一阶常微分方程习题一

1、一阶常微分方程习题(一)1.曳 =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 dx解： =2xdx两边积分有：ln|y|=x2+cy 2y=e x +ec =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为 y= cex2 ,x=0 y=1时c=12 特解为y= e x .2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y2 dx=-(x+1)dy% dy=1 dxy x 1两边积分：-=-ln|x+1|+ln|c|yy=ln | c(x 1) |另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1 时 c=e特解：y=ln | c(x -

2、 1) |3. dy dx1，y 2xy x y解:原方程为:,2dy 1ydx y1dy=T dxx x两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=01 一 y解：原万程为： dy=-yx - 1dxx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5. ( y+x) dy+(x-y)dx=0解：原方程为:dx x贝U =u+x 代入有: dx dxdu= 1dxxln(u 2 +1)x 2 =c-2arctgu即 ln(y 2 +x2 )=c-2arctgdy .-226. xy+ -J x y =0dx解：原方程为:

3、dy _ y +dx xy 2 /(x)则令【=uxdy =u+ x dudxdx11 - u2du=sgnx dx xarcsin =sgnx ln|x|+c x7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为:dy _ dxtgy ctgx两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=c cos x cos x所以原方程的通解为另外y=0也是原方程的解，而 c=0时，y=0.sinycosx=c.y 2 3 x8. =0dx y解：原方程为:.ydy e3x edx y3 x-y2 e -3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：=ln dx x

4、x令y=u，则xdy =u+ x dudxdxu+ x - =ulnu dxln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln =cy.10.一 dx解：原方程为:dy =e dx11ey =cedy=(x+y) dx解:dy令 x+y=u,贝 U = dxdu1 dx12.dydx13.电-1=u2 dx12- du=dx1 uarctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12(x y)解： 令 x+y=u,贝U dy-=叫一-1 dx dxdu 11-1二 Tdx uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.dy_ _ 2x -y 1dx x - 2 y 1解：原方程为:(x-

5、2y+1 ) dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2 -y)-dx 2 +x=cxy-y 2 +y-x 2 -x=cdy x - y 514:1=dx x -y -2解：原方程为：(x-y-2 ) dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d( 1 y 2 +2y)-d( 1 x2 +5x)=0 22y2 +4y+x 2 +10x-2xy=c.15: =(x+1) 2 +(4y+1) 2 +8xy -1dx解：原方程为:dy ，一=(x+4y) dx2+3令 x+4y=u则曳=工四dx 4

6、dx1 du 1-=u 2 +34 dx 4du =4 u2 +13dxu= tg(6x+c)-12tg(6x+c)= (x+4y+1).316:证明方程-=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程: y dx1) y(1+x 2 y 2 )dx=xdy,22x dy 2 x y2) 一 =22y dx 2 - x y证明： 令 xy=u,贝U xdy-+y= du- dx dxdy1 duu-则上=-人有：dxx dx xx du=f(u)+1 u dx1du= - dxu( f (u) 1) x所以原方程可化为变量分离方程。1) 令 xy=u 贝U '=工史-

7、(1)dx x dx x原方程可化为：=1+ (xy ) 2 (2)dx x1 duuu2将1代入2式有：-=(1+u )x dx xxu= u 22 +cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设(x +y )为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y' (x-x )+ y则与x轴，y轴交点分别为：Y0,x= Xo - y= y 0 - Xo y y1则 x=2 x0 = x 0 -红 所以 xy=c yi18 .求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中a =-4解：由题意得：V' = dy= dxx y xln|y|=ln|xc| y=cx.