八年级数学解直角三角形（一）华东师大版知识精讲

1、初二数学初二数学解直角三角形（一）华东师大解直角三角形（一）华东师大版版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教学内容： 解直角三角形（一） 1. 测量 2. 勾股定理 3. 锐角三角函数二. 素养目标： 1. 知识与技能： （1）掌握勾股定理的探索证明过程，并会运用它解决已知直角三角形任意两边的长求第三边的问题。 （2）通过实例认识直角三角形的边角关系。理解三角函数的意义，会求一个锐角的三角函数值。 （3）熟记角的三角函数值。304560、 2. 过程与方法： （1）从实际生活需要入手，让学生利用已学过的相似三角形的性质，掌握一些实际生活测量问题的方法。 （2）会运用勾股定理解决简单的实际问

2、题。 3. 情感、态度、价值观 （1）培养初步的数形结合的意识和能力。 （2）培养初步的学数学、用数学的意识与能力。三. 要点提示：（一）测量 1. 物体的高度、物体的影长与竹竿的高度、竹杆的影长的关系 实际上，由于太阳光线是平行光线，我们利用相似的三角形的性质，易知：同一时刻的物体的高度、物体的影长与竹竿的高度、竹竿的影长成正比例。 2. 利用相似三角形的原理，解决测量物体高度问题 实际上，将实际图形按一定的比例缩小后，两者相似。利用相似三角形对应边成比例的性质即可解决测高问题。（二）勾股定理 1. 直角三角形中三边之关系 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，

3、那么一定有 abc222 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2. 直角三角形中，已知任意两边求第三条边 若，则abc222acbbcacab222222， 3. 勾股定理在实际问题中的应用 解决实际问题的关键是通过建立数学模型，把实际问题转化为与直角三角形有关的教学问题。 1. 锐角三角函数的定义 在中，的对边分别为，则：Rt ABCCABC90 ，、abc、 、 的正弦的余弦Asin AacA，cos Abc 的正切的余切Atan AabA，cot Aba 锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切统称为的锐角三角函数。A 2. 特殊角的三角函数值三角函数030456090sin0122

4、2321cos13222120tan03313不存在cot不存在31330 3. 同角三角函数间的关系 （1）平方关系：；sincos221 （2）商数关系：；sincostancossincot， （3）倒数关系：tancot 1 4. 互余两角的三角函数关系 sin()coscos()sin9090， tan()cotcot()tan9090， 5. 利用计算器可求已知锐角的三角函数值，也可由三角函数值求它的对应的锐角。 6. 几个重要结论： （1）锐角三角函数值都是正实数，并且。0101sincosxx， （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。30 （

5、3）正弦、正切的值随着角度的增大而增大，余弦、余切的值随着角度的增大而减小。【典型例题典型例题】 例 1. 为了测量旗杆的高度，准备如下测量工具： 镜子皮尺长 2 米的标杆高 1.5 米的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请你根据你所设计的测量方案回答下列问题： 在你设计方案中，选用的测量工具是_（填序号）。 在图中画出你的测量方案示意图。 你需要测量示意图中哪些数据，并用 a、b、c、d 等字母表示测得的数据。 _ 写出求旗杆高的算式，AB_米。 解： ：如图 ：a， ：ABatan.15 （同学们再想想还有其它办法吗？） 例 2. 如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，将此矩形折叠

6、，使点 A 与点 C 重合（折痕为 EF），求折叠后重叠部分的面积。 命题意图：考查学生综合运用勾股定理解题的能力。 解：设 AC 与 EF 相交于点 O， 则，OAOCEF AC EAEC，12 又BCAD/ /， 1323 而 2490359045，ECFC 设，则DExEAECFCx8 在中，根据勾股定理可得CDED90 ，而DCDEEC222DCAB 4 ，解之得48222xx()x 3 FCxSFC DCCEF8512125410， 即折叠后重叠部分的面积为 10。 思路探究：勾股定理不仅可解决已知两边求第三边，还可利用勾股关系建立方程。方程思想在整个中学数学中占有非常重要的地位，在

7、解题中要加以重视。 例 3. 勾股定理的应用。 （2004河北省）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为_。 命题意图：考查学生运用勾股定理解决实际问题的能力。 解：如图，在中，Rt ABC ，ACB90ACBC12060601406080， 根据勾股定理可得ABACBCmm22226080100() 例 4. （2004济南市）如图，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为 a 和 b，斜边长为 c，图 19-2-13 是以 c 为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形

8、。 图 19-2-12 图 19-2-13 （1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形； （2）用这个图形证明勾股定理； （3）假设图 19-2-12 中的直角三角形有若干个，你能运用图 19-2-12 中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）。 命题意图：考查学生探索证明勾股定理的能力，数形结合在解题中的应用。图 19-2-14 解：（1）用所给三角形可拼成如图 19-2-14 所示的图形，它是一个直角梯形。 （2）Sab abab梯形12122()()() Sabcabc梯形122121222 121222()ababc 整理，得abc22

