2005线性代数考研题

1、一、填空题：（1）设均为3维列向量，记矩阵 ， 如果，那么 2 .【解】 由题设，有 =，于是有 （2）设行向量组，线性相关，且，则a= .【解】 由题设，有 , 得，但题设，故二、选择题：（1）设矩阵A= 满足，其中是A的伴随矩阵，为A的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为(A) . (B) 3. (C) . (D) . 【解】 由及，有，其中为的代数余子式，且或 而，于是，且 （2）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . 【解】 实际上是考虑，当线性无关时，向量组，何时线性无关的问题。由结论知，当行列式

2、时，向量组线性无关。（3）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则(A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得. (C) 交换的第1列与第2列得.(D) 交换的第1行与第2行得. 【解】 由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 ，于是 ，即 ,可见应选(C).注意：结论.（4）设A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA，则B-C为(A) E. （B）-E. （C）A. (D) -A 【解】 由B=E+AB,C=A+CA，知 (E-A)B=E, C(E-A)=A,可见，E-A

3、与B 互为逆矩阵，于是有 B(E-A)=E.从而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而E-A可逆，故 B-C=E. 应选(A).三、计算题（1）（本题满分9分）已知二次型的秩为2.（I） 求a的值；（II） 求正交变换，把化成标准形；（III） 求方程=0的解.【解】 （I） 二次型对应矩阵为 ，由二次型的秩为2，知 ，得a=0.（II） 这里， 可求出其特征值为.解 ，得特征向量为：，解 ，得特征向量为：由于已经正交，直接将，单位化，得：令，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：=（III） 由=0，得（k为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=，其中c为任意常数.（2）（

4、本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【解】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且（1）若k, 则r(B)=2, 于是r(A), 显然r(A), 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：,不妨设,则其通解为 为任意常数.（3）（本题满分13分）已知齐次

5、线性方程组 （i） 和（ii） 同解，求a,b, c的值.【解】 法一、方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换 ，从而a=2. 此时，方程组（i）的系数矩阵可化为 ，故是方程组（i）的一个基础解系.将代入方程组（ii）可得 或当时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 ，显然此时方程组（i）与（ii）同解.当时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 ，显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同. 综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程

6、组（i）与（ii）同解.法二、求a也可利用行列式，得a=2.本题也可这样考虑：方程组必存在无穷多解，化系数矩阵为阶梯形，可确定a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2，再对两组数据进行讨论即可.（4）（本题满分13分）设为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为矩阵.(I) 计算，其中；（II）利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.【解】 (I) 因 ，有 = = =.（II）矩阵是正定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵D合同于矩阵又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.因矩阵M为对称矩阵，故为对称矩阵. 对及任意的，有 故为正定矩阵.【评注】 判定正定矩阵的典型方法有：（1）用顺序主子式全大于0；（2）用特征值全大于零；（3）用定义. 对于抽象矩阵，一般用后两个方法.（5）（本题满分13分）设A为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量，且满足，.(I) 求矩阵B, 使得；（II）求矩阵A的特征值；（III）求可逆矩阵P, 使得为对角矩阵.【解】 (I) ,可知 （II）因为是线性无关的三维列向量，可知矩阵可逆，所以，即矩阵A与B相似，由此可得矩阵A与B有相同的特征值.由 ，得矩阵B的