重难点08 新定义与代数 + 几何阅读理解问题（5大类17种题型）（复习讲义）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10重难点08新定义与代数+几何阅读理解问题目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 102分层锤炼·验成效 120固·重难考点拓·创新能力核心要求：理解新定义规则，迁移代数运算与规律探究能力。特征：以“新数、新运算、新代数式、新规律”为载体，考查概念迁移与运算能力。考法：1）如“新定义数型：定义‘对称数’为各位数字左右对称的数，判断给定数是否为对称数，并探究对称数的整除特征”；2）如“新定义运算型：定义a※b=ab-3，计算（-3）※（-2）=？；3）如“新定义代数式型：定义‘特征多项式’为满足a+b+c=0，证明该多项式必有一个根为1”；4）如“新定义规律型：定义‘阶梯数串’为1,3,6,10,…，推导通项公式并求第10项的值”。二、方程与不等式新定义类核心要求：在新定义背景下，建立方程/不等式模型，求解与分析参数。特征：以“新方程、新根、新不等式”为载体，考查方程求解与参数分析能力。考法：1）如“新定义方程（组）型：定义‘和谐方程组’为解相同的两个方程组，判断给定方程组是否为和谐方程组，并求参数值”；2）如“新定义不等式（组）型：定义‘绝对不等式’为对任意实数都成立的不等式，证明x2+1>0是绝对不等式”；三、函数新定义类核心要求：理解新定义函数的概念与图像特征，结合几何性质求解综合问题。特征：以“新函数、新点、新图像”为载体，考查数形结合与分类讨论能力。考法：1）如“新定义函数概念型：定义‘一次关联函数’为y=kx+b满足k+b=1，探究该函数必过的定点”；2）如“新定义函数点型：定义‘不动点’为函数图像上满足y=x的点，求二次函数y=x2−2x+3的不动点坐标”；3）如“新定义函数图像型：定义‘平移组合图像’为一次函数图像向右平移2个单位后的图像，求平移后图像的解析式”；4）如“新定义函数综合型：定义‘函数距离’为两点(x1,y1)、(x2,y2)在函数图像上的水平距离与垂直距离之和，求二次函数上两点的最小函数距离”。四、几何新定义类核心要求：理解新定义几何概念与变换，结合图形性质计算与推理。特征：以“新图形、新变换、新点线”为载体，考查几何性质与辅助线构造能力。考法：1）如“新定义几何概念型：定义‘准矩形’为有三个角是直角的四边形，判断准矩形的对角线是否相等，并证明”；2）如“新定义几何变换型：定义‘旋转变换’为将图形绕某点旋转45°，作三角形经过该变换后的图形”；题型01新定义数型1．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为3−1=2，所以它是“极差数”．【理解定义】三位数265是否为“极差数”？___________．【建模推理】（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a,b,c，则a与b,c的关系式为___________；（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）a=b−c；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析．【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力．理解定义：根据定义进行验证即可；建模推理：（1）根据“极差数”的定义即可求出答案；（2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证．【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为6−5=1，百位数字为2，∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字，∴三位数265不是“极差数”故答案为：不是建模推理：（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a,b,c，根据题意可得，a=b−c，故答案为：a=b−c；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，∵a=b−c，∴100a+10b+c=100b−100c+10b+c=110b−99c=1110b−9c∴100a+10b+c能被11整除，∴任意一个“极差数”都能被11整除．2．（2025·山东青岛·模拟预测）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax=N(a>0,a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如，指数式24=16我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质：log理由如下：设log∴M⋅N=由对数的定义，得m又∵m∴log解决下面问题(1)将指数式73=343转化为对数式为(2)log24=，

log381=，(3)证明：loga(4)计算：log34+log【答案】(1)3=(2)2，4，3(3)见详解(4)1【分析】本题考查整式的混合运算、同底数幂相乘，同底数幂相除，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据题意可以把指数式73（2）运用对数的定义进行解答便可；（3）先设logaM=m，logaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=a（4）根据公式logaM⋅N=【详解】（1）解：依题意，将指数式73=343转化为对数式为故答案为：3=（2）解：∵22=4,3∴log24=2，log3故答案为：2，4，3；（3）解：依题意，设logaM=m，∴M=am∴MN∴由对数的定义得m−n=log∵logaM=m，∴m−n=∴loga（4）解：由（3）得log以及题干得log得log33．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：2,4，进行第1次构造，得到新的一列数：2,6,4，第2次构造后，得到一列数：2,8,6,10,4，…，第n次构造后得到一列数：2,x1,x2A．a3=84 B．an3为偶数 C．【答案】D【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先求出a1，a2，a3，a【详解】解：由题意得a1=2+6+4=12，此时a2=12+8+10=30=3a第3次构造后得到的一列数为2，∴a3=30+10+14+16+14=84=3a同理可得a4=a……，以此类推可知，an=3a∴an3=∵a1∴a2∴a2∴a3∴a3以此类推，an−1∴an故选：D．4．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：35=12+110．将311拆分成两个单位分数相加的形式为；一般地，对于任意奇数k（【答案】311=【分析】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空；分别求得k=3、5、7…2n+1对应等式，由此得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案．【详解】解：311由题意，当k=3=2×1+1时，23当k=5=2×2+1时，25当k=7=2×3+1时，27……，当k=2n+1时，2k又n=k−1∴对于任意奇数k（k>2），2k故答案为：311=15．