信号与系统 第三章 离散系统的时域分析

1、信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-1 1 1页页页电子课件 第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-2 2 2页页页电子课件3.1 LTI离散系统的响应一、差分与差分方程一、差分与差分方程 与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。散时间信号有差分及序列求和运算。 设有序列设有序列 ，则称，则称 为为 的移位序列。的移位序列。 序列的差分可分为前向差分和后向差分。序列的差分可分为前向差分和后向差分。 一阶前向差分定义：

2、一阶前向差分定义： 一阶后向差分定义：一阶后向差分定义： 前向差分和后向差分的关系：前向差分和后向差分的关系： ),2(),1(),1(),2(,kfkfkfkf)(kf)(kf) 1()()(kfkfkfdef)() 1()(kfkfkfdef) 1()(kfkf信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-3 3 3页页页电子课件本书主要采用的是后向差分，简称差分。本书主要采用的是后向差分，简称差分。差分运算具有线性性质。差分运算具有线性性质。)()()1()()1()()1() 1()()()()(2211222111221122112211kfakfakfkfakf

3、kfakfakfakfakfakfakfa信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-4 4 4页页页电子课件二阶差分可定义为：二阶差分可定义为：类似可定义三阶、四阶、类似可定义三阶、四阶、n阶差分。阶差分。N阶差分阶差分式中式中)2() 1(2)() 1()()1()()()(2kfkfkfkfkfkfkfkfkfdefnjjndefnjkfjnkfkf01)() 1()()(njjjnnjn, 2 , 1 , 0,!)!(! 信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-5 5 5页页页电子课件 序列序列 的求和运算为的求和运算为 差分方程是包含关

4、于变量差分方程是包含关于变量k k的未知序列的未知序列 及其各阶差分及其各阶差分的方程式，它的一般形式可写为：的方程式，它的一般形式可写为： 式中差分的最高阶为式中差分的最高阶为n n阶，称为阶，称为n n阶差分方程。阶差分方程。 各阶差分均可写为各阶差分均可写为 及其各移位序列的线性组合，故及其各移位序列的线性组合，故上式常写为：上式常写为：若各移位序列的系数为常数，则方程为常系数差分方程。若各移位序列的系数为常数，则方程为常系数差分方程。)(kfkiif)()(ky0)(,),(),(, kykykykFn0)(,),1(),(, nkykykykG)(ky信号与系统信号与系统西安工业大学

5、北方信息工程学院第第第1-1-1-6 6 6页页页电子课件例：若描述某离散系统的差分方程为：例：若描述某离散系统的差分方程为：已知初始条件已知初始条件 ，激励，激励 ，求，求解：将差分方程中除解：将差分方程中除 以外的各项都能移到等号右以外的各项都能移到等号右 端，得端，得对于对于 ，将已知初始值，将已知初始值 代入上式，得代入上式，得类似地，依次迭代得类似地，依次迭代得)()2(2) 1(3)(kfkykyky2) 1 (, 0)0(yy)(2)(kkfk)(ky)(ky)()2(2) 1(3)(kfkykyky2) 1 (, 0)0(yy2k2)2()0(2) 1 (3)2(fyyy10)

6、3()2(2)2(3)3(fyyy10)4()2(2)3(3)4(fyyy信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-7 7 7页页页电子课件二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解 一般而言，如果单输入一般而言，如果单输入单输出的单输出的LTILTI系统的系统的激励激励 ，其全响应为，其全响应为 ，那么，描述该系统，那么，描述该系统激励激励 与响应与响应 之间关系的数学模型是之间关系的数学模型是n n阶常阶常系数线性差分方程，它可以写为：系数线性差分方程，它可以写为：式中式中 都是常数上式可缩写为都是常数上式可缩写为差分方程的解由齐次解和特解两部分组成：差分方程的解由齐

