线性代数期末考试试卷答案合集.

1、×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2 分，共 10 分）1311.若05x0 ，则_。122x1x2x302若齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，则应满足。x1x2x303已知矩阵 A，B，C(cij ) s n ，满足 ACCB ，则 A与 B 分别是阶矩阵。a11a124矩阵 Aa21a22的行向量组线性。a31a325 n 阶方阵 A 满足 A23A E0，则A1。二、判断正误（正确的在括号内填“”，错误的在括号内填“×”。每小题 2 分，共 10 分）1.若行列式 D 中每个元素都大于零，则 D 0 。（

2、）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组 a1， a2， ，am 中，如果 a1 与 am 对应的分量成比例，则向量组a1，a2， ，as 线性相关。（）01004.A1 0 00，则A1A。（ ）000100105.若 为可逆矩阵 A 的特征值，则 A1 的特征值为。 ( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共 10 分)1.设 A 为 n 阶矩阵，且 A2，则 A AT（）。 2n 2 n 1 2n 1 42.n 维向量组1， 2，s （3sn ）线性无关的充要条件是（）。 1， 2， ， s 中任意两个向量都线性无关

3、 1， 2， ， s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 1， 2， ， s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 1， 2， ， s 中不含零向量3. 下列命题中正确的是 ( )。 任意 n 个 n 1维向量线性相关 任意 n 个 n 1维向量线性无关 任意 n 1个 n 维向量线性相关 任意 n 1个 n 维向量线性无关4.设 A ， B 均为 n阶方阵，下面结论正确的是( )。若 A， B均可逆，则 AB 可逆 若 A， B 均可逆，则AB 可逆若 AB 可逆，则 AB 可逆 若 AB 可逆，则A，B均可逆5.若1，2， 3，4 是线性方程组 A0的基础解系，则 123 4是A0 的（

4、）解向量 基础解系 通解 A 的行向量四、计算题( 每小题 9 分，共 63 分)1. 计算行列式解·x abcdax bcdabx c。dabcx dx abcdx a b c dbcdax bcdx a b c d x bcdabx cdxabcdbx cdabcx d xabcdbcx d1bcd1bcd1x bcd0x003( x a b c d )bx cd( x a b c d )0x( x a b c d )x1001bcx d000x3012. 设ABA 2B，且A110, 求B。014211522解. (A 2E)B A(A 2E) 1221，B (A 2E) 1A

5、432111223110021343. 设B0110,C0213且矩阵满足关系式 X (C B)'E,求 。0011002100010002a11224. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111,2a , 3。2121a22x1x2x335.为何值时，线性方程组x1x2x32有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多x1 x2x32解时求其通解。 当1且2 时，方程组有唯一解；当2 时方程组无解211当1时，有无穷多组解，通解为0c1 1c2 000112136.设149010, 2, 3, 4. 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向11370317量用该极大无关组线性表

6、示。1007.设 A010 ，求 A 的特征值及对应的特征向量。021五、证明题(7分 )若 A 是n阶方阵，且AAA1，A I 0。其中 I 为单位矩阵。I，证明×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 52.13.ss， nn4.相关5. A 3E二、判断正误1.×2.3.4.5.×三、单项选择题1.2.3.4.5.四、计算题1.x abcdx a b c dbcdax bcdx a b c d x bcdabx cdxabcdbx cdabcx d xabcdbcx d1bcd1bcd( x a b c d ) 1x bcd( x

7、a b c d ) 0x 00( x a b c d )x31bx cd00x01bcx d000x2.211522(A 2E)B A(A 2E) 1221，B (A 2E) 1A4321112233.123410000123，B )'2100C B012(C3210000014321C B '1000100012 100，X EC B'12 10012101210012101214.a1122a1， a2， a31a11 ( 2a 1)2 (2a 2) 当 a1或 a1时，向量组 a1， a2，a3 线性相212821a22关。5. 当1且2 时，方程组有唯一解；当2