（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数M=abcd，若满足a+b=c+d=10，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为1+9=2+8=10，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是：一个“十全数”M=abcd，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'=dcba，记F(M)=M−M'909，G(M)=【答案】19193782【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到a=1，c=1，然后求出b=10−1=9，d=10−1=9，即可得到最小的“十全数”是1919；根据题意表示出M=900a+9c+1010，M'=−9a−900c+10100，然后表示出F(M)=M−M'909=a+c−10，G(M)=M+M'11=81a−81c+1010，然后表示出4F(M)+G(M)+1513=6a−6c+76+7a+c−313，【详解】解：设四位数M=∵要求最小的“十全数”，∴a=1，c=1∴b=10−1=9，d=10−1=9∴最小的“十全数”是1919；∵一个“十全数”M=abcd∴a+b=c+d=10∴b=10−a，d=10−c∴M=∴M∴F(M)=∴G(M)=∴4F(M)+G(M)+15===6a−6c+76+∴ab∵4F(M)+G(M)+1513与ab∴7a+c−313与8a+8c−3∴7a+c−3能被13整除，8a+8c−3能被17整除∵1≤a≤9，1≤c≤9∴7≤7a≤63，−2≤c−3≤6∴5≤7a+c−3≤69∴7a+c−3的值可以为13，26，39，52，65∴依次代入可得，当a=3，c=8时，7a+c−313=2，∴b=10−a=7，d=10−c=2∴满足条件的M的值是3782．故答案为：1919，3782．题型02新定义运算型1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：a⊗b=2ab−b2，则3n⊗【答案】8【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将a=3n和b=2n代入公式a⊗b=2ab−b【详解】解：由题意得，3n⊗2n=2×3n×故答案为8n2．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：m∗n=mn−mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2∗3=2【答案】8【分析】根据定义，得(−2)∗2=−2本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．【详解】根据定义，得(−2)∗2=−2故答案为：8．3．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下：①由103=1000，1003=1000000，1000<59319<1000000，可得②59319的个位上的数是9，因为只有93的个位上的数是9，所以3③如果划去59319后面的三位数319得到59，而33=27，43=64，又已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是．【答案】72【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据华罗庚的方法，首先判断立方根的位数：由于1000<373248<1000000，因此立方根是两位数；其次，根据个位数字8，确定立方根的个位数字是2；最后，划去后三位248得到373，通过比较73=343，【详解】解：∵103=1000，1003∴10<3∴3373248∵373248的个位数字是8，且只有23∴3373248划去373248后三位数字248，得到373．∵73=343，83∴3373248因此，3373248故答案为：72．4．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“⊗”，满足a⊗b=ab例如：当a>0时，2a⊗1=（1）当a>0时，请计算：2a⊗【探究运算律】对正实数a，b，运算“⊗”是否满足交换律a⊗b=b⊗a？∵a⊗b=abb⊗a=ba∴a⊗b=b⊗a．∴运算“⊗”满足交换律a⊗b=b⊗a．（2）对正实数a，b，c，运算“⊗”是否满足结合律a⊗b⊗c=a⊗【应用新运算】（3）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成，AF=a，BF=b，且a>b．若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为26和16，则2a⊗b⊗【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3）5【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）直接按照新定义计算即可；（2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可；（3）由勾股定理得到a2+b2=26，由全等三角形的性质得到EF=AF−AE=a−b，则a−b2=16【详解】（1）解：由新定义得，2a⊗（2）解：对正实数a，b，c，运算“⊗”满足结合律a⊗b⊗c=a⊗左边：a⊗b⊗c=右边：a⊗b⊗c∴左边=右边，∴对正实数a，b，c，运算“⊗”满足结合律a⊗b⊗c=a⊗（3）由题意得，∠AFB=90°，∴AF∵AF=a，BF=b，且a>b，正方形ABCD的面积为26，∴a2∵四个直角三角形全等，∴AE=BF=b，∴EF=AF−AE=a−b，∵正方形EFGH的面积为16，∴a−b2∴a2∴26−2ab=16，∴ab=5，∴a+b2∴a+b=6（舍负），∴2a⊗b⊗故答案为：56题型03新定义代数式型1．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则m=n3；若余数为1，则m=2n；若余数为2，则m=n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n=4，根据4除以3的余数为1，由4×2=8知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由8+1=9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为；（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为．【答案】211【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键．（1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数；（2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或12或0，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n【详解】解；（1）∵15÷3=5…0，∴15进行一次变换后得到的数为153∵5÷3=1…2，∴15进行二次变换后得到的数为5+1=6；∵6÷3=2…0，∴15进行三次变换后得到的数为2，故答案为：2；（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3=3，此时符合题意；当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为12当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1−1=0，此时不符合题意；综上所述，第一次变换后所得的数为3，当n除以3的余数为0时，则n=3×3=9，符合题意；当n除以3的余数为1时，则n=3当n除以3的余数为2时，则n=3−1=2，符合题意；∴符合题意的n的值是9或2，∴所有满足条件的n的值之和为2+9=11，故答案为；11．2．（2025·福建·中考真题）已知整式M:a4x4+(1)若M=x−14，求(2)若pq+p+q=9，且a4≥a3>a2≥a1≥a0【答案】(1)7(2)5个，理由见解析【分析】本题考查因式分解的应用．