7、次解和特解两部分组成：)(kf)(ky)(kf)(ky)() 1()()() 1()(0101mkfbkfbkfbnkyakyakymmn ), 1 , 0() 1, 1 , 0(mibnjaij 、) 1( )()(00nmiimnjjnaikfbjkya式中)()()(kykykyph信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-8 8 8页页页电子课件 齐次解：齐次解： 当差分方程中的激励及其各移位项均为零时，齐当差分方程中的激励及其各移位项均为零时，齐次方程的解为齐次解。次方程的解为齐次解。 首先分析最简单的一阶差分方程。若一阶差分首先分析最简单的一阶差分方程。若一

8、阶差分方程的齐次方程为方程的齐次方程为 它可改写为：它可改写为： 0)() 1()(01 nkyakyakyn0) 1()(kaykyakyky ) 1()(信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-9 9 9页页页电子课件 之比等于之比等于-a-a表明，序列表明，序列 是一个公是一个公比为比为-a-a的等比级数，因此的等比级数，因此 有如下形式：有如下形式： 对于对于n n阶齐次方程，它的齐次解由形式为阶齐次方程，它的齐次解由形式为 的的序列组合而成，将序列组合而成，将 代入到差分方程中，得：代入到差分方程中，得： 由于由于 ，消去，消去C C，且，且 ，以，以 除上

9、式，得除上式，得 为差分方程的特征根。为差分方程的特征根。) 1()(kyky与)(ky)(kykaCky)()(kCkC001111 nknkknkCaCaCaC0C0nk00111 aaannnj信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-101010页页页电子课件jejba21，kC特征根特征根单实根单实根一对共轭复根一对共轭复根r重实根重实根R重共轭复根重共轭复根齐次解齐次解y h (k)krrrrCkCkCkC)(012211 jDCAekAkDkCjkk其中或 )cos()sin()cos()cos()cos()cos(00222111 kAkkAkkArrr

10、rrrk不同特征根所对应的齐次解不同特征根所对应的齐次解齐次解齐次解信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-111111页页页电子课件特解特解重特征根时是当是特征单根时当不等于特征根时当raPkPkPkPaPPkPakrrrrkka a )(a 01110 的特征根重等于当有时所有特征根均不等于1r 1 01110111PkPkPkPkPkPkPkPmmmmrmmmm jQPAekAkQkPj其中或),cos()sin()cos(je所有特征根均不等于)sin()cos(kk或kamk)(kf激励)(kyp特解信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-

11、1-1-121212页页页电子课件 全解 线性差分方程的全解是齐次解与特解之和，如线性差分方程的全解是齐次解与特解之和，如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为 如果特征根如果特征根1为为r重根，而其余重根，而其余n-r个特征根为单个特征根为单根时，差分方程的全解为：根时，差分方程的全解为： 式中式中 由初始条件决定。由初始条件决定。njpkjjphkyCkykyky1)()()()()()(11kyCkCkypnrjkjjrjkjjrjjC信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-131313页页页电子课件 如果激励信号是

12、在如果激励信号是在k=0k=0时接入的，差分方程的解时接入的，差分方程的解适合于适合于k0k0。对于。对于n n阶差分方程，用给定的阶差分方程，用给定的n n个初始个初始条件条件 就可确定全部待定系数。如就可确定全部待定系数。如果差分方程的特解都是单根，可得：果差分方程的特解都是单根，可得：由以上方程可求得全部待定系数由以上方程可求得全部待定系数) 1(,),1 (),0( nyyy) 1() 1() 1 () 1 ()0()0(1212111221121 nyCCCnyyCCCyyCCCypnnnnnpnnpn), 2 , 1(njCj 信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第

13、1-1-1-141414页页页电子课件例：若描述某系统的差分方程为例：若描述某系统的差分方程为已知初始条件已知初始条件 激励激励 求方程全解求方程全解解：求齐次解解：求齐次解差分方程的特征方程为差分方程的特征方程为可解得特征根可解得特征根 为二重根，其齐次解为二重根，其齐次解求特解，根据激励函数的形式可知其特解：求特解，根据激励函数的形式可知其特解：将将 代入微分方程中得代入微分方程中得)()2(4) 1(4)(kfkykyky1) 1 (, 0)0(yy0,2)(kkfk0442221kkhCkCky)2()2()(210,2)(kPkykp)2(),1(),(kykykyppp41P信号与