8、时方程组无解211当1时，有无穷多组解，通解为0c1 1c2 00016.1213121312134901001420142( a1， a2， a3， a4 )137034100016161031703170013131002010200110000则 ra1， a2， a3， a43 ，其中 a1， a2， a3 构成极大无关组， a42a12a2a37.100EA010( 1)3002100010特征值123 1，对于 1 1， 1EA 000，特征向量为 k 0l 002001五、证明题AIAAAA IAIAIA 2 IA0 ，IA0一、选择题（本题共4 小题，每小题项符合题目要求）1、

9、设 A ， B 为 n 阶方阵，满足等式4 分，满分 16 分。每小题给出的四个选项中，只有一AB0 ，则必有（）(A)A0 或 B0; (B)AB0 ；（ C）A0 或B0; (D)AB0 。2、A和B 均为n 阶矩阵，且( AB)2A22 ABB2 ，则必有（）(A)AE；(B)BE；（C）AB.(D)AB3、设 A 为 mn 矩阵，齐次方程组Ax0 仅有零解的充要条件是（(A)A 的列向量线性无关；(B)A 的列向量线性相关；（C）A 的行向量线性无关；(D)A 的行向量线性相关 .BA。）4、 n 阶矩阵 A 为奇异矩阵的充要条件是（）(A)A 的秩小于 n ；(B)A0 ；(C)A

10、的特征值都等于零；(D)A 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4 小题，每题4 分，满分 16 分）5、若 4 阶矩阵 A 的行列式 A5 ， A 是 A的伴随矩阵，则 A =。、 A为 n n 阶矩阵，且2A 2E0，则 (A2E)1。6A121x117、已知方程组 23 a2x23无解，则 a。1a2x348 、 二 次 型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x123x22tx322x1x2 2x1x3 是 正 定 的 ， 则 t 的 取 值 范 围是。三、计算题（本题共2 小题，每题8 分，满分 16 分）1x1119、计算行列式 D11x11111y11111y10、计算 n

11、 阶行列式x1 3x2xnx1x2 3xnD nx1x2xn 3四、证明题（本题共2 小题，每小题8 分，满分 16 分。写出证明过程）11、若向量组1,2 ,3 线性相关，向量组2 , 3 , 4 线性无关。证明：(1)1能有 2,3 线性表出；(2)4 不能由1 ,2 ,3 线性表出。、设 A是n 阶矩方阵， E 是 n 阶单位矩阵， AE 可逆，且f ( A)(E A)(E A)1。12证明（1） (Ef ( A)( E A) 2E ；（ 2）f ( f ( A) A 。五、解答题（本题共3 小题，每小题 12 分，满分 32 分。解答应写出文字说明或演算步骤）20013、设 A032

12、，求一个正交矩阵P 使得 P 1 AP 为对角矩阵。023x1x2x3014、已知方程组 x12 x2ax30 与方程组 x1 2x2 x3a 1 有公共解。x14x2a2 x30求 a 的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且213， 23214354求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2 、D； 3 、A； 4 、A。二、填空题5、 -125;6、；7 、-1；8、 t3 。25三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：xx0011 x11D0yy01111yx000第二列减第一列，第四列减第三列得：1x1

13、0分）D0y（400101y按第一行展开得x10Dx 0y001y按第三列展开得Dxyx 0x2 y2 。（4 分）1 y10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子nxi 3，再通过行列式的变换化i 1为上三角形行列式1x2xnn1x23xn（ 4D nxi 3分）i 11x2xn31x2xnn030xi3i10033n1n（4 分）xi3i 1四、证明题11、证明：(1) 、 因为2，3,3 线性无关，所以2 ， 3 线性无关。，又 1 ， 2 ， 3线性相关，故1 能由2， 3线性表出。(4分 )r (1，2，3)3 ，（ 2）、（反正法）若不，则4 能由1，2,3 线性表出，不妨

14、设 4k11k22k33 。由（ 1）知，1能由2 ， 3线性表出，不妨设 1t12t 23 。所以 4k1 (t1 2t 23 )k2 2 k33 ，这表明2，3,4 线性相关，矛盾。12 、证明（1） (Ef ( A)( EA) E(EA)( EA) 1( EA)( EA)( EA)( EA) 1(EA)( EA) (EA) 2E（4 分）（ 2） f ( f ( A) Ef ( A) Ef ( A) 1由（ 1）得： Ef ( A)11( EA) ，代入上式得2f ( f ( A)E (EA)( EA) 11(EA)1 ( EA)( EA)(EA) 11(EA)2221(E A)1(E