（1）令x=1和x=−1，分别得到a4+a3+a2+a1+（2）由pq+p+q=9得到p+1q+1=10，根据a4≥a3>a2≥a1≥a0可知a4+a3的最小取值=1+1=2【详解】（1）解：当x=1时，M=x−1即a4当x=−1时，M=x−1即a4①+②得：∴a4∵a0∴a0∴a4（2）解：∵pq+p+q=9，∴p+1q+1∴p+1q+1∵a4∴a4+a∴p≥2，∵a4+a∴p,q都为自然数，∴p+1q+1∴p+1=1，q+1=10或p+1=10，q+1=1或p+1=2，q+1=5或p+1=5，q+1=2，∴p=0，q=9（舍去）或p=9，q=0或p=1，q=4（舍去）或p=4，q=1，当p=9，q=0时，则a4，a3可能的组合为8，1或7，2或6，3或5，4，共4种组合；a2，a1，a0可能的组合为0∴满足条件的不同整式有：4×1=4(个)；当p=4，q=1时，则a4，a3可能的组合为2，2，共1种组合；a2，a1，a0可能的组合为1∴满足条件的不同整式有：1×1=1(个)；综上，满足条件的不同整式有：1+4=5(个)．3（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a+b)n(a+b)4【应用体验】已知(x+2)4=x4【答案】8【分析】本题考查了整式规律探究，根据(a+b)4【详解】解：∵(a+b)4∴(x+2)=x∴m=8，故答案为：8．4．（2025·重庆·中考真题）已知整式M:a0+a1x+a2x2+⋯+an①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为4x③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对a0【详解】解：当n=1时，a0当a0=0，a1=4时，整式当a0>0时，整式当n>1时，∵a1，a2∴整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；当n=3时，a0当a0=0时，则a1,a2,a3中有一个可能为2，故会有三种情况，对应的整式M当a0=1时，则a1=a2=当a0>1时，a1+a2+∴满足条件的所有整式M的和为5x∵多项式为二次三项式，∴n=2，∴a0因为多项式为三项式，故a0当a0=1时，则有1+x+2x∵1+x+2x2=2∴1+x+2x当a0=2时，则有2+x+x∵2+x+x∴2+x+x当a0>2时，a1+a2<2所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，其中正确的个数是2个，故选：C．题型04新定义规律型1（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，…按此规律，第n个数是（

）A．2n−0.1n C．2n−1+0.9n 【答案】A【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案．【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是2n−1，小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9，∴第n个数小数部分是1−0.1∴第n个数是2n−1+1−0.1故选：A．2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作a1=2；图（2）有3个三角形，记作a2=3；图（3）有6个三角形，记作a3=6；图（4）有11个三角形，记作a【答案】n【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可．【详解】解：第一个图形中有2=1−1第二个图形中有3=2−1第三个图形中有6=3−1第四个图形中有11=4−1⋯；第n个图形中有n−12故答案为：n3．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有个正方形．【答案】31【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+21=3【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+2第3个图形有1+2⋯∴第5个图形中共有1+2故答案为：31．4（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（

）A．18 B．20 C．22 D．24【答案】B【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．【详解】解：由所给图形可知，第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：4=1×2+2；第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：6=2×2+2；第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：8=3×2+2；⋯⋯所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是2n+2个．当n=9时，2n+2=2×9+2=20（个），即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个．故选：B．5．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，___，2614，48，5018，80，8222，120，122(1)请补全上表中的勾股数．(2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1 m【答案】(1)24(2)a=k(m2−n2)，b=2kmn，c=k(m2+(3)280【分析】（1）先由表中勾股数规律，令a=10，b，c=26，由勾股数定义列方程求解即可得到答案；（2）由表中数据，分别用代数式表示出a，b，c，再由整式混合运算求证即可得证明；（3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案．【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令a=10，b，c=26，则由勾股数定义可知a2即102∴b解得b=24或b=−24（舍去）；故答案为：24．（2）解：由题意，a=k(m2−n2)，b=2kmn，c=k(m2+∵a=k(m2−n2∴a2b2c2∵a∴a（3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示：设AC<BC，即直角三角形中最短边为AC，∵仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1 m，三角形最短边种21∴AC=20m由题意可知，BC最小为21m那么AB=A那么这块绿地最少需要种植(20+21+29)×4=280株花．【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键．题型05新定义方程（组）型1．（2025·云南临沧·模拟预测）已知关于x1，x2是一元二次方程ax(1)下列是“差根方程”的是___________；（填写序号）①(2)已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”，求(3)已知△ABC是直角三角形，BC的长为5，若△ABC的两边AB、AC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程．【答案】(1)①(2)a=±(3)x2−3x+2=0【分析】此题考查了勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握“差根方程”的定义是解题的关键．（1）解方程并根据定义进行判断即可；（2）解方程得到x1=0,x2=−2a（3）分为斜边和为直角边两种情况分别进行解答即可．【详解】（1）解：①xx（∴x1∴该方程是差根方程；②x(x−5)(x+1)=0，∴x∴x∴该方程不是差根方程；故答案为：①（2）x2因式分解得：x（解得：x1∵关于x的方程x2∴2a=±1，（3）设AB=当BC为斜边时，AB2∴x∵x∴（解得x1∴（解得x1+x∵x∴方程为x2当AB为斜边，则AB2∴x1∵x∴x当x1−x2=1时，x当x1−x2=−1综上，这个差根方程为x2−3x+2=02．