14、系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-151515页页页电子课件微分方程的全解为微分方程的全解为将初始条件代入上式，有将初始条件代入上式，有由上式得由上式得 。最后得方程的全解为。最后得方程的全解为0,241)2()2()()()(21kCkCkykykykkkph124122) 1 (041)0(212CCyCy41, 121CC0,241)2(41)2()(kkkykkk信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-161616页页页电子课件例：若描述某离散系统的差分方程为例：若描述某离散系统的差分方程为 已知初始条件已知初始条件 ；激励为有始的；

15、激励为有始的周期序列周期序列 ，求其全解。，求其全解。 解：首先求齐次解。差分方程的特征方程为解：首先求齐次解。差分方程的特征方程为 解得特征根解得特征根 方程的齐次解方程的齐次解)()2() 1(5)(6kfkykyky1) 1 (0)0(yy、0),5 . 0cos(10)(kkkf01562312121，kkhCCky3121)(21信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-171717页页页电子课件求特解求特解根据激励函数形式设特解为根据激励函数形式设特解为其移位序列其移位序列将特解及其移位序列代入微分方程中，得将特解及其移位序列代入微分方程中，得)5 . 0s

16、in()5 . 0cos()(kQkPkyp)5 . 0sin()5 . 0cos()1(5 . 0sin)1(5 . 0cos) 1(kQkPkQkPkyp)5 . 0sin()5 . 0cos()2(5 . 0sin)2(5 . 0cos)2(kQkPkQkPkyp)5 . 0cos(10)5 . 0sin()56()5 . 0cos()56(kkQPQkPQP信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-181818页页页电子课件解得解得 ，于是特解，于是特解方程的全解方程的全解将已知的初始条件代入上式，有将已知的初始条件代入上式，有由上式解得由上式解得 ，最后得全解

17、，最后得全解1QP0),45 . 0cos(2)5 . 0sin()5 . 0cos()(kkkkkyp0),5 . 0sin()5 . 0cos(3121)()()(21kkkCCkykykykkph11315 . 0) 1 (01)0(2121CCyCCy3221CC、信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-191919页页页电子课件0 )45 . 0cos(2313212 )5 . 0sin()5 . 0cos(313212)(kkkkkykkkk （稳态响应）强迫响应（瞬态响应）自由响应信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-2020

18、20页页页电子课件 一般而言，如果差分方程所有的特征根均满一般而言，如果差分方程所有的特征根均满足足 ，那么其自由响应将随着，那么其自由响应将随着k k的增大而逐的增大而逐渐衰减趋近于渐衰减趋近于0 0。这样的系统称为稳定系统，这。这样的系统称为稳定系统，这时的自由响应也称为瞬态响应。稳定系统在阶跃时的自由响应也称为瞬态响应。稳定系统在阶跃序列或有始周期序列作用下，其强迫响应也称为序列或有始周期序列作用下，其强迫响应也称为稳态响应。稳态响应。121，信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-212121页页页电子课件 三、零输入响应零输入响应 系统的激励为零，仅由系统的

19、初始状态引起的系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用响应，称为零输入响应，用 表示。在零输入条表示。在零输入条件下，微分方程等号右端为零，化为齐次方程。件下，微分方程等号右端为零，化为齐次方程。 一般设定激励是在一般设定激励是在k=0k=0时接入系统的，在时接入系统的，在k0k0k0时，系统的单位序列响应与系统的零输入响应的函时，系统的单位序列响应与系统的零输入响应的函数形式相同。这样就把求单位序列响应的问题转化数形式相同。这样就把求单位序列响应的问题转化为求差分方程齐次解的问题，而为求差分方程齐次解的问题，而k=0k=0处的值处的值 可按可按零状态的条件由差分方程确

20、定。零状态的条件由差分方程确定。)(k)0(h信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-424242页页页电子课件例：求如图所示离散系统的单位序列响应例：求如图所示离散系统的单位序列响应写差分方程写差分方程根据单位序列响应根据单位序列响应 的定义，它应满足方程的定义，它应满足方程)(khDD)(kf)(ky) 1( ky)2( ky12)(kh)()2(2) 1()(kkhkhkh)()2(2) 1()(kfkykyky信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-434343页页页电子课件求初始值求初始值由由 求求由于由于（2 2）求）求 对于对于

