liu系统的混沌特性及其matlab仿真

1、Liu系统的混沌特性及其 Matlab仿真目 录摘要2英文摘要3导言4第一章混沌的定义及其相关理论61.1 混沌学简史71.2 混沌的定义81.3 混沌的基本特征81.4 混沌的主要研究方1.4.1 功率谱91.4.2 李雅普诺夫（Lyapunov）指数91.4.3 其它方法101.5 混沌意义及应用101.5.1 混沌的意义101.5.2 混沌的应用及前景10第二章Liu系统动力学行为的分析112.1 基本动力学行为分析112.1.1 对称性和不变性122.1.2 耗散性和吸引子的存在性122.1.3 平衡点及稳定2.2 系统的参数影响14第三章Liu系统的Matlab仿真203.1 定义函

2、数203.2 ODE函数命令作图213.2.1 吸引子图及其程序213.2.2 时序图及其程序213.2.3 相图及其程序223.2.4 参数改变时的相图及其程序22第四章Liu系统的功率谱分析234.1. 经典功率谱估计234.1.1 Barlett4.1.2 Welch法244.1.3 Nuttall法254.1.4 Liu系统混沌的功率谱仿真25结论27参考文献28附录 29附录（1） Liu系统的吸引子图，三维图程序29附录（2） Liu系统混沌时序图程序29附录（3） Liu系统混沌相图程序30附录（4）经典功率谱分析方法比较32附录（5） Liu混沌系统功率谱MATLAB仿真程序3

3、5致谢361左自豪指导老师：高心西南民族大学电气信息工程学院电气 041班摘要：混沌现象几乎涉及到科学研究的每一个领域。物理力学的Lroenz模型、Rossler模型、Duffing系统，电子工程学的蔡氏双涡旋电路模型（连 续动力学系统范例），电力系统模型，生物学的 Logistic映射，天体物理学 的Henon映射（离散动力学系统范例）等等，这些范例表现出丰富的混沌 行为。Liu混沌系统结构不同于以往的连续混沌系统，它是一类含有平方非线性项的三阶连续自治混沌系统1,2。本文采用相图，功率谱，和Lyapunove 理论等研究混沌的一些方法，并借助MATLAB软件对之进行仿真研究，观察 研究Li

4、u混沌系统的基本动力学行为特性，良好的仿真结果验证了本文算 法的有效性和快速性。关键词：Liu混沌系统；系统动力学；吸引子；MATLABThe chaos of Liu system characteristic and its simulation by Matlab Zuo Zihao Instructor: Gao XinSouthwest University for NationalitiesInstitute of Electrical and Information EngineeringElectrical engineering and automation 041 clas

5、sesAbstract: Chaotic phenomena related to scientific research in almost every area. Lroenz physical mechanics of the model, Rossler model, Duffing system, electronic engineering Chua's double vortex circuit model (for example dynamic system), electric power system model, the Logistic map bio

6、logy, astrophysics the Henon map (discrete dynamics Example system) and so on, these examples show the rich chaotic behavior. Liu chaotic system structure is different from the previous consecutive chaotic system, it is a kind of square with the third-order nonlinear of the chaotic system for autono

7、my. In this paper, phase diagram, the power spectrum, and Lyapunove Chaos Theory, and so on a number of methods and use of MATLAB simulation software for research, observation of Liu chaotic system dynamics of the basic characteristics of a good simulation results show the effective this algorithm A

8、nd fast.Keywords: Liu chaotic systerm ; systerm dynamics; attractor; Matlab 3 导自20世纪60年代，洛伦兹发现混沌现象以来，混沌理论研究一直受到普遍的关注。随着混沌研究的不断发展，人们开始把目光聚焦在控制 混沌和利用混沌的研究上，控制和利用混沌的研究都是基于一些典型的混沌系统来进行的。1999年Chen等采用线性反馈控制方法控制 Lorenz混沌系统而发现了一种与Lorenz混沌系统类似但不拓扑等价的 Chen混沌系统；2001年和2002年,吕金虎等人相继发现LU混沌系统和连接上述三个混沌系统的统一混沌系统沌系统的

9、存在。2004年刘崇新等人发现了新的 Liu混沌系统。Liu系统是一个三维连续混沌系统，开展其动力学特性及应用研究具有重要的理论意义和实际价值。通常对混沌系统一个完整的研究要使用到李雅普诺夫指数分析和李雅普诺夫指数谱，庞卡莱映射图，混沌吸引子图，混沌相图，混沌时序图，混沌功率谱分析，混沌的电路实现等等。在对其动力学行为的分析中要考察研究其对称性，稳定性，不变性，平衡点和参数变化时的性质等等。对于混沌系统的研究，我们要使用多种方法不同的角度来分析研究，同时在理论分析中结合仿真和电路设计实现，其中就常常用到MATLAB软件和EWB电子设计软件进行辅助验证分析结果。混沌的产生，控制，同步等研究领域是