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c均为整数），如果b2−4ac≥0时，这个方程的实数根就可以表示为x=−b±b2−4ac2a，其中b2−4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用Δ表示，即例：方程2x2−x−1=0，Δ=b2−4ac=(−1)2−4×2×(−1)=9=32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x1我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式4ac−b24a的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用F(a,b,c)表示，即F(a,b,c)=4ac−b24a．若有另一个“幸运方程”px2+qx+r=0（p≠0，p(1)关于x的一元二次方程x2①当m=2时，该幸运方程的“幸运数”是______；②若该幸运方程的“幸运数”是−1，则m的值为______．(2)若关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0（m(3)若关于x的一元二次方程x2−mx+m+1=0与x2−(n+2)x+2n=0（m、【答案】(1)①−14；②−1或(2)m=9，该方程的“幸运数”为−(3)n=3或n=0【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系；（1）①把m=2代入方程x2−m+1②根据“幸运数”的定义可得方程m2−2m−3=0，解方程可求得（2）通过m的取值范围确定根的判别式b2−4ac的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合m为整数确定（3）根据x2−mx+m+1=0是“幸运方程”得出x2−mx+m+1=0的两个根为整数，设方程x2−mx+m+1=0的两个分别为p,q，根据根与系数的关系得出p−1q−1=2，进而根据p,q为整数，得出m的值为5或−1，求得F1,−m,m+1=−1【详解】（1）解：①当m=2时，代入x2−m+1∴4ac−b24a故答案为：−1②依题意，F(a,b,c)=4ac−b2整理得，m2解得m1=−1，故答案为：−1或3；（2）解：∵x2∴b2∵4<m<15，∴29<4m+13<73，∵x2∴b2即4m+13是完全平方数，∴4m+13=36或49或64，解得m=234或9或∵m为整数，∴m=9，当m=9时，方程x2−(2m−1)x+m∴Fa,b,c∴方程x2−(2m−1)x+m（3）解：∵x2∴x2设方程x2−mx+m+1=0的两个根分别为∴p+q=m,pq=m+1∴pq=∴pq−p−q=1，∴p−1∵p,q为整数，2=1×2=2×1=当p−1=1,q−1=2时，则p=2,q=3，此时m=2+3=5，当p−1=2,q−1=1时，则p=3,q=2，此时m=2+3=5，当p−1=−1,q−1=−2时，则p=0,q=−1，此时m=0−1=−1，当p−1=−2,q−1=−1时，则p=−1,q=0，此时m=−1+0=−1，综上所述，m的值为5或−1；方程x2−mx+m+1=0的“幸运数”为当m=5时，F当m=−1时，F∴F方程x2−(n+2)x+2n=0∵F1,−m,m+1与F∴2n×−1当m=5时，方程为：2n=6解得：n=3或n=4当m=−1时，方程为：2n=0解得：n=0综上所述，n=3或n=03．（2025·山东潍坊·一模）定义：如果关于x的一元二次方程ax(1)若x+3x−m=0是“邻根方程”，求(2)若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，【答案】(1)m=−2或m=−4(2)b2【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键．（1）先解方程得出x=−3或x=m，再由“邻根方程”的定义得出m−−3=1或（2）设x2+bx+c=0的两根分别是x1，x2则b2−4c>0，x1【详解】（1）解：解方程x+3x−m=0可得x=−3或由题意知，m−−3=1或解得m=−2或m=−4；（2）解：设x2+bx+c=0的两根分别是x则b2−4c>0，x1因为x2+bx+c=0（b，所以x1所以x1所以b2又因为b2所以b，c满足的数量关系是b2题型06新定义不等式（组）型1．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定Gx,y=x+3y．若关于a的不等式组Ga,1−2a≥−2G【答案】−17≤P<−7【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出−2≤P−3【详解】解：∵G∴关于a的不等式组Ga,1−2a≥−2解不等式①得：a≤1解不等式②得：a>∵不等式组有3个整数解，∴整数解为−1,0,1，∴−2≤解得：−17≤P<−7故答案为：−17≤P<−7．2．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数a, b，定义新运算：a※b=aa≥b−aa<b，给出下列结论：①8※2=8；②若x※3=6，则x=6；③a※b=−a※−b；④若2x−4A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：①∵8>2，∴8※2②∵x※3=6当x>3时，x=6，当x<3时，−x=6，即x=−6，故②不正确；③a※b=−a※−b不成立，例如a=b=1，则a④当2x−4≥2即x≥3时，则：2x−4<5x，解得：x>−4∴x≥3；当2x−4<2，即x<3时，则：−2x−4解得：x>4∴47综上所述，x>4故正确的有①和④，共2个，故选：B．3．（2025·湖北·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种运算a∗b=ab−b．例如：2∗3=2×3−3=3．根据上述定义，不等式组3∗x≥02x−2∗1≥−5的解集为（A．x≥0 B．x≥−1 C．−1≤x≤0 D．无解【答案】A【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，解题关键是正确列出不等式组．根据新定义运算，先列出不等式组，再求解．【详解】解：由3∗x≥0，得3x−x≥0，解得x≥0，由2x−2∗1≥−5得2x−2−1≥−5，解得x≥−1，∴原不等式组的解集为x≥0．故选：A．4．（2025吉林五中模拟预测）定义一种新运算：x⊗y=mx+2ny，若1⊗2=7，2⊗3=12．(1)求m、n的值；(2)若关于x的不等式组x⊗x−1≥0x−p(3)若ax−2b⊗3a+bx≥3a+2b的解集为x≤【答案】(1)m=3n=1(2)p>14(3)x<−5【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法．（1）根据定义的新运算x⊗y，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值；（2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出p的取值范围；（3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为x≤14可得出a与b的数量关系；再根据a，【详解】（1）解：∵x⊗y=mx+2ny，若1⊗2=7，2⊗3=12，∴m+4n=72m+6n=12解得m=3n=1（2）解：关于x的不等式组x⊗x−1整理得3x+2x−1解3x+2x−1≥0得解3x−p+4x<0得∵关于x的不等式组x⊗x−1∴37∴p>14（3）解：∵ax−2b⊗∴3ax−2b整理得3a+2bx≥−3a+8b∵ax−2b⊗3a+bx≥3a+2b∴3a+2b<0且−3a+8b3a+2b整理得a=2b，∴3a+a<0，∴a<0，∵ax+b⊗∴3ax+b整理得3a−2bx>−4a−2b将a=2b代入得2ax>−5a，∵a<0，∴x<−55．