21、k0k0， 满足方程满足方程 求齐次解求齐次解其特征方法为其特征方法为其特征根其特征根 ，方程的齐次解为，方程的齐次解为 0)2() 1(hh0) 1 ()0( hh0) 1 (, 1)0(1) 1 () 1(2)0() 1 (1)0()2(2) 1()0(hhhhhh)(kh)(kh0)2(2) 1()(khkhkh2121，022信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-444444页页页电子课件 将初始值代入，有将初始值代入，有 请注意，这时已将请注意，这时已将 代入，因而方程的解也代入，因而方程的解也满足满足k=0k=0。有上式可解得。有上式可解得 于是得系统的

22、单位序列响应为：于是得系统的单位序列响应为：0,)2(1)(21kCCkhkk）（12) 1 (1)0(2121CChCCh)0(h32,3121CC0,)2(32131)(kkhkk）（信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-454545页页页电子课件例：如图离散系统，求其单位序列响应例：如图离散系统，求其单位序列响应（1）列方程）列方程 由由 得得)(kyDD)(kf121)(kx) 1( kx)2( kx)(ky0)2() 1(hh)2()()()2(2) 1()()(kxkxkykxkxkxkf)2()()2(2) 1()(kfkfkykyky信号与系统信号与

23、系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-464646页页页电子课件根据单位序列响应的定义，根据单位序列响应的定义， 应满足方程应满足方程和初始状态和初始状态（2 2）求）求 思路：思路：将将 和和 看作是两个激励，分别求看作是两个激励，分别求它们的单位序列响应，然后按线性性质求得系它们的单位序列响应，然后按线性性质求得系统的单位序列响应。统的单位序列响应。)2()()2(2) 1()(kkkhkhkh)(kh0)2() 1(hh)(kh)(t)2( t信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-474747页页页电子课件)()2(2) 1()(111kkhkhk

24、h)2()2(2) 1()(222kkhkhkh)2()()2(2) 1()(kkkhkhkh)2()()()()(1221khkhkhkhkh)2()()(11khkhkh)()2(32131)(1kkhkk）（)2()(432)2()(31)(1kkkkkhkk）（信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-484848页页页电子课件0 )2(211 , 0 )2(32) 1(310 0)(kkkkhkkk信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-494949页页页电子课件 阶跃响应阶跃响应 当当LTILTI离散系统的激励为单位阶跃序列时离散系

25、统的激励为单位阶跃序列时 时，系统的时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应称为单位阶跃响应或阶跃零状态响应称为单位阶跃响应称为单位阶跃响应或阶跃响应，用响应，用 表示。若已知系统的差分方程，那么利用表示。若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求得系统的单位阶跃响应。经典法可以求得系统的单位阶跃响应。 类似地类似地 有有)(k)(kg0)()()(jkijkhihkg0)()()(jkijkik) 1()()()(kkkk) 1()()()(kgkgkgkh信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-505050页页页电子课件例：求如图所示离散系统的单位阶响应例：求如图所示

26、离散系统的单位阶响应（1）经典法）经典法 系统的差分方程为：系统的差分方程为： 根据阶跃响应的含义，根据阶跃响应的含义， 满足方程满足方程)()2(2) 1()(kfkykykyDD)(kf)(ky) 1( ky)2( ky12)(kg)()2(2) 1()(kkgkgkg信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-515151页页页电子课件初始状态初始状态 上式可写为上式可写为得：得：差分方程的特征根：差分方程的特征根：方程的特解解为：方程的特解解为： 则系统阶跃响应为则系统阶跃响应为将初始值将初始值 代入，得代入，得 ，则，则0)2() 1(gg)()2(2) 1()