10、目前最重要最前沿的研究体系。因为我们最重要的是实践也就是应用，目的是要应用转化为生产力。自从美国海军实验室的 Pecora和Carrol提出了一种混沌同步方法2, 以及随后在电子电路中首次观察到混沌同步现象以来，人们先后提出一系列有效的混沌同步控制方法，例如，相互耦合同步 ，续变量反馈同步，自适应控制同步等，这些方法各有自己的使用范围，其中由于线性反馈控制同步简单且容易在物理上实现而得到广泛的应用，此方法主要是基于李雅谱诺夫稳定性理论，构造李雅谱诺夫函数，进行数学推导，得出同步控制 参数的取值范围，但是对于某些混沌系统，要构造其李雅谱诺夫函数并不 是一件很容易的事情，因此，研究采用其他方法来确

11、定线性反馈控制同步 的控制参数取值范围将具有重要的理论意义和实用价值。近年来，随着人们对混沌现象的深入研究，对其动力学行为和基本特 性的逐步了解，在图像处理、保密通信、电力电网动态分析和保护、机械 振动分析与故障诊断、电子振荡发生器设计、信号检测与信息处理等领域 中已得到了有效的应用，随着混沌理论的不断发展和完善，混沌将会在更 多的领域中得到广泛的应用在这些应用中，我们需要有目的地控制混沌， 也需要有目的地生成混沌或者加强已存在的混沌行为。4 122,72 ; 2003年,Liu等发现了在三维连续自治混沌系统中能 产生四螺旋混沌吸引子的混沌系统，并用实际的硬件电路证实了该混近年来混沌系统已经从

12、整数阶发展到分数阶了，其性质和应用将更广 阔，更丰富。分数阶微积分是研究分数阶次的微积分算子特性及其应用的 数学理论，它几乎与整数阶微积分理论具有同样长的发展历史，但由于分 数阶微积分理论长期没有实际应用背景而发展缓慢），次指出了自然界及许 多科学技术领域中存在大量的分维数的事实，且在整数阶微积分与分数阶 微积分理论描述的动力学系统之间存在着自相似现象，此后，作为分形几 何和分维数的动力学基础，分数阶微积分才重新获得了新的发展而成为当前国际上的一个研究热点，并在电磁振荡、系统控制、材料力学等领域得 到了有效的应用）近年来，分数阶混沌系统的电路实现及其应用已引起人们 广泛的兴趣和深入的研究，整数

13、阶微积分是分数阶微积分理论的特例，整 数阶混沌系统都是对实际混沌系统的理想化处理分数阶微积分是整数阶 微积分理论的推广，利用分数阶微积分算子能更准确地描述实际混沌系统 的动力学特性）特别是在最近，在Lorenz混沌系统、Chen混沌系统、Chua' s混沌系统、Liu混沌系统以及Rossler超混沌系统中，通过计算机数值仿 真，发现当系统的阶数为分数时仍然出现混沌状态，且更能反映系统呈现 的工程物理现象，促进了人们利用分数阶微积分理论更深入地研究混沌这 一自然界普遍存在的物理现象，也促进了分数阶微积分理论的发展。MATLAB是集数值运算、符号运算、数据可视化、数据图文字统一处 理、系统

14、动态仿真等功能于一体的数学软件具有很高的编程效率，在线性代数、矩阵分析、数值计算及优化、系统动力学、建模与仿真等领域中得到 广泛应用30 MATLAB具有高效的数值计算和符号计算功能，能使用户从 繁杂的数学运算分析中解脱出来，同时还拥有完备的图形处理功能，实现 计算结果和编程的可视化，它的这些特点使得很快成为应用学科计算机辅 助分析、设计、仿真等领域不可缺少的基础软件。混沌理论研究的是非线性问题，难以用解析式表达，只能采用数值解法， 而MATLAB在这方面便可展示其强大的潜能 3。本文通过采用相图，时序图 和功率谱，只借助MATLAB软件对Liu系统通向混沌的途径进行仿真研究，观 察状态变量在

15、时域和频域中的变化来了解系统的非线性特性，并通过调整其控制参数观察Liu系统动力学行为的演变过程验证其特性。第一章 混沌定义及其相关理论1.1 混沌学简史"混沌”一词译自英文"chaos", "chaos" 一词来自希腊文” 其原意是指 先于一切事物而存在的广袤虚无的空间，后来罗马人把混沌解释为原始的 混乱和不成形的物质，而宇宙的创造者就用这种物质创造出了秩序井然的 宇宙4。4,6 牛顿三大定律及万有引力定律问世以来，确定论的思想就在 人们心中根深蒂固，这种观点是伟大的法国数学家和自然哲学家拉普拉斯 强烈主张的。在牛顿力学中，这种信念是正确的，

16、并且避免了任何可能的混合和含糊。但是，在真实 世界里，初始状态的精确知识是得不到的，一个量不管测量得多么精确， 我们总能要求测量得更精确些。尽管一般说来，我们没有能力知道这种精 确知识，但通常我们假定，如果两个分别进行的实验的初始条件几乎相同， 则最后结果亦将几乎相同。对于大多数具有光滑特性的"常规”系统，这种假设是正确的，但对于某些非线性系统，它是错误的，并且结果是确定性 的混沌。早在上世纪末，伟大的法国数学家庞加莱就已经深刻地了解了这种可 能性以及定量的结果。在他的科学与方法一书中写道：“初始条件中的微小差别会在最后现象中产生非常大差别的情况也可能发生，前者的微 小误差将在后者中

