四川大学线性代数课件第三章第二节 初等矩阵和逆矩阵的求法

1、2022/2/1212022/2/122 初等变换初等变换我们来看线性方程组的一般形式：我们来看线性方程组的一般形式： mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 什么是初等变换什么是初等变换?为什么要对矩阵作初等变换？为什么要对矩阵作初等变换？2022/2/123用用矩阵形式矩阵形式来表示此线性方程组：来表示此线性方程组：1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxb 令令12nxxxx 12mbbbb ijm nAa 则，线性方程组可表示为则，线性方程组可表示为Axb 2022/2/124如何如何解

2、线性方程组解线性方程组？ 可以用可以用高斯消元法高斯消元法求解。求解。 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：（1）交换两个方程的次序；）交换两个方程的次序；（2）以不等于的数乘以某个方程；）以不等于的数乘以某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换2022/2/125若记若记11121121222212()nnmmmnmaaabaa

3、abBA baaab则对方程组的变换完全可以转换为则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵对矩阵B（方程组的方程组的增广矩阵增广矩阵）的行的变换）的行的变换因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算进行运算，未知量并未参与运算2022/2/126即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行施行3种初等运算：种初等运算：(1) 对调矩阵的两行。对调矩阵的两行。(2) 用非零常数用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。乘矩阵的某一行的所有元素。(3) 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数将矩阵

4、的某一行所有元素乘以非零常数k后后 加到另一行对应元素上。加到另一行对应元素上。统称为矩阵的初统称为矩阵的初等行变换，对矩等行变换，对矩阵而言同样可以阵而言同样可以作列变换作列变换 2022/2/127定义：定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: : ）；）；记作记作两行两行对调两行（对调对调两行（对调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 同理可定义矩阵的初等列

5、变换同理可定义矩阵的初等列变换 (把把“r”换成换成“c”)初等行、列变换统称初等变换。初等行、列变换统称初等变换。2022/2/128矩阵的等价矩阵的等价 对矩阵对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩则称矩阵阵A与与B等价，记作等价，记作 A B. 等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。故是一种故是一种等价关系等价关系。即：。即：CACBBAABBAAA,;2022/2/129定义：定义：由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵. . E三种初等变换对应着三种初等方阵

6、三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 行行（列列）上上去去乘乘某某行行（列列）加加到到另另一一以以数数乘乘某某行行或或某某列列；以以数数对对调调两两行行或或两两列列；kk. 30. 2. 1 初等矩阵初等矩阵2022/2/1210，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调)(,jirrjiE1101111011),(jiP行行第第 i行行第第 j(1) 对调两行或两列，得对调两行或两列，得初等对换矩阵初等对换矩阵。2022/2/12111111)(cciP行行第第 i(2) 以数以数0k 乘某行或乘某行

7、或某列，得某列，得初等倍乘矩阵初等倍乘矩阵。).()(0 kiEkriki矩阵矩阵，得初等，得初等行行乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第以数以数 CCPC2022/2/1212，列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以)()( ijjikccjiEkkrrijEk1111)(,(kkjiP行行第第i行行第第j(3) 以数以数0k 乘某乘某行（列）加到另一行（列）上，行（列）加到另一行（列）上，得得初等倍加矩阵初等倍加矩阵。2022/2/12131 1、初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。、初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。 ),(),(1；则则的的逆逆变变换换是是其其本本身身，变变换换jiE

8、jiErrji PP);1()(11kiEkiEkrkrii 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换PP. )()()(1kijEkijErkrkrrjiji 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换PP2022/2/12142、阶阶初初等等矩矩阵阵。乘乘一一个个相相应应的的的的右右边边相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列列变变换换，对对阶阶初初等等矩矩阵阵；的的左左边边乘乘一一个个相相应应的的相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等行行变变换换，矩矩阵阵，对对是是设设nAAmAAnmA 证明：证明：行上，即行上，即倍加到第倍加到第行行的第的第施行倍加变换，将施行倍加变换，将按行分块，对按行分块，

9、对设设ikjAAA2022/2/1215另另两种情形同理可证两种情形同理可证AkjiP)(,( mjik 11111 mjjik 11ijirk rjmA 1ijjmk 2022/2/1216 用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵A为为可逆矩阵的充要条件是可逆矩阵的充要条件是A可以经过若干次初等行变可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵换化为单位矩阵E.定理定理2：12,sP PP 21,sPP PAE 使得使得 11112112ssAPP PP PP 又又因为初等矩阵可逆，所以等号两边左乘因为初等矩阵可逆，所以等号两边左乘 121sPP P 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵

