D11_5对坐标曲面积分

1、目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 目录 上页 下页 返回 结束 其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧

2、 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xOy 面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)( ,)(目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例引例: 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosn

3、vcosvSnvSnvvS目录 上页 下页 返回 结束 对一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS对稳定流动的不可压缩流体的速度场),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进行分析可得iniv( ,)iiiiiivnS )cos,cos,(cosiiiin设, 则 ( ,)iii iS目录 上页 下页 返回 结束 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个任意分割和在局部面元上任意取

4、点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd记作P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2. 定义：定义：目录 上页 下页 返回 结束 引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为zyPddxzQdd Q 在有向曲面 上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd R 在有向曲面 上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分. P 在有向曲

5、面 上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd若记 正侧正侧的单位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 若,1kiiki 1之间无公共内点, 则i且(2) 用 表示 的反向曲面, 则SA dd dASASiSAdyxRxzQzyPddddddSnAdSA d目录 上页 下页 返回 结束 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理: 设光滑曲面yxDyxyxz

6、z),( , ),(:取上侧,),(zyxR是 上的连续函数, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd证明证明:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上侧,),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(目录 上页 下页 返回 结束 把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式概括为：将曲面的方程表示为二元显函数,然后代将积分曲面投影到与有向面积元素(如dxdy)由曲面的方向,即曲面的侧确定二重积分的正负号.二投、二投、yxzyxRdd),( ( , , )R x y

7、),(yxzyxdd一代、一代、三定号三定号xyD被积函数,将其化成二元函数；中两个变量同名的坐标面上(如xoy 面)；代代:投投:定号定号:目录 上页 下页 返回 结束 若,),( , ),(:zyDzyzyxx则有( , , )d dP x y zy z ( ,)Py,z),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy则有xzzyxQdd),( ( , , )Q xz),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明说明: 如果积分曲面 取下侧, 则yxzyxRdd),( ( , , )R x y),(yxzyxdd注意注意: :对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.xyD

8、yzDxzD(上正下负)目录 上页 下页 返回 结束 取下侧00 ()d d2x yDaxx y 例例1. 计算2()dd()d d()d dxyyzyzzxzxxyyxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: : 的顶部 ),(:2221aaayxz取上侧 的底部 ),(:2222aaayxz100 ()d d2x yDaxxyd dx yDaxy3axzyO将有向曲面 分为以下六个面： 同理343dd;yzDayza563.a123564目录 上页 下页 返回 结束 解解: 把 分为上下两部分2211:yxz根据对称

9、性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正确:例例2. 计算曲面积分,ddyxzyx其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分. zyx1O12yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz2221xyz目录 上页 下页 返回 结束 zyx1O12yxDyxDyxyxyxdd 1222222sincos1x yD13201d15220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx dd 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算d dd dd d ,xz x yxy y zyz z x x = 0 , y

10、= 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的空间区域oxyz解解:有向曲面 分成四个部分：1:0,y取左侧；取下侧；取后侧；取上侧；1 2 3 4 其中 是平面的整个边界曲面的外侧.:1,xzDxz2:0,z:1,xyDxy:1,yzDyz3:0,x4:1,zxy :01,01,xyDxyx 目录 上页 下页 返回 结束 1d dd dd d0;xz x yxy y zyz z x同理2d dd dd d0;xz x yxy y zyz z x3d dd dd d0;xz x yxy y zyz z x4d d(1)d dxyDxz x yxxyx y1100d(1)dxx

11、xxyy241 1在上，(因 在 xOy ,yOz面上的投影为0,而在xOz面上z=0)14在上，目录 上页 下页 返回 结束 中的所有字母按顺序代换后原式不变.同理41d d;24xy y z d dd dd dxz x yxy y zyz z x18说明说明： 对坐标的曲面积分的对称性被积表达式具有轮换对称性,即将被积表达式zxy积分曲面及其侧具有对称性,这是指41d d24yz z x曲面在各坐标面上的投影区域均相同，且配给的符号也相同.目录 上页 下页 返回 结束 上Szzyx2cosdd下Szzyx2cosdd例例4. 设S 是球面1222zyx的外侧 , 计算SxxzyI2cosd

12、d2解解: 利用轮换对称性, 有Sxxzy2cosdd2SSzyxyxz22cosddcosddSzzyxI2cosdd12220d1cos1 12220d14cos1 1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d220目录 上页 下页 返回 结束 四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcosco

13、scos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画目录 上页 下页 返回 结束 令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnSSA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为解解:Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .SE dSnEdSrrdrrq3目录 上页 下页 返回 结束 yxz111例例6. 设,1:22yxz是其外法

14、线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd221200d(1)d 2yxDyxyxdd)1(22n目录 上页 下页 返回 结束 221cosyxx例例7. 计算曲面积分其中 解解: 利用两类曲面积分的联系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosOyxz2 原式 =)( x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx 目录 上页 下页 返回 结束 原式 =)( x)(2xzyxzddOyxz2)( xxyxD222

15、41)(yx 原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(222122222120(cos)d20d8yxdd得代入将,)(2221yxz目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结定义定义:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系xziiiiSQ),( 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系联系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:一个与的方向有

16、关, 上述联系公式是否矛盾?两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化目录 上页 下页 返回 结束 当yxDyxyxzz),( , ),(:时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式 .目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P205 1 (1), (3),(4), (6); 2第七节 目录 上页 下页