15、A) A（4 分）22五、解答题13、解：（ 1）由EA0 得 A 的特征值为11， 22 ， 35。（4分）0（2） 11的特征向量为11 ，1122 的特征向量为20，0035 的特征向量为31。（3 分）1（ 3）因为特征值不相等，则1, 2, 3 正交。（ 2分）010（4）将 1, 2 ,3 单位化得 p11， p20， p31（2 分）1120211010101（ 5）取 P p1 , p2 , p32210122100（6） P 1AP 020（1 分）00514、解：该非齐次线性方程组Axb 对应的齐次方程组为Ax0因 R(A) 3，则齐次线性方程组的基础解系有1 个非零解构成

16、，即任何一个非零解都是它的基础解系。（5 分）另一方面，记向量2 1(23) ，则AA(2 123) 2A1A 2A 32b b b 0直接计算得(3,4,5,6)T0， 就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为32x k43（7 分）1k， k R 。546515、解：将与联立得非齐次线性方程组 :x1x2x30,x12x2ax30,x14x2a2 x30,x12x2x3a1.若此非齐次线性方程组有解 ,则与有公共解 , 且的解即为所求全部公共解 .对的增广矩阵 A 作初等行变换得 :11101110A12a001a 10（4 分）1 4 a 200 0 (a

17、2)(a 1).01 2 1 a 10 01 aa 11°当 a 1时，有 r ( A)r ( A)23，方程组有解 ,即与有公共解 , 其全部公共解即为的通解，此时10100100A，000000001则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: 0 , 11所以与的全部公共解为k0， k 为任意常数 .（4 分）12° 当 a2 时，有 r ( A)r ( A)3 ，方程组有唯一解 ,此时10000101A01，01000000故方程组的解为 :1, 即与有唯一公共解 x1.（4分）11线性代数习题和答案好东西第一部分选择题(共 28 分)一、单项选择题（本大题共 14 小

18、题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。a11a12a13a11a11a12a13等于（）1.设行列式 a21a 22=m ， a23a21=n，则行列式a21a22a 23A. m+nB. - (m+n)C. n- mD. m - n1002.设矩阵 A= 0 20，则 A-1等于（）00310031001A.00B.0102201100031001002C.310D.0100001031203123.设矩阵 A=101 ， A*是 A 的伴随矩阵，则A * 中位于（ 1， 2）的元素是（）214A.

19、6B. 6C. 2D. 24.设 A 是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A.A=0B.B C时A=0C.A 0时 B=CD. |A| 0 时 B=C5.已知 3× 4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组 1， 2， ， s 和 1， 2 ， ， s 均线性相关，则（）A. 有不全为0 的数 1， 2， ， s 使 1 1+ 2 2+ + s s=0 和 1 1+ 2 2+ s s=0B.有不全为0 的数 1， 2， ， s 使 1（ 1+ 1） + 2（ 2+ 2） + + s（ s+ s） =0C.有不全为

20、0 的数 1， 2， ， s 使 1（ 1- 1） +2 （ 2- 2） + + s（ s- s） =0D.有不全为0 的数 1， 2， ， s 和不全为0 的数 1， 2， ， s使 1 1+ 2 2+ +s s=0和 1 1+ 2 2+ + s s=07.设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， 1， 2 是其任意2 个解，则下列结论错误的是（）A. 1+ 2 是 Ax=0 的一个解B. 1 1 +1 2 是 Ax=b

21、的一个解22C. 1- 2 是 Ax=0 的一个解D.2 1- 2 是 Ax=b 的一个解9.设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（）A. 秩 (A)<nB. 秩 (A)=n - 1C.A=0D. 方程组 Ax=0 只有零解10.设 A 是一个 n( 3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A. 如存在数 和向量 使 A = ，则 是 A 的属于特征值 的特征向量B.如存在数 和非零向量 ，使 ( E- A) =0，则 是 A 的特征值C.A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如 1， 2， 3 是 A 的 3 个互不相同的特征值， 1， 2， 3 依次是 A 的属于 1， 2， 3