27、(kkgkgkg1)0()2(2) 1()0(ggg2) 1 () 1(2)0() 1 (ggg2121，21)(kgp0,21)2() 1()(21kCCkgkk2) 1 (, 1)0(gg34,6121CC)(21)2(34) 1(61)(kkgkk信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-525252页页页电子课件（2 2）利用单位阶跃序列）利用单位阶跃序列 已知系统的单位序列响应为：已知系统的单位序列响应为： 系统的阶跃响应为：系统的阶跃响应为：)()2(32) 1(31)(kkhkk)(21)2(34) 1(61)()2(32) 1(31)()2(32) 1(

28、31)(0000kkkihkgkkkiikiikiikiiki）信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-535353页页页电子课件常用的几何数列求和公式：1.2.3.1 ,110aaajj12121k1 1 11 1 221kkakkaaaaakkkjj0 1 11 11 10kakaaaakkjj信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-545454页页页电子课件4.5.6.7.1 ,111aaaakkjj0 ,2) 1(0kkkjkj121221 2) 1)(21kkkkkkjkkj0 6) 12)(1(02kkkkjkj信号与系统信号与系

29、统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-555555页页页电子课件 3.3 卷积和 本节讨论离散系统对任意输入的零状态响本节讨论离散系统对任意输入的零状态响应应一、卷积和一、卷积和 在在LTILTI连续时间系统中，把激励信号分解连续时间系统中，把激励信号分解为一系列冲激函数，求出各冲激函数单独作用为一系列冲激函数，求出各冲激函数单独作用于系统时的冲激响应，然后将这些响应相加就于系统时的冲激响应，然后将这些响应相加就得到对于该激励信号的零状态响应。这个相加得到对于该激励信号的零状态响应。这个相加的过程表现为求卷积积分。的过程表现为求卷积积分。信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学

30、院第第第1-1-1-565656页页页电子课件 将离散信号分解为单位序列之和，利用系统的单将离散信号分解为单位序列之和，利用系统的单位序列响应求激励信号作用于系统的零状态响应，这位序列响应求激励信号作用于系统的零状态响应，这个过程表现为求卷积和。个过程表现为求卷积和。 任意离散时间序列任意离散时间序列 可表示为：可表示为：), 2 , 1 , 0 , 1, 2,)( kkf iikifikifkfkfkfkfkfkf)()()()()2()2() 1() 1 ()()0()11() 1()2()2()(信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-575757页页页电子课件

31、 如果如果LTILTI系统的单位序列响应为系统的单位序列响应为 ，那么，由线，那么，由线性系统的齐次性和时不变系统的移位不变性可知，系性系统的齐次性和时不变系统的移位不变性可知，系统对统对 的响应为的响应为 。则序列则序列 作用于系统所引起的零状态响应作用于系统所引起的零状态响应 应为应为 )()()()()()( )()( ikhifikifikhikkhk)(kh)()(ikhif)()(ikif)(kf)(kyzs izsikhifikhifkhfkhfkhfkhfkhfky)()()()()2()2() 1() 1 ()()0()11() 1()2()2()(信号与系统信号与系统西安工

32、业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-585858页页页电子课件 卷积和也简称为卷积，通常用卷积和也简称为卷积，通常用 表示，即表示，即 LTI系统对于任意激励的零状态响应是激励系统对于任意激励的零状态响应是激励 与系与系统单位序列响应统单位序列响应 的卷积和。的卷积和。 一般地，若有两个序列一般地，若有两个序列 ，其卷积和为，其卷积和为”“idefzsikhifkhkfky)()()()()()(kf)(kh02121)()()()()(idefikfifkfkfkf)()(21kfkf与信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-595959页页页电子课件例：如例：

33、如 求求解：由卷积的定义式，考虑到解：由卷积的定义式，考虑到 得得根据根据 的定义，的定义，故故kkkfkfkkfk),()(, 1)(),()5 . 0()(321)()()2()()() 1 (3121kfkfkfkf1)(2ikfiiikfkf1)()5 . 0()()(21)(i0i0i25 . 011)5 . 0()()(021iikfkfkkkfkfk , 21)()5 . 0()()(21信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-606060页页页电子课件（2）由卷积和的定义故显然，上式中k0，故应写成：iiikikfkf)()()5 . 0()()(31