17、产生巨大的误差。预言变为不可能，而我们就有了偶然 现象”。尽管庞加莱有惊人的洞察力，但直到本世纪6。年代初期，确定性混沌实际上仍然没有被仔细考察过交互式计算机的诞生终于为细致研究混沌提供了有力的工具。1963年，气象学家洛仑兹根据牛顿定律建立了温度压强、压强和风速之间的非线性方程，他将该方程组在计算机上进行模拟实验，因嫌那些参 数小数点后面的位数太多，输入时很繁琐，便舍去了几位，尽管舍去部分 看来微不足道，可是结果却大大出乎意料：该气象模型竟与没有舍去几位 小数所得的气象模型大相径庭，变得完全不同。因此，洛仑兹断言： “长 时期”天气预报是不可能的。在澳大利亚的一只蝴蝶偶然扇动翅膀所带来 的微

18、小气流，几星期后可能变成席卷北美佛罗里达洲的一场龙卷风。这就 是天气系统的“蝴蝶效应”。80年代后，混沌理论的研究一下子成为了热点，不仅是数学家、物理 学家，而且生物学家、化学家、医学家、经济学家都不约而同地寻找不同 形式的无规则性之间的联系。混沌之所以有如此大的吸引力，是因为它提 供了把复杂的行为理解为有目的和有结构的某种行为的方法，而不是理解 为外来的和偶然的行为。混沌是一种关于过程的科学，而不是关于状态的 科学；是关于演化的科学，而不是关于存在的科学，它使人们看到了运动 演化中的生机和动力。6 541.2 混沌的定义混沌是学术界对非线性系统研究领域非常活跃的前沿课题，混沌现象几乎涉及到科

19、学研究的每一个领域。他是指确定性系统中出现的一种类似 随机过程的行为。一个非线性动力学系统，在系统参数达到一定匹配时便会出现混沌现象40混沌是J.Hadamard在19 世纪末研究Hamilton系统时发现的。研究 热潮始于1963年Lorenz的三阶自治系统(Lorenz模型)。在Lroenz系统族 中，常见的有以下三中典型模型2:Lorenz 系统：Chen' s 系统：x?a(y?x)y?cx?xz?yz?xy?bz (a=10, b=8/3, c=28) x?a(y?x)y?(c?a)x?xz?cyz?xy?bz (a=35, b=3, c=28)7L u系统：x?a(y?x)

20、y?xz?cyz?xy?bz?(a=36, b=3, c=20)混沌现象属于确定性系统且对初值极其敏感，具有稠密轨道的拓扑特 征，并呈现多种“混乱无序却又颇有规则”的图像存在的必要条件。对于混沌的概念，这个是很难确切地定义出来的，一般地，一个系统会 受到小的扰动，非线性会放大这些扰动，系统一方面对于初始条件敏感依 赖，另一方面又在有限范围内运动，就使那些初始状态和速度充分接近的 轨道会以指数速度分离开来。由于轨道自己不能相交，所以这些轨道只能在有限的空间内缠绕往复而形成非常复杂的形状，这就是混沌。1.3 混沌的基本特征混沌的基本特征有如下几点：(1)具有类随机信号的特性。(2)对初始值非常敏感

21、。(3)其相关函数类似于随机信号的相关函数，具有类似冲击函数的特 性。(4)混沌信号的频谱与随机信号的频谱类似，表现为连续频谱。(5)混沌信号在相空间的吸引子表现为几何结构非常复杂具有分数维 的奇怪吸引子。(6)混沌吸引自具有正的李雅普诺夫(Lyapunov)指数。混沌运动的最基本的特点是运动对初始条件极为敏感。两个很靠近的初始值所产生的轨迹，随时间的推移按指数方式分离。李雅普诺夫(Lyapunov)指数是定量描述这一现象的量，在李雅普诺夫(Lyapunov)指数谱中，最小的Lyapunov指数，决定轨道收缩的的快慢；最大的Lyapnov 指数则决定轨道发散即覆盖整个吸引子的快慢轨线的分离问题

22、，也就是“蝴蝶效应”的强弱的量。8 2,776,7 o因此混沌是一个关于过程的科学而不是一种关于状态的科学，是关于演化的科学而不是关于存在的科学，决定论规律的非线性是混沌运动。所有的指数之和可以认为是大体上表征轨道总的平均发散快慢。而单个的则是定量的表征相空间两相邻由以上的介绍，我们可以判断混沌，判断噪音。下面介绍几种关于混沌时间序列判别的基本方法:(1)功率谱分析法面法(4) Lyapumov 指数络法(7)指数衰减法(2)主分量分析(5) C-C方法(8)频闪法(3) Poincare庞卡莱截(6)局部可变神经网(9)代替数据法1.4 混沌的主要研究方法。对于混沌现象的客观反映就需要更严谨

23、的数学描述以及更直观的物 理现象。1.4.1 功率谱在实验分析方面，对混沌系统施行功率谱分析已是研究混沌的最有效、最直观的工具。周期运动在功率谱中对应尖锋，混沌的特征是谱中出现1噪声背景”和宽锋。它是研究系统从分岔走向混沌的重要方法。在很多实际问题中(尤其是对非线性电路的研究)常常只给出观测到的离散的时间 序列X1, X2, X3,.Xn®B么如何从这些时间序列中提取前述的四种吸引子(零维不动点、一维极限环、二维环面、奇怪吸引子)的不同状态的信息 呢？我们可以运用数学上已经严格证明的结论，即拟合。我们将N个采样值加上周期条件Xn+i=Xi,则自关联函数(即离散卷积)为 然后对Cj完成

