正弦定理和余弦定理的实际应用

1、1 教学过程一、课堂导入问题:正弦定理和余弦定理的实际应用的范围有哪些? 2二、复习预习正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决三角形的问题,若对余 弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。3三、知识讲解考点 1仰角与俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平 视线下方的角叫俯角 (如图 . 4考点 2方位角与方向角方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 (如图 .方向角:相对于某一正方向的水平角 (如图 :北偏东 °:指北方向

2、顺时针旋转 °到达目标方向.东北方向:指北偏东 45°或东偏北 45°.其他方向角类似.5四、例题精析考点一长度与高度问题例 1某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40m 以后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为 30°, 求塔高.【规范解答】 在 BCD 中, CD =40, BCD =30°, DBC =135°,由正弦定理得, CD sin DBC =BDsin BCDBD =40sin30°sin135°=20在 Rt BED 中, BDE =180°-135°

3、-30°=15°. BE =BD sin15°= 6-24=10(-1 .在 Rt ABE 中, AEB =30°, AB =BE tan30°=103(3-3(m.故所求的塔高为 103-3m.【总结与反思】 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,三角形可解,则至少要知道这个三角形的 一条边长.解题中注意各个角的含义。考点二方向与角度问题例 2 在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为 15°,如图所示,向山顶前进 100 m 后.又从 B 点测得斜度为 45°,设建筑物的高为

4、50 m.求此山对于地平面的斜度 的余弦值. 【规范解答】 在 ABC 中, BAC =15°, CBA =180°-45°=135°, AB =100 m,所以 ACB =30°.由正弦定理,得 100sin 30°=BC sin 15°,即 BC =100sin 15°sin 30°.在 BCD 中,因为 CD =50, BC =100sin 15°sin 30°, CBD =45°, CDB =90°+,由正弦定理,得 50sin 45°=100si

5、n 15°sin 30°sin 90°+ 解得 cos =-1. 因此,山对地面的斜度的余弦值为 -1.【总结与反思】 根据这些角把需要的三角形的内角表示出来,注意不要把角的含义弄错,不要把这些角与要求解的 三角形的内角之间的关系弄错.考点三方案设计问题例 3 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小 王设计的底座形状分别为 ABC 、 ABD ,经测量 AD =BD =7米, BC =5米, AC =8米, C = D .(1求 AB 的长度;(2若不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用最低 (请说

6、明理由 . 【规范解答】 (1在 ABC 中,由余弦定理得 cos C = AC 2+BC 2-AB 22AC ·BC82+52-AB 2 2×8×5,在 ABD 中,由余弦定理得 cos D = AD 2+BD 2-AB 22AD ·BD=72+72-AB 2 2×7×7由 C = D 得 cos C =cos D .解得 AB =7,所以 AB 的长度为 7米. (2小李的设计使建造费用最低. 理由如下:易知 S ABD =12·BD sin D , S ABC =12AC ·BC sin C ,因为 AD &

7、#183;BD >AC ·BC ,且 C = D ,所以 S ABD >S ABC .故选择 ABC 的形状建造环境标志费用较低.【总结与反思】 根据这些角把需要的三角形的内角表示出来,解题中注意各个角的含义。五、课堂运用【基础】1、一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60°方向,行驶 4 h 后,船到 B 处,看到 这个灯塔在北偏东 15°方向,这时船与灯塔的距离为 _ km. 【规范解答】 如图所示,依题意有 AB =15×4=60, MAB =30°, AMB =45°,

8、在 AMB 中,由正弦定理得 60 sin 45°BMsin 30°,解得 BM =30(km.2、 甲、乙两楼相距 20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°,则甲、乙两楼的高分别是 _.【规范解答】 如图,依题意有甲楼的高度为 AB =20·tan 60°=20米 ,又 CM =DB =20(米 , CAM =60°,所以AM =CM1tan 60°2033米 ,故乙楼的高度为 CD =3-333 3( 米 .【巩固】1、 有一长为 1的斜坡,它的倾斜角为 20°,现高

9、不变,将倾斜角改为 10°,则斜坡长为 (A . 1 B . 2sin 10°C . 2cos 10°D . cos 20°1617 【规范解答】 如图, ABC =20°, AB =1, ADC =10°, ABD =160°. 在 ABD 中,由正弦定理得 AD sin 160°=AB sin 10°, AD =AB sin 160°sin 10°sin 20°sin 10°2cos 10°.2、 如图某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75&

10、#176;,距离为 6n mile ,在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30°, 距离为 8,货轮由 A 处向正北航行到 D 处时,再看灯塔 B 在南偏东 60°,求:(1A处与 D 处的距离;(2灯塔 C 与 D 处的距离. (结果精确到 1n mile 18【规范解答】 (1在 ABD 中, ADB =60°, B =45°,由正弦定理得 AD =AB sin B sin ADB 12223224(n mile.(2在 ADC 中,由余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC cos30°,解得 CD =14(n

11、mile.即 A 处与 D 处的距离为 24n mile,灯塔 C 与 D 处的距离约为 14n mile.19【拔高】1、 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为 45°,距离为 10 n mile 的 C 处, 并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向, 以 9 n mile/h的速度向某小岛靠拢, 我海军舰艇立即以 21 n mile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.20【规范解答】如图所示，根据题意可知 AC10，ACB120° ，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮

12、相遇，则 AB21t，BC9t，在ABC 中，根据余弦定理得 AB2AC2BC22AC· BC· cos 120° ，所以 212t210292t2 1 2 5 2 2 2× 10× 9t× ，即 360 t 90 t 100 0 ，解得 t 或 t ( 舍去 所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 2 3 12 3 h此时 AB 14，BC6. 3 6× 2 BC AB 3 3 在ABC 中，根据正弦定理得 sin 120° ，所以 sinCAB 14 14 ， sinCAB 即CAB21.8°或CAB158.2

13、°(舍去 即舰艇航行的方位角为 45° 21.8° 66.8° . 2 所以舰艇以 66.8° 的方位角航行，需3 h 才能靠近渔轮 21 2、某单位在抗雪救灾中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距 6000m 的 C、D 两地(A，B，C， D 在同一平面上，测得ACD45° ，ADC75° ，BCD30° ，BDC15° (如图，假设考虑到电线的自然下垂的施 工损耗等原因，实际所需电线长度大约是 A、B 距离的 1.2 倍问：施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据： 2 1.4， 31.7， 72.6 22 【规范解答】在ACD 中，CAD180° ACDADC60° ，CD6000，ACD45° ， CDsin45° 根据正弦定理 AD sin60° 2 3CD. 在BCD 中，CBD180° BCDBDC135° ， CD6000，BCD30° ， CDsin30° 2 根据正弦定理 BD sin135° 2 CD. 又在ABD 中，ADBADCBDC90° . 根据勾股定理有，AB AD2BD2 2 1 32CD1