（2025石景山区模拟）对x，y定义一种新的运算T，规定：Tx,y=ax−yx≥yax+yx<y，其中(1)计算：T2,1=______（用含(2)若T2,1=3，关于x的不等式组Tx+1,x(3)若T2,a+T−2,a【答案】(1)2a−1(2)10<m≤13(3)a=−【分析】本题考查定义新运算，由不等式组的解集的情况求参数的范围，解一元一次方程，掌握新定义的运算法则，是解题的关键；（1）根据新运算的法则，进行计算即可；（2）根据T2,1=3，求出a的值，进而确定x的不等式组，求解后根据不等式组有4个整数解，得到关于（3）分a>2,−2<a≤2,a≤−2，三种情况，分别列出方程进行求解即可．【详解】（1）解：∵2>1，∴T2,1故答案为：2a−1；（2）解：∵T2,1∴a=2，∴Tx,y∵x−1<x<x+1，∴关于x的不等式组Tx+1,x≥3T解得：x≥1x<∵不等式组恰有4个整数解，∴1≤x<m+2∴4<m+2∴10<m≤13；（3）T2,a+T当a>2时，则：2a+a+−2a+a=3a+1，解得：当−2<a≤2时，则：2a−a+−2a+a=3a+1，解得：当a≤−2时，则：2a−a+−2a−a=3a+1，解得：故a=−16．（2025·山东淄博·三模）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x−7=1的解为x=4，不等式组x−5<03x>6的解集为2<x<5．因为2<4<5，所以称方程2x−7=1是不等式组x−5<0(1)若不等式组为x−3<1x+2≤0则方程2(2)若关于x的方程2x−a=1是不等式组3x−2>3+xx−3≥2x−6的相伴方程，求a(3)若方程5x+10=0和2x−43=−2都是关于x的不等式组kx−2x<k−2k≠2【答案】(1)方程2x−1+7=1是不等式组(2)4<a≤5(3)k的取值范围是2<k≤3【分析】本题考查解一元一次方程和解不等式组，读懂题意掌握解方程和不等式的方法是解题的关键．（1）分别解出不等式组和方程，再根据“相伴方程”的定义判断即可；（2）先求出不等式组的解集，解出方程的解，再让方程的解再不等式组的解集范围，然后解不等式或不等式组即可；（3）分别解出两个方程，代入不等式组得到两个不等式组，再分别求解集，再取公共部分即可．【详解】（1）解：方程2x−1+7=1是不等式组解不等式组x−3<1x+2≤0，得x≤−2解方程2x−1+7=1得：∵−2≤−2，∴方程2x−1+7=1是不等式组（2）解不等式组3x−2>3+xx−3≥2x−6，得：2.5<x≤3解方程2x−a=1，得：x=1+a∵关于x的方程2x−a=1是不等式组3x−2>3+xx−3≥2x−6∴2.5＜1+a解得：4<a≤5，即a的取值范围是4<a≤5；（3）解方程5x+10=0，得：x=−2，解方程2x−43=−2，得：∵方程5x+10=0和2x−43=−2都是关于x的不等式组kx−2x<k−2k≠2∴将x=−2和x=−1代入方程组得到：−2k−2×−2<k−2−2+5≥k解得：2<k≤3且2<k≤4，∴k的取值范围是2<k≤3． 题型07新定义方程根型1．（2025·湖南永州·三模）【定义】在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为：“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数y=x−1与x轴的交点坐标是1,0，所以函数y=x−1是“零点函数”，1是该函数的零点．【探究】运用上述定义解决下列问题：（1）下列函数是“零点函数”的是______，其零点是：______．①y=2x

②y=x（2）已知二次函数y=x2−(a−1)x+14a(a−5)是“零点函数”，且两个零点x1【应用】如图：已知二次函数y=x2−bx−c（b，c为常数，b>0）的一个零点为−1，点M(t,0)是x轴正半轴上的动点，点Qb+1【答案】（1）③，−2；（2）a>5；（3）二次函数的另一个零点为5【分析】本题考查一次函数与x轴图象的交点问题，二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的综合应用，熟练掌握新定义是解题的关键．探究：（1）根据零点函数的定义逐一判断即可；（2）由题意可知：Δ=应用：根据题意得到yQ=−12b−34，在y轴上取点G(0,1)，连接AG．过点M作MP⊥AG于点P，作QH⊥x轴于H，即Hb+12,0，易证∠GAO=45°，求出2AM+2QM=222AM+QM=2PM+QM，当2AM+2QM取最小值时，PM+QM取最小值，即P、M、Q三点共线，【详解】探究：（1）解：令y=2x=0令y=x2+1=0令y=3x+6=0，解得：x=−2，则③是“零点函数”，其零点是−2；故答案为：③，−2；（2）解：由题意可知：Δ由①得：a>−1由②得：a>1，∴a>1④，由③④可得：a>5，综上所述，实数a的取值范围是：a>5；应用：解：∵二次函数y=x2−bx−c∴1+b−c=0，即c=1+b，又∵b>0，∴x1+x∵Q点在抛物线上，∴yQ在y轴上取点G(0,1)，连接AG．过点M作MP⊥AG于点P，作QH⊥x轴于H，即Hb+∵OA=OG=1，∴∠GAO=45°，∴在Rt△APM中，PM=22当2AM+2QM取最小值时，PM+QM取最小值，即P、M、Q此时，M为PQ与x轴的交点，∵∠APM=∠QHM=90°，∠AMP=∠QMH，∴∠MQH=∠GAO=45°，在Rt△MHQ中，2HQ=MQ，∵点M(t,0)，∴b+12−t=−又∵2AM+2QM的最小值为3324QM=−2∴212b+∴二次函数y=x令x2解得x=5或x=−1（舍去），∴二次函数的另一个零点为5．题型08新定义函数点型1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点Am,n，点A1−m,−n都在同一函数图象上，则称点A和点A1为该函数的一组“奇对称点对”，记为A,A1．规定：A,A1与A1,A为同一组“奇对称点对”．例如：点B1,2和点B1−1,−2①点A1,1，点A1−1,−1，则点A和点A1为二次函数y=x2+x−1的一组“奇对称点对”；②反比例函数y=1x有无数组“奇对称点对”；③点C1,2，点C1−1,−2，若C,C1为函数y=ax2+bx−1的一组“奇对称点对”，则a=2，b=2；④由函数y=−x【答案】①②④【分析】本题考查了“奇对称点对”的定义，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据点A1,1，点A1−1,−1都在二次函数y=x2+x−1上，可判断①；由B(a,1a)，B1(−a,−1a)都在反比例函数y=1x上，结合a的取值，可判断②；根据定义，将点代入，可判断③；不妨设C和C1是w函数的一组“奇对称点对”，即C和C【详解】解：①将x=1代入y=x2+x−1将x=−1代入y=x2+x−1可知点A1,1，点A1−1,−1那么点A和点A1为二次函数y=②当x=a(a≠0)代入y=1x，得到当x=−a代入y=1x，可得∴B(a,1a)，B∴B(a,1a)，B∵a可以取无数个不为0的数，∴反比例函数y=1③∵点C1,2，点C1−1,−2，C,∴点C1,2，点C1−1,−2∴2=a+b−1∴a=1∴③错误；④不妨设C和C1是w函数的一组“奇对称点对”，即C和C1在假设C(m,−m)在y=−x上，那么C1(−m,m)在将C1(−m,m)代入y=−x∴m∵y=−x∴当x≥0时，m2+3m+k=0有两个不同的实数根∴32−4k>0∴k<94，∴0<k<9∴④正确；故答案为：①②④．2．（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于k的点叫“k阶近轴点”，所有的“k阶近轴点”组成的图形记为图形W．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域．