24、离散傅氏变换，计算傅氏系数。Pk说明第k个频率分量对Xi的贡献，这就是功率谱的定义3,8,。当采用快速傅氏变换算法后，可直接由Xi作快速傅氏变换，得到系数然后计算，由许多组Xi得一批Pk',求平均后即趋近前面定 义的功率谱Pk。考虑到实际计算中，数据只能取有限个，谱也总以有限分辨度表示出来，从物理实验和数值计算的角度看，一个周期十分长的解和一个混沌解是难于区分的，这也正是功率谱研究的主要弊端3,8,9,10,11 o1.4.2 李雅普诺夫（Lyapunov）指数确定混沌区后，需要进一步对吸引子进行刻画。功率谱分析仍然有用，但更重要的是计算李亚普诺夫指数。对初始条件的敏感依赖性是

25、确定性系统混沌的关键特性。这意味着在相空间中相互靠近的两条轨线，随着时 间的推移，它们将指数性的运动开。李雅普诺夫指数的数值计算方法一般有如下四种：（1） .定义法（2）.Wolf方法（基准轨道法）（3）.切空间法（4） .小数据量法 （M. T. Rosenstein, J. J. Collins & G. J. De Luca 1993 H. Kantz1994）此方法对数据要求较低，计算精度有明显的改善，而且比较稳 健。该李雅普诺夫指数的大小刻划了吸引子的动力学，反映了系统产生或 消除不确定因素的速率。初始不确定性经过多少时间将覆盖整个吸引子由 最大的指数决定，而对吸引子

26、摄动的渐近消失则由最小的指数控制。91.4.3 其它方法描述混沌程度的方法有很多种，而且各有利弊。其中较主要的还有如 确定奇怪吸引子的各种维数、确定混沌系统的所谓柯尔莫哥洛夫嫡、对周 期驱动系统较易实现的分频采样法以及前面介绍的取庞加莱截面的方法 等等似结构的泛函方程形式的重正化群方程也是确定混沌的一个重要方法。1.5混沌意义及应用1.5.1 混沌的意义混沌现象几乎涉及到科学研究的每一个领域。物理力学的Lroenz模型、Rossler模型、Duffing系统，电子工程学的蔡氏双涡旋电路模型(连续动力学系统范例)，电力系统模型，生物学的Logistic映射，天体物理学的Henon 映射(离散动力

27、学系统范例)。这些范例表现出丰富的混沌行为。1.5.2 混沌的应用及前景根据混沌系统提取的非线性时间序列对系统的未来进行预测。如在电 力系统短期负荷预测中的应用，电机转子剩余寿命的预报，计算机软件失 效的预测，在天气、水文预报中的应用以及证券市场股价波动的混沌分析。 近年来，随着人类对混沌吸引子现象的不断深入探索，对其动力学行为和 基本特征的逐步了解，混沌在工程领域得到了很大的发展，混沌控制和混 沌同步研究的也有突破性进展，因此大大推进了混沌的应用研究。(1)改善和提高激光器的功效(性能和效率)。利用混沌控制技术 研制品质优异、单色性好、高功率的激光装置。(2)混沌信号在通信中的应用，包括混沌

28、保密通信、混沌载波数字 通信、混沌序列调频扩频和直接序列扩频通信、混沌参分多址通信等领域。(3)在其它科技领域中的可能应用，利用时空混沌作为信息源研制 超高容量的动态信息存储器；未来能源一一受控热核聚变中的等离子体的混沌、揣流的控制约束；混沌控制与混沌同步与生命科学如神经网络、脑 科学、心脏等领域的研究；人们在众多领域发现混沌是有用的或者有着巨 大的应用前景。当混沌有害时，抑制混沌动力学行为（混沌控制）；当混沌有用时，刻意产生或加强混沌动力学行为（混沌反控制）；混沌的研究主要包括理论研究、混沌模型的建立和混沌信号在工程学上的应用三方面的内容：混 沌发生器（算法、硬件）；分数阶混沌的研究；混沌信

29、号的处理、控制和 应用。1 0 42 o理论分析中则大量使用泛函分析，借用相变理论中的重 正化群方法。比如费根鲍姆推出的普适常数及标度因子就是解一个反映自 相。另外，分析系统的梅尔尼科夫（Melnikov）函数第二章Liu系统动力学行为的分析混沌系统有着复杂的动力学行为，目前人们已知的混沌吸引子并不多，Liu混沌系统是一类含有平方非线性项的混沌系统，其系统的动力学方程为?x?a（y?x）y?bx?kxzz?cz?hx2其中a,b,k,c,h为系统参数，当a=10,b=40,k=1,c=2.5,h=4时，系统（1）处于混 沌状态，系统的混沌吸引子和功率谱如下图所示。由于 Liu系统是一个新 的混