10、，充分性得证。初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，充分性得证。证明：证明： 由定理，知由定理，知 ,即存在初等矩阵即存在初等矩阵AE2022/2/1217必要性：必要性： n n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa的行列式的行列式| |A A| | 0, 0, 所以它的第一列元素不全为零所以它的第一列元素不全为零. . 不妨假设不妨假设a a1111 0(0(如如a a1111=0, =0, 必存在必存在a ai i1 1 0, 0, 此时先把此时先把第第1 1行与第行与第i i行交换行交换), ), 先将第一行乘先将第一行乘1/1/a a1111, , 再

11、将变再将变换后的第一行乘换后的第一行乘(-(-a ai i1 1) )加至第加至第i i行行( (i i=2,3,.,=2,3,.,n n) )得得2022/2/1218其中其中P P1111, ,P P1212,.,.,P P1 1m m是对是对A A所作初等行变换所对应的所作初等行变换所对应的初等矩阵初等矩阵. . 由于由于| |A A1 1|=|=|P P1 1m m.P P1212P P1111A A| | 0, 0, 故对故对B B中中A A1 1继续作如对继续作如对A A所作的初等变换所作的初等变换, , 直至把直至把B B化为主对化为主对角元为角元为1 1的上三角矩阵的上三角矩阵

12、, , 即即1212221121111001,0nnmnnnaaaaPP P AaaBA2022/2/1219再将再将C C中第中第n n, ,n n-1,.,2-1,.,2行依次分别乘某些常数加到前行依次分别乘某些常数加到前面的第面的第n n-1,-1,n n-2,.,1-2,.,1行行, , 就可使就可使C C化为单位矩阵化为单位矩阵, , 即即 P P3 3k k.P P3232P P3131C C= =I I. .综上就有综上就有 ( (P P3 3k k.P P3232P P3131)()(P P2 2l l.P P2222P P2121)()(P P1 1m m.P P1212P

13、P1111) )A A= =I I其中其中A A左边的矩阵都是初等矩阵左边的矩阵都是初等矩阵, , 定理得证定理得证. .12122222111.1nnlaaaPP P BC2022/2/1220等号两边右乘等号两边右乘1,A 121()sPP P EA 推论推论2：A如果对可逆矩阵如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵和同阶单位矩阵 作同样的初作同样的初等等EA行变换，那么当行变换，那么当 变成单位矩阵变成单位矩阵 时，时， 就变成就变成 。EE1A 21,sPP PAE 即，即， 1, AEEA，初等行变换初等行变换,1EAA 又又 121,sE PP PA 21,sA PP PE 1AEEA初初

14、等等列列变变换换即，即， 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积推论推论1：2022/2/1221. ,343122321 1 AA求求设设 解：解：例例1 1： 103620012520001321 100343010122001321EA213123rrrr 1232r rr r 能否写成“=”？2022/2/1222 111100012520011201 111100563020231001.111253232311 A10013235010322001111 132325rrrr 23( 2)( 1)rr 2022/2/1223例例2 2：用初等列

15、变换求可逆矩阵用初等列变换求可逆矩阵A的逆矩阵的逆矩阵.,3211254321AA求解解：用初等列变换：用初等列变换100010001321115432EA321312cccc10001032100114125212) 1() 1(32cc100010321001141252122022/2/122410001032100114125212222321cccc1002121230011012190102331cccc然后010221312100191012001)101(2c01 . 0022 . 0131 . 021001911200119122321cccc9 . 11 . 02 . 18

16、 . 12 . 04 . 11 . 11 . 08 . 0100010001A-12022/2/12252. 若作初等行变换时若作初等行变换时,出现出现全行为全行为0，则矩阵的行列式则矩阵的行列式等于等于0。结论：。结论：矩阵不可逆矩阵不可逆!1. 求逆时求逆时,若用初等行变换必须坚持始若用初等行变换必须坚持始 终终,不能夹杂不能夹杂任何列变换任何列变换.（作列变换时也一样）（作列变换时也一样）注：注：E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换另：另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵1.A B 2022/2/1

17、226例例3 3：.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解：.1BAXA 可逆，则可逆，则若若方法方法1：先求出先求出 ，再计算，再计算 。1A 1A B 方法方法2：直接求直接求 。1A B 1()()A BE A B 初等行变换初等行变换2022/2/1227132325rrrr 1232r rr r 213123rrrr 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 31100640202300113223 .13XA B 23( 2)( 1)rr ， 3110032010230012

18、022/2/1228.1 CAY即可得即可得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA , 1作初等列变换，作初等列变换，则可对矩阵则可对矩阵如果要求如果要求 CACAYTT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得1,YAC YCA 又，又，1()()TTTTTTTTYACA YCYAC ,CA 1 CAE列变换列变换行变换行变换),)( ,(),1TTTTCAECA （2022/2/1229矩阵方程矩阵方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 法。可逆，否则不能用此方，条件：BA2022/2/1230例例4.,2,410011103 XXAAXA求矩阵求矩阵且且设设 解解,2XAAX ,2100111012 EA又又,)2(AXEA 2022/2/1231 10021001001