(1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________；①y=1x；②y=−x+3；③(2)若一次函数y=2x+m的图像上存在“3阶近轴点”，求实数m的取值范围；(3)特别地，当点P在图形W上，且横坐标是纵坐标的k倍时，称点P是图形W的“k阶完美点”，若二次函数y=ax2−ax−2a+2【答案】(1)①(2)−9≤m≤9(3)a≤−34【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论；（2）设一次函数y=2x+m的图像上“3阶近轴点”的坐标为t,2t+m，根据题意列出不等式组−3≤t≤3−3≤2t+m≤3，进而得出关于t的不等式组−3≤t≤3−3−m2（3）设“2阶完美点”的坐标为2c,c，由题意得−2≤2c≤2，得出“2阶完美点”在函数y=12x−2≤x≤2上，分析可知函数y=ax2−ax−2a+2与函数y=12x−2≤x≤2只有一个交点，设函数y【详解】（1）解：y=1x经过点1,1，点设y=−x+3存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为m,−m+3，由题意得，−1≤m≤1−1≤−m+3≤1∴不等式组无解，∴y=−x+3图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意；∵y=x∴函数y=x∴函数y=x2−2x+3∴函数y=x∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①；故答案为：①；（2）解：设一次函数y=2x+m的图像上“3阶近轴点”的坐标为t,2t+m，由题意得，−3≤t≤3−3≤2t+m≤3解得：−3≤t≤3−3−m∵一次函数y=2x+m的图像上存在“3阶近轴点”，∴关于t的不等式组−3≤t≤3−3−m∴−3−m2≤−3≤3−m2或解得：3≤m≤9或−3<m<3或−9≤m≤−3，即−9≤m≤9，∴实数m的取值范围为−9≤m≤9；（3）解：设“2阶完美点”的坐标为2c,c，由题意得，−2≤2c≤2，∴“2阶完美点”在函数y=1∵二次函数y=ax∴函数y=ax2−ax−2a+2令ax2−ax−2a+2=设函数y1=ax2−a+1当x=2时，y1若函数y1与x轴有2个交点，则当x=−2时，有y∴4a+2a+解得：a≤−3若函数y1与x轴只有1个交点，则Δ整理得：9a解得：a=7+21018当a=7+21018时，则y1与∵−2<4−10∴a=7+2当a=7−21018，则y1与综上所述，实数a的取值范围为a≤−34或【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“k阶近轴点”和“k阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生．3．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0=m时，其对应的函数值y0=m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点m,m为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y=x2中，当x=1时，探究1（1）对一次函数y=kx+bk≠0①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；②y=−3x+2是“不动点函数”，且不动点是12③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点．以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）．（2）若一次函数y=kx+bk≠0是“不动点函数”，请直接写出k，b探究2：（3）对二次函数y=ax2+bx+ca≠0进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y=x探究3：（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出12−x件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．【答案】（1）③；（2）当k≠1且k≠0时，b为任意实数；当k=1时，b=0；（3）b=c−b【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点m,m，计算即可判断；（2）根据“不动点函数”的定义，代入点m,m，计算即可得解；（3）先求得顶点坐标为b,c−b2，根据“不动点函数”的定义，即可得到（4）根据题意得，y=x−612−x=−【详解】解：（1）①对于y=x+2，由于m≠m+2，所以y=x+2不是“不动点函数”，原说法错误；②对于y=−3x+2，代入点m,m，得m=−3m+2，解得m=1所以y=−3x+2是“不动点函数”，且不动点是12③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确．故答案为：③；（2）∵一次函数y=kx+bk≠0∴代入点m,m，得m=mk+b，整理得1−km=b当1−k≠0即k≠1且k≠0时，b为任意实数；当1−k=0即k=1时，b=0；（3）由抛物线y=x顶点坐标为b,c−b∵抛物线y=x∴b=c−b（4）根据题意得，y=x−6∴令x=−x整理得x2解得x1=8，∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键．4．（2024·辽宁抚顺·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．【定义解析】例如：函数y=12x+1上的点(2,2)，−23,2（1）若点(a+1,−2a)是一次函数y=kx+4第四象限图象的完美点，求k的值；（2）求二次函数y=x【定义应用】（3）若二次函数y=ax2−2x+c(a>0)【定义应用】（4）若二次函数y=(x−m)2+3m−2(m≥0)的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m【答案】（1）k=−3；（2）(2,2)，(−2,−2)，−1+5,1−5（3）y=1（4）m=−1+32或m=1【分析】（1）把点代入一次函数解析式，分别求出到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判定即可求解；（2）联立方程组y=x2+x−4（3）根据完美点可得二次函数与有且只有一个交点，得到Δ=32−4ac=0，把完美点（4）根据题意，分类讨论：第一种情况，设这个完美点是二次函数y=(x−m)2+3m−2(m≥0)第二种情况，设这个完美点是二次函数y=(x−m)2+3m−2(m≥0)【详解】（1）解∵点(a+1,−2a)是一次函数y=kx+4(k≠0)第四象限图象的完美点，∴a+1=2a，解得：a=1，∴点(a+1,−2a)的坐标为(2,−2)，代入y=kx+4，可得，k=−3；（2）解：∵完美点是函数图象上到两坐标轴的距离相等的点，即完美点在直线y=x或直线y=−x上，∴y=x解得：x1=2y1=2，x∴二次函数y=x2+x−4图象的完美点分别是：(2,2)，(−2,−2)，−1+（3）解：∵二次函数y=ax2−2x+c(a>0)在直线y=x上，y=a∵ax∴Δ把点(3,3)代入y=ax得9a−6+c=3，解得：a=12，∴y=1（4）m=−1+32或m=1解∵二次函数y=(x−m)2+3m−2(m≥0)即完美点在直线y=x或直线y=−x上，∴y=(x−m)①当y=(x−m)即(x−m)2整理得，x2∴Δ∴m≤9∵m≥0，∴0≤m≤9当x=m时，y=x=m，将(m,m)代入y=(x−m)解得，m=1，当x=−m时，y=x=−m，将(−m,−m)代入y=(x−m)解得，m1=−1−∵|x|=m，∴m=−1+32②当y=(x−m)即(x−m)2整理得，x2∴Δ∴m≤9∵m≥0，∴0≤m≤9当x=m时，y=−x=−m，将(m,−m)代入y=(x−m)解得，m=1当x=−m时，y=−x=m，将(−m,m)代入y=(x−m)解得，m1=−1−3∵|x|=m，∴m=1综上所述，m=−1+32或m=1【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，二元一次方程组的计算，理解题目中完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键．题型09新定义函数图像型1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）(1)如图，⊙O的半径为1．