22、 的特征向量，则 1， 2 ， 3 有可能线性相关11.设 0 是矩阵 A 的特征方程的3 重根，A 的属于 0 的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k 3B. k<3C. k=3D. k>312.设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.| A|2 必为 1B.|A|必为 1C.A - 1=ATD. A 的行（列）向量组是正交单位向量组13.设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵， B=CTAC .则（）A.A与B相似B.A与B不等价C. A 与 B 有相同的特征值D.A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23B.34A.4263100111C. 023D

23、.120035102第二部分非选择题（共72 分）二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11115.356.9253616.设 A =111， B=123.则 A +2B=.11112417.设A =(aij) 3× 3 ， |A|=2， Aij表示|A|中元素aij的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3） , 则(a11A 21+a12A 22+a13A 23)2+(a21A 21+a22A 22+a23A 23)2+(a31A 21+a32A 22+a33A 23)2=.18.设向量（

24、2，-3， 5）与向量（ -4， 6，a）线性相关，则a=.19.设 A 是 3× 4 矩阵，其秩为3，若 1， 2 为非齐次线性方程组Ax=b 的 2 个不同的解，则它的通解为.20.设 A是 m× n 矩阵， A的秩为r(<n) ，则齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系中含有解的个数为.21.设向量 、 的长度依次为2 和 3，则向量 + 与 - 的内积（ + ， - ） =.22.设 3 阶矩阵 A 的行列式 |A|=8，已知 A 有 2 个特征值 - 1 和 4，则另一特征值为.0106223.设矩阵 A=133，已知 = 1 是它的一个特征向量，则 所对应

25、的特征值为.2108224.设实二次型 f(x 1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为 3，则其规范形为.三、计算题（本大题共7 小题，每小题 6 分，共 42 分）12023125.设 A =340， B=.求（ 1） AB T；（ 2） |4A |.240121311226.试计算行列式5134.2011153342327.设矩阵 A= 110，求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB=A +2B.123213028.给定向量组 1=1， 2=3 ， 3=0， 4 =1.02243419试判断 4 是否为 1， 2， 3 的线性组合；若是，则求出组合系数。121022426629.设

26、矩阵 A=102.2333334求：（ 1）秩（ A）；（2） A 的列向量组的一个最大线性无关组。02230.设矩阵 A= 234的全部特征值为 1， 1和 - 8.求正交矩阵 T 和对角矩阵D，使 T- 1AT =D.24331.试用配方法化下列二次型为标准形f(x 1,x2,x3)= x122x 223x324x1 x24x1 x34x 2 x3 ，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共10 分）32.设方阵 A 满足 A3=0，试证明 E - A 可逆，且（E- A） - 1=E +A+A 2.33.设 0 是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解， 1

27、， 2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系 .试证明（ 1） 1= 0+ 1， 2= 0 + 2 均是 Ax=b 的解；（ 2） 0， 1， 2 线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2 分，共 28 分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10 空，每空2 分，共20 分）15. 616.33713717. 418. 1019. 1 +c( 2- 1)（或 2+c( 2- 1)）， c 为任意常数20. n - r21. 522. 223. 124. z21 z22 z23 z24三、计算题（

28、本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分）1202225.解（ 1） ABT= 34034121108 6= 1810.3 10（ 2） |4A |=43 |A|=64|A |，而1 2 0|A|=3402.121所以 |4A |=64·（ - 2） =- 1283112511151341113126.解0110010215335530511=11115 5 05 1 162=620301040.5555027.解AB =A+2B 即（ A- 2E） B=A ，而2231431（A- 2E）- 1= 110153 .121164143423所以 B=(A- 2E) - 1A= 153110164123386=296 .2129213005321301130128.解一224011203419013112103510350112011200880011001414000010020101,00110000所以 4=2 1+ 2+ 3，组合系数为（2， 1， 1） .解二考虑 4=x 1 1+x 2 2+x 3 3，2x1x 23x 30即x1 3x212x22x 343x14x 2x 3 9.方程组有唯一解（2， 1， 1） T，组合系数为（2， 1， 1） .29.解对矩阵 A 施行初等行变换1210200062A328200963212102121020328