9、2 （3）拼图方案较多，现给出几种，如图 19-2-15 所示。 例 5. 计算下列各题： 2302604560224530cossincostansinsin 命题意图：考查特殊角的三角函数值代数式的化简。 解：（1）原式232232223222212 3623121262 例 6. （1）如图 19-3-4，求的度数。 ABCBCDABA90835，sinCD 2 3CBD图 19-3-4 （2）如图 19-3-5，在中，。点 D 在 CB 的延Rt ABCCABC9043，tan长线上，且，求的余弦。BDABD图 19-3-5 命题意图：考查学生有针对性地选择使用直角三角形解决问题的能力

10、。 解：（1）在中，Rt ABC ，ABCABCAC9035，sin 故可设，则由勾股定理，得BCkACk35， ，即解之，ABBCAC222835222()()kk 得（负值舍去）。k 2BCk36 在中，由，得Rt BDCtanCBDCDBC2 3633CBD30 （2）在中，Rt ABCCABCACBC9043，tan 故可设，则由勾股定理，ACkBCk43， 得ABACBCkkk2222435()() 又BDABBDkDCBCBDkkk，5358 在中，Rt ACDC90 ADACDCkkk2222484 5()() cosDDCAD2 55 思路探究：当图形中有几个直角三角形时，可根

11、据解题需要有针对性地选择使用。【模拟试题模拟试题】（答题时间：90 分钟） 1. 选择题： （1）边长为 2 的等边三角形的面积为（ ） A. 2B. 1C. D. 32 3 （2）（2004北京市海淀区）在中，若，则ABCC90cosB 32的值为（ ）sin A A. B. C. D. 3323312 （3）如图 19-2-19，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 是 AD 中点，垂足EF AC为 F，则 EF 的长为（ ） A. B. C. D. 58855665图 19-2-19 （4）在中，下列式子不一定成立的是（ ）Rt ABCC90 A. B. tancotBAsinco

12、sABC22 C. D. coscos221ABtancotBA 1 （5）比较的大小关系是（ ）sincostan757575、 A. tancossin757575 B. cossintan757575 C. sincostan757575 D. costansin757575 （6）（2004四川省）如图 19-3-6，已知正方形 ABCD 的边长为 2，如要将线段 BD绕着点 B 旋转后，点 D 落在 CB 的延长线上的 D处，那么等于（ ）tanBAD A. 1B. C. D. 2222 2图 19-3-6 （7）如图 19-2-32，梯形的两条对角线长分别为 17cm 和 10cm

13、，高为 8cm，则梯形的面积为（ ） A. B. C. D. 无法确定842cm1082cm1682cm图 19-2-32 （8）如图 19-2-33，正方形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O，OE、FG、HM 都垂直于AD，垂足分别为 E、G、M，EF、GH、MN 都垂直于 OA，垂足分别为 F、H、N，若的面积等于 1，则正方形 ABCD 的边长为（ ）AMN A. 8B. 16C. 32D. 64图 19-2-33 （9）如果一个等腰直角三角形的面积是 2，则这个直角三角形的斜边长为（ ） A. 2B. 4C. D. 2 24 2 2. 填空题： （10）一个直角三角形的三边长是

14、 6，8，x，则 x=_。 （11）已知菱形的周长为 52cm，两条对角线的长之比为 5：12，则这个菱形的面积为_。cm2 （12）已知矩形的周长为 8cm，对角线长为，则这个矩形的面积为_6cm。cm2 （13）如图 19-2-34，中，是 BC 的四等分点，ABCBAC90DDD123、且，则_。ACBC513，SAD D12图 19-2-34 （14）如图 19-2-35，已知等腰梯形 ABCD 中，AB/DC，且上底长为 9，下底长为 5，腰长为 3，上底在 x 轴上，且其中点是坐标原点，则点 D 的坐标为_，点 B 的坐标为_。图 19-2-35 （15）计算： _；tancoss

15、in6023045 _。24560452302coscoscotsin （16）已知为锐角，且，则_。tan1212sincoscos 3. 解答题： （17）如图 19-3-27，矩形 OABC 的一个顶点在坐标原点，求点 B 和点 C 的坐标。AOx30OA 3AB 1图 19-3-27 （18）如图 19-3-29（1），四边形 ABCD 是一张矩形纸片，现将其折叠，使点 A、C 重合。BAC()045图 19-3-29 先用一张矩形纸片尝试折叠，并在图上画出折痕 EF。 设，求出 y与 x 之间的函数关系式。ACxEFy， 如图（2），当时，求得的函数关系是否和图（1）中求得的函数关系

16、4590式相同？ （19）为了测量学校操场上旗杆的高度，二（5）班数学活动小组的同学进行了如下实践与探索。 （1）实践：根据光的反射定律，利用一面镜子和一条皮尺，设计如图 19-1-14（1）的测量方案。把镜子放在离旗杆（AB）15m 的点 E 处，然后沿直线 BE 后退至点 D，这时恰好在镜子里看到迎风飘扬的红旗顶端 A，再用皮尺量得 DE 的长为 2.4m，观测者的目高CD 为 1.6m，则旗杆的高度为_。图 19-1-14 （2）探索：如图 19-1-14（2），现有可供选用的测量工具：皮尺一条；教学用三角板一副；长为 1.5m 的标杆一根；高度为 1.6m 的测角仪一架。请根据你设计的测量方案，完成下列问题： 你设计的方案中，选用的测量工具是_（填序号）。 在图 14（1）上绘出你