①在点A112,0，A243,0，A3②点B1,m在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m(2)已知点E1,3,F4,3,Tt,0，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α【答案】(1)①A3，60；②(2)322≤t<3或【分析】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键；（1）①根据新定义可得A3的是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，进而根据切线的性质，解Rt△MA②根据定义可得B为⊙O外一点，由BD<1，⊙O的半径为1，得出BO≥2，进而当OB=2时，勾股定理求得m的值，即可求解；（3）由（1）可得，当A在圆的外部时，且AM,AN为圆的切线时，∠MAN最大，且A距离圆心越近，根据90°≤α≤180°，得出r<TA≤2r，根据已知可得，EF上距离T最近的点在t<TA≤2t的圆环内，根据EF是固定线段，让【详解】（1）解：①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有∠PAQ≤∠MAN，当A在⊙O内部时，过A的直径MN使得⊙O的关联角度为180°，当A在⊙O的外部时，且AM,AN为⊙O的切线时，∠MAN最大；如图，A3是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，A1与⊙O的关联角度为180°，A2与⊙O∵A32,0，∴OM=1,OA3=2，且M∴sin∠M∴∠M∴∠MA3N=60°，即与故答案为：A3，60②根据定义可得B为⊙O外一点，∵BD<1，⊙O的半径为1，∴BO≥2，当OB=2时，如图，取点G1,0，则∠OGB=90°∴m≥BG=O∴m的最小值为3，故答案为：3．（2）解：由（1）可得，当A在圆的外部时，且AM,AN为圆的切线时，∠MAN最大，且A距离圆心越近，∵90°≤α≤180°，∴当∠MAN=90°时，由∠TMA=∠TNA=90°，如图，∴四边形TMAN是矩形，由∵TM=TN∴四边形TMAN是正方形，∴TA=2当∠MAN≥90°时，r<TA≤∵点E1,3,F4,3,Tt,0，⊙T经过原点，线段EF∴EF上距离T最近的点在t<TA≤2①EF和2t∴TA=3=解得：t=②EF和半径为t的圆相切时，如图，∴t=3（不包含临界值）∴3③当E在半径为t的圆，如图t2解得：t=5（不包含临界值）∴t>5时，E,F都在⊙T内部，此时α=180°④当E在半径为2t设⊙T的半径为r，则t=−r，∵32解得：r=1+11∴t≤−1−11时，此时90°≤α≤180°综上所述，322≤t<3或t>52．（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P'在图W上或内部，则称点P是图W(1)如图1，已知图W1：线段AB，A−1,−1，B1,−1．在P1−1,0(2)如图2，已知图W2：正方形ABCD，A−1,−1，B1,−1，C1,1，D−1,1．若直线：l:y=x+b上存在点P(3)如图3，已知图W3：⊙T，圆心为T0,t，半径为1．若x轴上存在点P是图W3【答案】(1)P(2)2(3)−2≤t≤2【分析】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定理的应用，一次函数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题的关键；（1）根据定义，观察P1−1,0，P21,2，经过（2）根据正方形的顶点到O的距离为2，则对称之前的点到原点的距离为2，进而求得b的最大值，将D−1,1代入y=x+b得，1=−1+b（3）根据新定义，找到临界值，即OP'为⊙T的切线时的情形，求得【详解】（1）解：如图，当A,N重合时，P1关于ON的对称点为0,−1，在线段AB∴P1−1,0是图而P21,2关于ON的对称点不在AB上，则P2故答案为：P1（2）解：依题意，正方形的顶点到O的距离为12∴当l:y=x+b上存在点P是图W2的“映射点”，则点O到y=x+b的距离为∴当y=x+b经过点D时，b的值最大，将D−1,1代入y=x+b得，解得：b=2，∴b的最大值2；（3）解：如图，ON,OP'分别为当P'为W∴∠P又∵∠P设∠PON=α，则∠TON=90°−α∴∠∴180°−2α=α解得：α=60°∴∠PON=60°，∠TON=30°∵TN=1，∴OT=2,当t减小时，P关于W3的“映射点”，在W3即∴t≤2当t<0时，根据对称性可得t≥−2综上所述，−2≤t≤2．3．（2025·湖北·中考真题）抛物线y=12x2−x+c与x轴相交于点A−1,0和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，(1)求c的值；(2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求PH(3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1,l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3,l4，直线l1,l①求f关于t的函数解析式；②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g=112，直接写出【答案】(1)c=−(2)2(3)①f=−t2+4t【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：（1）待定系数法进行求解即可；（2）一般式化为顶点式，求出T点坐标，根据P点横坐标，得到Pt,12（3）①求出C点，B点坐标，分0<t≤1，1<t≤2，2<t<3三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利用周长公式，列出函数关系式即可；②根据PQ∥x轴，得到P,Q关于对称轴对称，进而求出Q点坐标，分分0<t≤1，1<t≤2，2<t<3三种情况，求出g的函数关系式，再根据f+g=112，分别求出满足题意的t的值，进而求出【详解】（1）解：把A−1,0代入y=12∴c=−3（2）由（1）可知：y=1∴T1,−2∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，∴Pt,∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H，∴PH=1−t，TH=1∴PH（3）①当x=0时，y=−32，当y=1∴C0,−32由（2）可知：T1,−2，Pt,1∴点C0,−3∵P在第四象限，∴0<t<3，当0<t≤1时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t,−3∴f=2t−当1<t≤2时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t,−3∴f=2⋅t+当2<t<3时，抛物线弧CP的最高点为P，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t,1∴f=2⋅t+综上：f=−②∵PQ∥x轴，∴P,Q关于对称轴对称，∴Q2−t,当0<t≤1时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2−t,−3∴g=22−t+∵f+g=11∴−t2+4t+5−2t=112∴PQ=2−t−t=2−2t=2当1<t≤2时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2−t,−3∴g=2⋅2−t−∵f+g=11∴2t+1−t2+4=112∴PQ=t−2+t=2t−2=2当2<t<3时，抛物线弧CQ的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t−2,1∴g=2×1∵f+g=11∴t2+1+t2−4=∴PQ=t−2+t=2t−2=综上：PQ=2或174．（2025·广东清远·一模）【定义】两个图形任意两点之间的距离的最小值为两个图形之间的距离．例如：如下图，直线x=1与y轴的距离为1．