30、沌系统，开展其动力学特性及应用研究具有重要的理论意义和实际价 值。利用Jacobia方法计算李雅普诺夫指数得：2,7?（1）?L?1.64328,?L?0,?L?14.42 123固定k=1,h=4不变，因此，从系统的李雅普诺夫指数，可知该系统为混沌 系统。Liu系统混沌吸引子图1 1Liu系统混沌功率谱图2.1 基本动力学行为分析Liu系统与Lorenz系统和Chen系统具有许多相似的基本性质。2.1.1 对称性和不变性由于系统(1)模型在变换(x , y , z ) f (- x,- y ,z)T的不变性，即系统的 图象关于z轴具有对称性，且这种对所有的系统参数保持不变。2.1.2 耗散性

31、和吸引子的存在性由于?x?y?z?V?a?c(2)当a+c>0时,则系统 是耗散的，且以指数形式收敛dV?(a?c)?edt(3)即体积元V0在时刻t时收缩为体积元 V0e?(a?c)t这意味着，当t-3时 包含系统轨线的每个体积元以指数率-a-c收缩到零。因此，所有系统轨线最终会被限制在一个体积为零的集合上，且它渐进运动固定在一个吸引子上， 说明了吸引子是存在的。1 22.1.3平衡点及稳定性 令系统(1)式的右边等于零，即a(y?x)?0bx?kxz?0?cz?hx2?0(4)得三个平衡点为：S0?(0,0,0)S?S?,b)?(?,?,b)22由其平衡点可知，a,c不变且都

32、为正数，当b>0时，系统有三个平衡 点;b<0时,系统仅有一个平衡点，可见在b=0处，则出现叉式分岔。将系统(1)在平衡点处线性化，得其雅可比(Jacobi)矩阵为：?a?J?b?z0?8x0?其特征方程为：a000?x0?c?(5)f(入)=(入 + c)( ?2 + a - abR+ 8axffl2 = 0( 6 )把S0=(0,0,0)(弋入(6)式，得其特征多项式为f0(?)?(?c)(?2?a?ab)?0其特征根为:(7)?a?a; ?3?. ?1 = -c; ?2?22若 b>0,则 a2?4ab?a2从而？1<0, ?2&a

33、mp;gt;0, ?3<0 ,贝U S0=(0,0,0泮 衡点是不稳定的且为三维空间中的一个鞍点。22a?4ab?a若 b<0,则,从而？1<0, ?2<0, ?3<0.贝U S0=(0,0,0泮衡 点是(1)唯一的平衡点且是稳定的汇。1 3把S?弋入(6)式，得其特征多项式为：f?(?)?(a?c)?ac?2abc?032(8)由于a,c为正数，若b>0,则(8)式的所有系数均为正，因此，对任意人 >0,则都有f?(?)>0 o因此，要使平衡点不稳定，则(8)式必须有两个正实部的复

34、共 辗特征根。若b=0,则(8)式有三个特征根：？1=0, ?2?a, ?3=-c当b从正趋近于 零时，则人的高阶项变的很小，忽略不计，则?1趋近于-2b,因此，在极限状态的 情况下，稳定性将失去。在b从零逐渐增加的过程中，仅当Re(?)?0时,系统不 稳定性才会发生。此时，(8)式的两个特征根则为?1,2?i,其中w为实数。从而可得：？1+?2+?3=-(a+c)因止匕，？3=-a-c把它彳t入(8)式，有-ac(a+c)+2abc=0即bh=(a+c)/2,若b<bh,贝(J S便口 S?匀为稳定的汇.若b>bh,贝S侨口 S循 为不稳定的鞍焦点。若b=bh时,

35、两个复共辗特征根为?1,2?acL由于?2ac?(b)?23?2(a?c)?ac因此(9)ac?(0)?Re?(bh)?0,2ac?(a?c)(a?c?0.2ac?(a?c)(10)?(0)?Im?(bh)?(11)所以，根据霍普夫(Hopf)分岔的定理，则当b=bh时,系统在平衡点S? 和S?&将出现霍普夫(Hopf)分岔,bh表示霍普夫(Hopf)分岔点。(12) 统的参数影响Liu系Liu系统的动力学行为是由控制参数决定的。为观察系统的动力学特性可采用相图、功率谱、有选择地研究控制参数，当参数变化时研究统的演化过程从上面分析可知，随着系统参数的改变，系统平衡点的稳定性将会发生 变

36、化，从而该系统也将处于不同的状态。下面利用仿真，分析各个系统参数变化时，系统的变化情况。（1）当a、c不变,b改变时，依据下面的b取不同值的相图可知：当b< bh?6.25时，系统为稳定状态如（b=5的x-z图）所示；1 41当 b> b?6.25时，系统为混沌状态如（b=7和b=20的xz图）所示。b取不同值时的相图（分别依次取b=5,b=7,b=20）1 5很显然，系统在b= bh?6.25时,发生了霍普夫（Hopf）分岔。同时由图 （b=7的x-z图和b=20的x-z图）比较还可以看出，随着b的增大，系统 的混沌性增强。 （2）当a,b不变,c改变时，依据下面