34、kiiki000)5 . 0(1 25 . 01)5 . 0(1)5 . 0()()(11031kkkiikfkf)()5 . 0(1 2)()()5 . 0()()(131kkkkfkfkk信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-616161页页页电子课件二、卷积和的图示 在计算卷积和时，正确地选定参变量在计算卷积和时，正确地选定参变量k k的适用的适用区域以及确定相应的求和上限和下限是十分关键区域以及确定相应的求和上限和下限是十分关键的步骤，图示法也是求简单序列卷积和的有效方的步骤，图示法也是求简单序列卷积和的有效方法。法。 用作图法计算序列卷积和的有效方法。用作

35、图法计算序列卷积和的有效方法。02121)()()()()(idefikfifkfkfkf信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-626262页页页电子课件例：如有两个序列例：如有两个序列其余 0210, 1)(1, ,kkkf其余， 03210 , 1)(2, ,kkfo123412123k)(1kf12312ok)(2kf3021)3()()3(iififf)()()(21kfkfkf信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-636363页页页电子课件 （1 1）将序列）将序列 的自变量换为的自变量换为i i，序列，序列 的图形如图所示。的

36、图形如图所示。（2 2）将）将 反转后，得反转后，得 ，如图所示。，如图所示。 )()(21kfkf、)()(21ifif、)(1ifio12341212312312oi)(2if)(2if)(2if12312oi)(2if112oi)(2if43信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-646464页页页电子课件)(1ifio1234121231k)1(2if0k1k)(2if)(1ifio123412123)(1ifio123412123)1 (2if)(1ifio1234121232k)2(2if0)(kf1)(kf3)(kf6)(kf信号与系统信号与系统西安工业

37、大学北方信息工程学院第第第1-1-1-656565页页页电子课件)(1ifio123412123)(1ifio123412123)(1ifio12341123)(1ifio12341233k)3(2if)4(2if4k5k)5(2if6k5 6)6(2if6)(kf5)(kf3)(kf0)(kf信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-666666页页页电子课件kiikfifkfkfkf02121)()()()()()(1ifio123412123)3(2if610131211)0()3() 1 ()2()2() 1 ()3()0()3()()3(21212121302

38、1ffffffffififfi信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-676767页页页电子课件)(1kf)(2kf)0(1f) 1 (1f)2(1f)3(1f)0(2f) 1 (2f)2(2f)3(2f) 0() 0(21ff) 1 ()0(21ff)2()0(21ff)3()0(21ff)0() 1 (21ff) 1 () 1 (21ff)2() 1 (21ff)3() 1 (21ff) 0() 2(21ff) 1 ()2(21ff)2()2(21ff)3()2(21ff)0()3(21ff) 1 ()3(21ff)2()3(21ff)3()3(21ff求卷积和的

39、序列阵列表求卷积和的序列阵列表信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-686868页页页电子课件列表法求解例列表法求解例)(1kf)(2kf)0(1f) 1 (1f)2(1f)3(1f)0(2f) 1 (2f)2(2f)3(2f)4(2f123011111111102222033330000000 5,3,00,1,3,6,6,)()(21kkfkf信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-696969页页页电子课件三、卷积的性质 离散信号卷积和的运算也服从某些代数运算规则。离散信号卷积和的运算也服从某些代数运算规则。 交换律交换律 分配律分配

40、律 结合律结合律)()()()(1221kfkfkfkf)()()()()()()(3121321kfkfkfkfkfkfkf)()()()()()(321321kfkfkfkfkfkf信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-707070页页页电子课件)(1kh)(2kh)(kf)(ky)()()(21khkhkh)(1kh)(2kh)(1kh)(2kh)()()(21khkhkh)()()(12khkhkh信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-717171页页页电子课件 如果序列之一是单位序列，由于如果序列之一是单位序列，由于 仅当仅当k