【应用】根据定义回答下列问题：（1）如图：直线y=−x+3与直线y=−x−2的距离是；（2）如图：已知点A1,0，圆A的半径为1，将直线y=−12x+4向下平移m个单位后与圆【拓展】（3）如图，某城市规划局要在地铁线附近规划建设一工业园区，工业园区的下边界是抛物线的一部分，建立如图所示的坐标系后，工业园区下边界所在的抛物线为y=18x2（−6≤x≤6）（单位长度为百米），地铁线所在的直线为y=−34x−3【答案】（1）522；（2）m=72【分析】（1）设y=−x−2与y轴交于点A，y=−x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，可得：OA=2，OC=3，OD=3，△COD为等腰直角三角形，则∠ACB=45°，作AB⊥CD交CD于B，解直角三角形即可求解；（2）过A作AB⊥CD于B，交圆A于点E、F，分别过E、F作直线y=−12x+4的平行线l1，l2，则AE⊥l1，AE⊥l1，则l1，l2为圆A的切线，由y=−12x+4得C0,4，D8,0，则OC=4，OD=8，可知CD=45，AD=7，Rt△ABD和Rt△COD中，sin∠BDA=ABAD=OCCD=445，求得AB=（3）设y=−34x−3与x轴、y轴分别交于点A、B，可知A−4,0，B0,−3，过P作PQ⊥AB交抛物线于点Q，过Q作QG∥y轴交直线AB于点G，则∠QGP=∠ABO，解直角三角形得PQ=45QG，设Gm,−34m−3，则Qm,18m2，则PQ=【详解】解：（1）设y=−x−2与y轴交于点A，y=−x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，对于y=−x−2，当x=0时，y=−2，则A0,−2，即：OA=2对于y=−x+3，当x=0时，y=3，则C0,3，即：OC=3当y=0时，x=3，则D3,0，即：OD=3∴△COD为等腰直角三角形，则∠ACB=45°，作AB⊥CD交CD于B，AC=OA+OC=5，∴AB=AC故答案为：52（2）过A作AB⊥CD于B，交圆A于点E、F，分别过E、F作直线y=−12x+4的平行线l1，l2∴l1，l2为圆由y=−12x+4得C0,4，D8,0∴CD=OC2Rt△ABD和Rt△COD中，∴AB=7∴BE=755过点B作BH⊥x轴，交l1，l2于G∵∠EBG+∠DBG=∠DBG+∠CDO=90°，∴∠EBG=∠CDO，Rt△BEG和Rt△COD中，∴BG=7同理，BH=7综上，m=72−（3）设y=−34x−3与x轴、y轴分别交于点A当x=0时，y=−3，当y=0时，x=−4则A−4,0，B过P作PQ⊥AB交抛物线于点Q，过Q作QG∥y轴交直线AB于点G，则∠QGP=∠ABORt△QPG和Rt△AOB中，∴PQ=4设Gm,−34则PQ=当m=−342×此时，xQ作PH⊥QG于H，则QH=PQ⋅cos由勾股定理可得PH=P则xP=−3−9∴P−【点睛】本题考查圆的切线，二次函数与一次函数综合，勾股定理，解直角三角形等知识，理由数形结合的思想是解决问题的关键．题型10新定义函数运算型1．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：(1)求函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：第一步：在函数y=x−1的图象上取两点(1,0)和(0,−1)；第二步：分别求出这两个点关于点(0,0)的对称点_____和______；第三步：函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”为______．(2)是否存在点P，使得函数y=1x+1关于点P(3)函数C1:y=ax2−2ax+2a(a>0)关于点(2,2)的“对称函数”为C2，函数①若a=12，求②若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围．【答案】(1)−1,0，0,1，y=x+1(2)0,1(3)①5；②3【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点(1,0)和(0,−1)关于点(0,0)的对称点，再用待定系数法求出函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”；（2）分析函数解析式可知，函数y=1x+1是由反比例函数y=1x（3）①当a=12时，C1：y1=12x−12+12，②先得出C2的解析式为y=−ax2+6ax+4−10a，在区域内找出关于点(2,2)对称的点，得出C2过点(0,1)和C【详解】（1）解：∵关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数，∴点(1,0)和(0,−1)关于点(0,0)的对称点分别是−1,0，0,1；设函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”为y=kx+b，将−1,0，0,1代入得，−k+b=0b=1，解得k=1∴函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”为y=x+1．（2）解：∵函数y=1x+1而反比例函数y=1x关于原点∴函数y=1x+1∴存在点P0,1，使得函数y=1x（3）解：将C1化成顶点式y=ax2∵C1、C2∴C2的顶点为∴C2①如图，当a=12时，C1：y1联立y=12x−1当x=1时，y1=12，当x=2时，y1=1，y2=3，有整点2,1，当x=3时，y1=52，故当a=12时，求②∵C2的顶点为3,4−a∴C2的解析式为y=−a∵函数C1与C2的图象关于点∴点(2,2)必为区域W内的“整点”，当区域W内恰有9个“整点”时，其它8个“整点”是4对关于点(2,2)对称的点，即(1,1)和3,3，2,1和(2,3)，(1,2)和3,2，(0,1)和4,3，此时，当C2过(0,1)时，满足题意，即4−10a=1解得：a=3当C1过(5,3)时，即16a+a=3解得：a=3此时区域W内有15个整点，如图，当区域W内恰有13个“整点”时，其它12个“整点”是6对关于点(2,2)对称的点，在前面9个“整点”的基础上增加了(0,2)、(4,2)、(3,1)及(1,3)4个“整点”，此时a>3如图，∴a的取值范围是317<a≤【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键．2．（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：y=ax2+bx+ca≠0图象上的点Ax,y的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1x,x+y．他们把这个点A：定义为点A(1)点P1,2(2)如果抛物线y=x2+bx+3(3)已知抛物线y=x2+bx+c图象上的点Bx,y的“和点”是B1①当0≤c≤5时，求n的取值范围．②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点p,q组成一条新的抛物线，设为yp，所有的顶点m,n也组成一条新的抛物线，设为y【答案】(1)1,3(2)y=(3)−54【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可；（2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出b=−7，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可；（3）先根据点B1−1，1，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出y=x2+c−1x+c，写出其“和抛物线”的关系式为：y=x2【详解】（1）解：根据题意可知，点Ax,y的“和”点是A∴点P1,2的“和”点P1的纵坐标为1+2=3，即故答案为：1,3．（2）将点M1,−3代入抛物线y=x2解得：b=−7，即抛物线的解析式为y=x∴抛物线的“和抛物线”为y=x即y=x（3）根据题意可知，点B1−1，∴x=−1x+y=1，解得：x=−1y=2，即将点B−1,2代入抛物线y=x2+bx+c得：∴抛物线为y=x∴抛物线的“和抛物线”为：y=x即y=x2∵其顶点坐标为m,n，∴m=−c将n看作c的函数，∵n=c−c∴c=2时，n有最大值，且最大值为1，当0≤c≤5时，c=5，n有最小值，且最小值为−1∴n的取值范围是−5由得：原抛物线为y=