37、的c取不同值的相 图可知：当0&lt;c& 8时，系统为混沌状态； 当8&lt;c&lt;10.3时,系统为周期状 态； 当10.3<c&lt;10.7时,系统为拟周期状态； 当10.7&c&lt;30时，系统 为周期状态。1 6C取不同的值时的相图（分别依次取c=6,c=9,c=10.5,c=20）（3）当b、c不变,a改变时，依据下面的c取不同值的相图可知:当0&lt;a&4时，系统为周期状态；当4&lt;a< 14时，系统为混沌状态；当14&lt;aW 18时，系统为周期状态；当18&am

38、p;lt;a&42.5时，系统为混沌状态；当42.5&lt;aW50时，系统为周期状态。1 71 8a取不同的值时的相图(分别依次取a=2,a=8,a=17,a=20,a=45)综上所述，参数变化对系统影响的分析可以得到以下的结论：(1)Liu混沌系统在b=0,出现叉式分岔。(2)Liu混沌系统在b=(a+c)/2,出现霍普夫 分岔。(3)Liu混沌系统当a,c不变,b改变时，随着b的增大，系统从稳定状态变 为混沌状态，且系统的混沌性增强。(4)Liu混沌系统当b,c不变,a改变时，随着a的增大 周期状态和混沌状 态交替出现。(5)Liu混沌系统当a,b不变,c改变时，随着c的

39、增大，系统则出 现混沌、周期和拟周期三种状态。1 9第三章 Liu系统的Matlab仿真分析Liu系统的动力学行为是由控制参数a、b、c决定的。为观察系统的动力学特性，可采用相图、功率谱、关联维数等方法有选择地研究控制参数， 当参数变化时研究Liu系统的演化过程。相空间就是由研究的物理量本身作为坐标分量所构成的广义空间，系统的任意状态相当于相空间中的一个点，系统状态随时间变化的过程对应于点在相空间中的变化，所有点的集合便构成了相图。非线性系统随时间的演变将趋向于维数比原来相空间低的极限集合即吸引子。通常的简单吸引 子有不动点、极限环和环面，随系统参数的改变简单吸引子可发展为奇怪吸 引子。像这种

40、当控制参数变化到某个临界值时使系统的动力学行为更易控制。 Matlab是一种既可交互使用又能解释执行的计算机语言。在研 究非线性方程的解中使用方便直观，功能强大。通过Matlab仿真可以帮助我们很好的分析，研究和理解混沌系统的动力学行为特性9 o下面使用仿真分析Liu系统的动力学行为特性：用Matlab实现Liu混沌系统的吸引子(状态图)，结果见第一章系统 混沌吸引子图。3.1定义函数为了方便表达将x,y,z表示为x(1),x(2),x(3)也即是列向量x中的3个分 量，编译函数程序文件lu19pride_.m,具体程序如下：%设 x=x(1),y=x(2),z=x(3);function x

41、dot=liu19pride(t,x);a=10;b=40;k=1;c=2.5;h=4;xdot=a*(x(2)-x(1);b*x(1)-k*x(1)*x(3);-c*x(3)+h*x(1)A2;其中，a,b,k,c,h是Liu混沌系统的参数，参数值可以在 Matlab装载.m程序文件夹中直接修改和设置，保存便能实现参数的改变，方便编程仿真分析，此段程序主要是对系统函数方程的描述，定义 Liu混沌系统的方程组，方程中x,y,z是对时间t的导数，因此是用Matlab求解常微分方程的 解图像曲线，便要使用到ODE命令，在此采用Rung-Kutta(4,5)公式的ode45 调用函数。2 0 33.

42、2 ODE函数命令作图 3.2.1吸引子图及其程序在命令窗口编译下面程序实现Liu混沌系统的吸引子图，用plot3函数创建系统三维图型，其具体的图形见第一章系统吸引子图，它的具体编译 程序见附录(1)。3.2.2 时序图及其程序时序图是各方程在时间域的时间序列图，其具体的编译程序见附录(2):程序中使用axis函数设置图形的坐标范围，便于得到体现系统特征的仿真图形，从而更好地方便分析和研究系统的特性。而 subplot函数则是 选择绘图位置，用于在图形窗口上绘制多个子图。如下面的 Liu混沌系统 的时序图，这样既便于排版，更重要的是很方便比较分析。Liu混沌系统的时序图由系统的时域波形图(Pi

43、cture(1)- Picture(4)可得，系统混沌振荡的时域波形具有非周期性，解的流对初值极为敏感，这也是混沌的一大特性， 为混沌的判别和研究提供了一个很好的方法和途径，在此也说明了时序图 分析混沌性态的可行性。2 13.2.3 相图及其程序Liu混沌系统在各平面上的相图，具体命令程序见附录（3）:Liu系统混沌在各个平面的相图相图是系统的状态图在各个平面上的投影，通过相图可以很清晰的观 察到系统的混沌吸引子的情形，还可以用来判断一个新的系统是否是混沌 系统。Liu混沌系统的相图具体情形如图Picture（5）Picture（10）所示，其中每组小图用横向变换坐标放置在同一个图上，以便更清

