选修2-1数学复习资料

1、 数学第二章知识点一：圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。平面内，到一定点的距离与它到一条定直线（不经过定点）的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数叫做离心率。e（0，1）时轨迹是椭圆；e=1时轨迹是抛物线；e（1，+）时轨迹是双曲线。知识点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质1椭圆：(1)定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点 叫焦点(2)标准方程 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；(3)椭圆的的简单几何性质: 范围：， 对称性：关于x

2、轴、y轴和原点对称 焦点，顶点、， 长轴长=，短轴长=，焦距， 离心率是，准线方程是；2 / 182双曲线(1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲 线,这两个定点叫双曲线的焦点(2)标准方程 当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.(3)双曲线的简单几何性质 范围：，； 对称性：关于x轴、y轴和原点对称 焦点，顶点， 实轴长=，虚轴长=，焦距； 离心率是，准线方程是； 渐近线：.3抛物线(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的 焦点，

3、定直线l叫做抛物线的准线(2)标准方程 四种形式：，。(3)抛物线的几何性质 范围：， 对称性：关于x轴对称 焦点，顶点， 对称性：关于x轴对称 离心率：，准线方程是；知识点三：直线和圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离。1直线与圆锥曲线C的位置关系判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。当a0时，若0，则与C相交；若=0，则与C相切；若0，则有与C相离。当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公共点若C为双曲线，则平行于双曲线的渐

4、近线；若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。2直线被圆锥曲线截得的弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，设，则弦长公式：当时, 弦长公式还可以写成：注意：利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理。知识点四：曲线的方程和方程的曲线的关系一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上所有点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上. 那么，方程叫做曲线的方程；曲线叫做方程的曲线.知识点五：求曲线的方程1坐

5、标法的定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2坐标法求曲线方程的步骤：建系设点点满足的几何条件坐标化整理化简成最简形式证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）3求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等。规律方法指导1三种圆锥曲线定义、标准方程及简单几何性质的对比椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1、F2的距离之和为定值1到两定点F1、F2的距离之差的绝对值的为定值2a（2a|F1F2|）的点的轨迹2a（02a|F1F2|）的点的轨迹2

6、与定点和定直线的距离之比为定值e的点的轨迹（0e1）2与定点和定直线的距离之比为定值e的点的轨迹（e1）与定点和定直线的距离相等的点的轨迹图形方程标准方程参数方程（参数为离心角）（参数为离心角）（t为参数）范围，中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点（a，0）（a，0），（0，b），（0，b）（a，0），（a，0）（0，0）对称轴x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2bx轴，y轴；实轴长2a，虚轴长2bx轴焦点F1（c，0），F2（c，0）F1（c，0），F2（c，0）焦距离心率e=1准线渐近线 2有关圆锥曲线综合题类型(1)求圆锥曲线方程一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，

7、再定量”的步骤：定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0)定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。此处注意n个未知数，列够n个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。注意：求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决

8、好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法(2)求取值范围或最值函数方法-将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。方程与不等式组-n个未知数，列够n个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等式的方法：利用几何性质求参数范围；利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同3解析几何问题中，解决运算问题的几点措施：解析几何图形结构、问题结构多，且易于发散，一旦形成为图形或知识点的综合，往往最具运算量、最为繁难复杂因此，有时即便是明确了解法甚至较细的步骤，解题过程当中

9、也常常被卡住，算不到底、算不出正确结果也是常有的事。因此，如何解决运算量问题，对于解题成功与否至关重要解决运算问题，可以有以下措施：(1)不断提高运算和恒等变形能力。注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问题的能力，避免 思维定势，提高思维灵活性；具体审题中多收集些信息，综观全局，权衡利弊，再决定解题策略； 加强训练运算基本功，不断提高恒等变形的能力(2)善于运用平面几何性质来解题问题。解题处理方式不同，可能繁简大相径庭，若考虑问题的几何特 征，充分利用图形几何性质，对于解决运算量会大有裨益，这一点对于圆锥曲线综合题的处理很重 要(3)注意解析法与各种数学方法结合。当所求点的坐标直接解决有

10、困难时，往往引进参数或参数方程起 到解决问题的桥梁作用，引进合适的参数，进行设而不求的计算方式，在解析几何中是普遍的，但 应注意不断积累消参经验；相应元替换法也是常用的策略第三章知识点一：平面的法向量定义：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量。注意：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。（1）线线平行设直线，的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即。（2）线面平行设直线的方向向量是，平面的向量是

11、，则要证明，只需证明，即。根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。（3）面面平行由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明。知识点三：用向量方法判定空间的垂直关系

12、空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。（1）线线垂直设直线，的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即。（2）线面垂直设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明。根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。（3）面面垂直根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。证明两个平面的法向量互相垂直。知识点四：利用向量求空间角（1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则。注意：两异面直线所成的角的范围为（00,900。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完

13、全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。（2）求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有。（3）求二面角如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则AEB为二面角的平面角，AEB+APB=180°。若分别为面，的法向量，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。知识点五：利用向量求空间距离（1）空间两点间距离公式：设点，则

14、（2）两异面直线距离的求法如图，设，是两条异面直线，是与的公垂线段AB的方向向量，又C，D分别是，上任意两点，则与的距离是。（3）点面距离的求法：如图，BO平面，垂足为O，则点B到平面的距离就是线段BO的长度。若AB是平面的任一条斜线段，则在RtBOA中，。设平面的法向为，则点B到平面的距离为。注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。规律方法指导1平面法向量的求法（1）平面法向量的确定通常有两种方法： 几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直； 几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量。（2）在空间直角坐标系中，求出一个平面的法向量的坐标，一般

15、步骤如下： 设出平面的法向量为。 找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标， ，。 根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 解方程组，取其中的一个解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程 组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。2用向量语言表述线与面之间的位置关系设两不同直线，的方向向量分别为，两不同平面，的法向量分别为，则线线平行：，；线线垂直：；线面平行：在平面外，；线面垂直：，；面面平行：，；面面垂直：。关键：用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，通过讨论向量的共线或垂直，确定线面之间的位置关系。3利用向量求空间角的方法（1）线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。（3）二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）