩阵A 得到的图 1显而易见，变换后的图形是一个椭圆，而且椭圆中心与单位圆的圆心重合。那么变换后的椭圆长半轴 a 、短半轴 b 和长轴与水平坐标轴的夹角与矩阵 A 的关系是什么呢

3、， 下面将进行论证。变换结果的论证单位圆为 x12x221，即变换前的坐标为xx1Aa11a12，线性变换矩阵a21，则x2a22线性变换结果。.yAxa11a12x1a21a22x2a12 x2 =(1)=a11x1y1a21x1a22 x2y2即变换后的坐标为y1a11 x1a12 x2 ，y2a21x1a22 x2 。联立方程组， 将 x1 和 x2 用 y1和 y2 表示出来，得a12 y2a22 y1x1a11a22a12a21a21 y1(2)a11 y2x2a11a22a12a21然后将以上表达式带入单位圆的方程，得a12 y2a22 y12a21 y1a11y22+=1 (3)

4、a12 a21a11a22a12a21a11a22关于 y1, y2 展开整理，得(a212 + a222 ) y122( a21a11a12 a22 ) y1 y2(a122 + a112 ) y22a11a22 )2(4)( a12 a210由此可以看出，y1, y2 满足椭圆的一般方程Ax2BxyCy2DxEy10(5)其中 x 相当于 y1 ， y 相当于 y2 ，系数A,B,C,D, E 分别为A(a212 +a222 ),(a12a21a11a22 ) 2B2( a21a11a12a22 ),(a12 a21a11a22 )2(6)C(a122 +a112 ),(a12 a21a1

5、1a22 )2DE 0所以，经过以上推导可以证明单位圆在线性变换作用下得到的图形为椭圆。.下面来求变换后得到椭圆的长短半轴以及长轴与水平轴夹角（图2）。图 2由斜椭圆的相关公式可知，椭圆几何中心X cBE2CD/4ADB2(7)YcBD2 AE/ 4ADB2因为 DE 0，所以 X c0， Yc0 ，中心坐标确实如图所示在原点处。长短半轴分别为a22 AX c2CYc2BX cYc12(8)ACACB2b22 AXc2CYc2BX cYc12(9)ACACB2长轴与水平轴夹角21 arctanBC(10)2A分别将已知的值带入公式（ 8）、（ 9）和（ 10），即可得到变换后的椭圆长半轴a 、

6、短半轴 b 和长轴与水平轴夹角（弧度值）。算例分析在 matlab 里给出几组转换矩阵 A ，画出转换后的椭圆并求出长半轴 a 、短半轴 b 和长轴与.将矩阵元素改成小于1 的数，次对角线变成水平轴夹角。210.70.83 所示的绿色负数，如 A，得到如图 5 所示例如 A4，得到如图0.90.41椭圆。计算其相关参数为椭圆。计算其相关参数为a 4.4142，b1.5858，1.1781a 1.4154， b0.3109，0.8274由弧度变为角度为 67.5000o 。由弧度变为角度为47.4068o ，说明此时长轴是顺时针旋转的。图 3将对角线改为负数，如=-2 2;1 -322A，得到如

7、图4 所示椭圆。计算其13相关参数为a4.1306，b0.9684，2.2940由弧度变为角度为131.4375o 。图 4图 5结论综合以上实验结果，得出如下结论：在线性变换下（变换矩阵可逆），二维空间上的圆经过拉伸、剪切变换会变形为椭圆。但图形的中心没有移动， 也就是说线性变换保留中心位置，而其它的几何性质如长度、角度和面积等可能会被改变。椭圆的各个参数都可以由矩阵的元素表示出来。长短轴与矩阵元素的数值大小有关，夹角与矩阵元素的符号有关。推广到更一般的结论， 椭圆在线性变换下也会变为椭圆， 只是原椭圆的参数方程系数有所改变，原理完全一样，所以也适用以上公式。.B=2*(A(2,1)*A(1

8、,1)+A(1,2)*A(2,2)/(A(1,2)*A(2,1)-A(1,1)*A(2,2)2;参考文献C=-(A(1,2)2+A(1,1)2)/(A(1,2)*A(2,1)-A(1,1)*A(2,2)2;1 常法智 , 阮明焱 . 椭圆面积公式的线性变换证法J.D=0;E=0;高等函授学报 : 自然科学版 , 2006, 19(6): 37-38.Xc=(B*E-2*C*D)/(4*AA*D-B2);2 同济大学应用数学系. 线性代数第四版M. 北京 : 高等Yc=(B*D-2*AA*E)/(4*AA*D-B2);教育出版社， 2003.7.a=sqrt(2*(AA*Xc2+C*Yc2+B*

9、Xc*Yc-1)/3 百度文库 W.(AA+C+sqrt(AA-C)2+B2);附录b=sqrt(2*(AA*Xc2+C*Yc2+B*Xc*Yc-1)/(AA+C-sqrt(AA-C)2+B2);给出一个二阶的随机矩阵theta=pi/2+0.5*atan(B/(AA-C);A=rand(2)A =0.81470.12700.90580.9134调用单位圆的线性变换函数程序：functiony=geomtrans(A)ifdet(A)=0disp(' 输入的矩阵奇异， 请重新输入一个非奇异矩阵 ' );elset=0:0.01:2*pi;x1=cos(t);x2=sin(t);plot(x1,x2,'r-', 'linewidth',2)axisequalholdonx=x1;x2;y=A*x;plot(y(1,:),y(2,:),'g-', 'linewidth' ,2)title('平面线性变换的几何图形转换 ' )legend(' 红色图形为原始图形, 绿色图形为变换后的图形