44、楚的比较观察、分 析和研究系统的吸引子性质。3.2.4 参数改变时的相图及其程序第二章关于系统参数的影响中，改变参数值作的相图具体程序和上面 中的程序（见附录（3）是一样的，只是在设置图形属性不同，主要是 在初值x0的取值和图形范围函数 axis的使用时范围数值设置不一样，但 是总体上的目的是要使图形便于观察和分析，表现其特征，性质。其相关 分析具体见第二章，在此就不详细叙述。2 2第四章 Liu系统混沌的功率谱分析周期运动在功率谱中对应尖锋，混沌的特征是谱中出现"噪声背景"和宽锋。它是研究系统从分岔走向混沌的重要方法。4.1.经典功率谱估计经典功率谱估计分析主要包括Tuk

45、ey提出的相关函数估计，Schuster提出的周期图估计，间接法(BT法)、Bartlett法谱估计、Welch法谱估计、Buttal法谱估计，以及Burg提出的最大嫡谱估计。常用的谱估计方法可分 为非参数估计、参数估计和子空间估计三大类3,8,10 o非参数估计直接从时域信号估计 PSD,最基本的非参数估计是周期图 法，该方法还可以使用于高音噪比情况下长时信号的谱估计。直接法是Schuster于1989年提出来的，又称为周期图法。直接法之所以得到广泛的应用，是由于它与序列的频谱有对应关系，可以采用 FFT 算法来快速计算。但是在直接法功率谱估计中，对于无限长的平稳信号进 行截断，这等于对无限

46、长的序列加以矩形窗口，使之变成有限长的数据， 这也意味着对自相关函数的加窗，使得功率谱与窗函数卷积。这种频域卷 积会产生频谱泄漏，容易使得弱信号的主瓣被强信号的旁瓣所淹没，造成 频谱的模糊和失真，使得周期图功率谱的分辨率较低10 o接法：直接法又称周期图法，它是把随机序列 x(n)的N个观测数据视 为一能量有限的序列，直接计算 x(n)的离散傅立叶变换，得 X(k),然后再 取其幅值的平方，并除以 N,作为序列x(n)真实功率谱的估计。间接法：间接法先由序列 x(n)估计出自相关函数 R(n),然后对R(n)进 行傅立叶变换，便得到x(n)的功率谱估计。改进的直接法：对于直接法的功率谱估计，当

47、数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，若N太小，谱的分辨率又不好，因此需要改进。因此必须对周期图法的功率谱估计方法进行改进，当然只是对数据方 差的改进。当前主要有两种改进方法：一种是周期图的平滑，即采用间接 法估计功率谱；另一种是平均法，它将长度为 N的数据X(N)#成L段，分别求出每段的功率谱，然后加以平均10,11。下面将直接法的改进方法Barlett法、Welch法和Nuttall法各自的方法特点和使用的函数见附录(5)常用功率谱分析方法表所示。它们之间的用法和区别详见附录(4)经典功率谱分析方法比较2 34.1.1 Barlett 法10Bartlett平均周期图的方法是将N点的有限长序列

48、x(n)分段求周期图再 平均。Bartlett平均周期图的方法是将 N点的有限长序列想 X (n) , 0?n?N?1 分成互不重叠L段数据，每段有 M个样本，则有LM=N,即：其中 0?n?M?1,Xi(n)?Xn?(i?1)Mdn?(i?1)M 1?i?L,dn?(i?1)M为长度是M的矩形窗。然后求取每一段的 M个样本的功率谱估计，即：1?i?kn?PPER(k)?X(n)WM?M?n?0?最后求出所有M段数据功率谱的平均值，即：？iM?1211PPER(k)?PPER(k)?Li?1LM?L?i?i?1L?i?kn?XM(n)WN?n?0?M?12并将上式作为整个序列 X(n)的功率谱

49、估计。随着L的增大，平均周期图 PPER(k的方差趋于0,因此它是功率谱的 渐近一致估计。虽然分段平均周期法功率谱估计可以减少估计误差和波动， 但是由于这种方法将长信号分段成短信号，从而使得功率谱的分辨率下降。在MATLAB中可以利用函数psd来实现Bartlett平均周期图方法的功率谱估 计。4.1.2 Welch 法10,11Welch法，又称为加权交叠平均法，它是对 Bartlett法的改进，主要 体现在两个方面，一是在序列 X (n)分段时，容许每段数据有部分交叠； 二是每段数据可以选择其他窗口函数，不一定要求是矩形窗口。Welch法对Bartlett法进行了两方面的修正，一是选择适当

50、的窗函数 w(n),并再周期图计算前直接加进去，加窗的优点是无论什么样的窗函数 均可使谱估计非负。二是在分段时，可使各段之间有重叠，这样会使方差 减小。在每段数据的功率谱时， Welch算法Bartlett算法相同。但是由于其使 用了窗口函数，由窗口函数基本知识可知，采用合适的非矩形窗可以减小 信号的“频谱泄漏”，同时也可以增加谱峰宽度， 从而提高频谱的分辨率， 但是它在窗口的选择时候有一定的要求：2 4?(1)窗口宽度远小于样本序列的长度，以排除不可靠的自相关值；(2)当平稳信号为实过程时，为保证平滑周期图和真实功率谱同样 也是实偶函数，平滑窗口函数必须是实偶对称函数；(3)平滑窗口函数应当