41、为为0时等于时等于1，不为不为0时全为时全为0，因而有：，因而有： 即序列即序列 与单位序列与单位序列 的卷积和就是序列的卷积和就是序列 本身本身 将上式推广，将上式推广， 与移位序列与移位序列 的卷积和的卷积和有交换律，有有交换律，有)(k)()()()()()()(kfikfikfkkkfi)(kf)(k)(kf)(kf)(1kk )()()()()(111kkfkikifkkkfi)()()()()(111kkfkfkkkkkf)()()()()(211121kkkfkkkkfkkkkf信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-727272页页页电子课件 例：如图

42、的复合系统由两个子系统级联组成，已知子例：如图的复合系统由两个子系统级联组成，已知子系统的单位序列响应分别为系统的单位序列响应分别为 ，求复合系统的单位序列响应求复合系统的单位序列响应 。 )()(),(21kbkhkakhkk）)(kh)(kxzs)(1kh)(2kh)(kf)(kh)(kxzs)(kyzs信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-737373页页页电子课件 解：根据单位序列响应的定义，复合系统的单位序解：根据单位序列响应的定义，复合系统的单位序列响应列响应 是激励是激励 时系统的零状态响应，时系统的零状态响应，即即 令令 ，则子系统，则子系统1 1的

43、零状态响应为：的零状态响应为： 当子系统当子系统2 2的输入为的输入为 时，子系统时，子系统2 2的零状态响应的零状态响应亦即复合系统的零状态响应为：亦即复合系统的零状态响应为：)()()()()()(111khkhkkhkfkxzs)(kh)()(kkf)()(khkyzs)()(kkf)(kxzs)()()()()()(212khkhkhkxkhkyzszs信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-747474页页页电子课件复合系统的单位序列响应为：复合系统的单位序列响应为： 考虑到当考虑到当 时，时， 时时 以及在以及在 区间区间 当当 时时 当当 时时 iiki

44、ikbiakhkhkh)()()()(21）0ikii , 0)(0)(ikki 01)()(ikiba ba kkikbkbkh) 1(1)(0ababbababbabbakbkakhkkkkkiikkiikikk1110011)()()(信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-757575页页页电子课件显然上式仅在显然上式仅在k0k0成立，故得：成立，故得：通常利用单位序列来简便求移位序列的卷积和。通常利用单位序列来简便求移位序列的卷积和。bakbkbakababkbkakhkkkkk , )() 1(),()()()(11) 3()2() 3()() 1()5(

45、)2()()()5()()2()()5()2(kkkkkkkkkkkkkkk信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-767676页页页电子课件例：如图所示的离散系统，求系统的全响应。例：如图所示的离散系统，求系统的全响应。已知初始状态已知初始状态 激励激励解：该系统的差分方程为：解：该系统的差分方程为：61)2(, 0) 1(yy)() 1()()cos()(kkkkfk)(kf)(kyDD12)()2(2) 1()(kfkykyky信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-777777页页页电子课件（1 1）求零输入响应）求零输入响应根据零输

46、入响应的定义，它满足方程根据零输入响应的定义，它满足方程由初始状态由初始状态 得初始条件：得初始条件：对应特征方程的特征根为对应特征方程的特征根为 ，故有，故有将初始条件代入得零输入响应为：将初始条件代入得零输入响应为：0)2(2) 1()(kykykyzizizi61)2()2(, 0) 1() 1(yyyyzizi31) 1(2)0() 1 (31)2(2) 1()0(ziziziziziziyyyyyy2121、kzikziziCCky)2() 1()(210,)2(92) 1(91)(kkykkzi信号与系统信号与系统西安工业大学北方信息工程学院第第第1-1-1-787878页页页电子课件（2 2）求单位序列响应和零状态响应）求单位序列响应和零状态响应根据单位序列响应的定义，系统的单位序列响应根据单位序列响应的定义，系统的单位序列响应 满足满足初始状态初始状态 如前例中求法得：如前例中求法得：系统的零状态响应等于激励系统的零状态响应等于激励 与单位序列响应与单位序列响应 的的卷积和，即卷积和，即)(kh)()2(2) 1()(kkhkhkh0)2() 1(hh)()2(32) 1(31)(kkhkk)(kf)(kh)() 1()()2(32)() 1()() 1(31)() 1()()2(32) 1(31)()()(kkkkkkkfkhkykkkkkkkzs信号与系统信号