51、在 M=0处有峰值，并随M的绝对值的增加而 单调下降，使可靠的自相关值有较大的权值；(4)功率谱是频率的非负函数，由于周期是非负的，因而要求窗口 函数的傅里叶变换是非负的。在MATLAB中使用函数psd与pwelch都可以实现 Welch法的功率谱,其方法是一样的只是在参数设置有所不同在MATLAB中还可以利用函数 csd实现 Welch法的互功率谱，其中csd 函数的参数与 psd的用法是一样的。4.1.3 Nuttall 法10,11由于Welch法容许分段时交叠，这样就增加了数据分段的段数，当然 也就增加了做FFT的次数。如果用的数据窗是非矩形窗，这有增加了求分 段功率谱的乘法次数，因此

52、 Welch法的计算量很大。为了减少Welch法计算量，Nuttall等人提出了一种5步结合算法10,11, 它主要是结合直接法与间接法，有结合了周期谱的平滑与平均。这样保持 了平滑和平均减小方差的优点，而且计算量也小。4.2 Liu系统混沌的功率谱仿真周期运动在功率谱中对应尖锋，混沌的特征是谱中出现"噪声背景”和宽锋。它是研究系统从分岔走向混沌的重要方法。在MATLAB中建立psd_Bartlett ._m函数文件如下function xn=psd_Bartlett(t,x);a=10;b=40;k=1;c=2.5;h=4;xn=a*(x(2)-x(1);b*x(1)-k*x(1)

53、*x(3);-c*x(3)+h*x(12;其中功率谱的命令窗口程序见附录(5) Liu混沌系统功率谱MATLAB 仿真程序，先用ODE函数语句得到系统的时间序列图，再用PSD函数语句得到系统的功率谱由系统的功率谱图形可以看出，系统的功率谱线中出现了类噪声现象， 即是符合了混沌的功率谱特性在谱中出现了出现"噪声背景"和宽锋，所以可以看出系统是混沌系统，也更好的辅助说明了系统混沌特性的正确性， 结合系统的状态图，吸引子图，时间序列图和2 5相图说明系统是混沌现象。从而说明了使用功率谱研究混沌，判别系 统是否是混沌系统提供了一个很好的方法，使的研究混沌的方法更加丰富， 而且为实现

54、对混沌的控制，分析提供了很好的依据，也为以后关于混沌的 应用，混沌系统的能量，功率特性提供了很好的研究手段。2 6结 论Liu系统为混沌态，它的吸引子形状也是蝴蝶形，与Lorenz吸引子相似, 但与其不拓扑等价，而且由系统（1）中第3个微分方程有一个二次项可以 产生一个折叠轨道，从而吸引子出现涡旋状。由于 Liu系统是一个新的混沌 系统,在利用混沌电路进行保密通信方面有着广泛的应用前景，因此开展其动力学特性及应用研究具有重要的理论意义和实际价值。本论文认真分析总结了混沌的基本理论知识，重点总结了混沌的特点， 研究方法和发展前景，主要研究了Liu混沌动力学的基本动力学行为特性确定了 Liu混沌系

55、统的平衡点及各在平衡点的稳定性，重点分析了系统参 数对整个混沌系统的影响，据此得出系统参数在某一区间内的Liu混沌系统状态。最后根据Liu混沌系统的数学模型用 MATLAB软件进行仿真分析观察其Liu系统混沌相图，吸引子和功率谱图形，使理论结果得到仿真验证。利用M atlab软件，通过编写程序，进行了仿真，得到了Liu混沌系统的相图。表明了利用 M atlab编程方法实现混沌系统的仿真是可行的，对进 一步研究混沌理论有较好的参考价值。在此基础上，结合相应的控制理论，运用适当的控制算法，就能够实现对混沌系统的控制与利用，对控制和利 用混沌系统的研究有十分重要的意义。通过该论文的编著，我了解了很多

56、非线性科学知识，理解了以前所未 见过的问题，丰富了自己的视野，增强了自己对科学研究的兴趣和能力。 同时更好地掌握了 MATLAB软件，通过Liu系统的仿真，更深入的了解了 混沌这个现象，而且学习了老师特别是高老师做科学研究的严谨认真的态 度和勤奋求实的科学精神，真正的让我自己受益匪浅。2 7参考文献：1王发强.刘崇新.Liu混沌系统的混沌分析及电路实验的研究.物理学报.2006年2陈关荣.吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步.北京. 科学出版社.2003年3王宏.精通MATLAB 6.5极其在信号处理中的应用.北京.清华大学 大学出版社.2004年4高心.统一混沌系统的时延模糊控

57、制.物理学报 .2007年5沈绍伟.Liu系统的动力学性质、控制及同步.浙江 .浙江师范大学.2006年6高心.刘兴文.复域Duffing系统的模糊模型及混沌控制.成都.西 南民族大学学报(自然科学版).2006年7吕金虎.混沌时间系列分析及其应用.武汉.武汉大学出版社.2002 年8张志涌.精通MATLAB 6.5版.北京.北京航空航天出版社.2003年9王改云.马姝靓.典型混沌系统的 MATLAB仿真.物理学报.2003年10飞思科技产品研发中心.MATLAB 7.0辅助信号处理技术与应用. 北京.电子工业出版社.2005年11梁虹.梁洁.陈跃斌等编著.信号与系统分析及 MATLAB实现.北京. 电子工业出版社.2 8附 录附录(1) Liu系统的吸引子图，三