第九章-重积分.

1、第九章重积分一、基础题 :1设 I1( x2y 2 )3 d其中 D1( x, y) |1x1, 2y2 ；又D 1I 2( x2y2 )3 d其中 D2( x, y) |0x1,0y2 试利用二重积分的几何意义说D 2明 I1 与 I 2 之间的关系解 由二重积分的几何意义知，I1 表示底为 D1 、顶为曲面 z ( x2y2 ) 3的曲顶柱体 1的体积； I 2 表示底为 D 2 、顶为曲面 z( x2y2 ) 3 的曲顶柱体2 的体积（图9-1）由于 D1位于上方的曲面z ( x2y 2 )3 关于 yOz 面和面 zOx 均对称，故 yOz 面和 zOx面将 1 分成四个等积的部分，其

2、中位于第一卦限的部分既为2 由此可知I14I 22设积分区域 D 由圆 (x 2) 2( y1)21所围成 ,且I k(xy)kdxdy,( k1, 2,3)D试 讨 论I1,I2,I 3的大小关系.图 9-11x 3 ,解 因 为 当 ( x, y)D 时 ,0 y5 ,因 此 ,1 x y 5 , 故有1 ( xy) ( x y)2( x y)3 由二重积分的保号性便得I1<I2< I3利用二重积分的性质估计下列积分的值(1)Ixy( xy)d .其中 D( x, y) | 0 x1,0y1 ；D(2)I(x24y29)d，(其中 D( x, y) | x2y24 )D解(1)

3、在积分区域 D 上，0x1,0y 1 ，从而0xy(xy) 2 ，又 D 的面积等于 1，因此0xy( x y)d2 D（）因为在积分区域D 上有 x2y24 ，所以有9 x24 y294( x2y2 )925，又 D 的面积等于 4，因此36( x24 y29)d100D证明不等式1(cos y2sin x2 )d2D其中D：0x1, 0 y1证由对称性知 ,cos y2 dcosx2 d ,DD于是(cos y2sin x2 )d =(cos x2sin x2 ) d=2 sin( x2)d ,DDD4由于 0x1,所以2sin( x2)1 ,因此241(cos y2sin x2 )d2D

4、改换下列积分的次序:22 y11 y22 f (x, y) dx(1)dyy2f (x, y)dx ；(2)dy1y0fx0解 所给二次积分等于二重积分(y d,)D(1)其中 D( x, y) y2x2 y,0y2. D 可改写为x22 y4x( x, y) 0x4,yx, 因此,0dyy2f ( x, y) dx =0dx x22(2)由于 D( x, y)1y2x1y2 ,0y1 .f ( x, y)dy 又 D 可表示为( x, y) 0y1x2 ,1x1 ,因此，原式 =1dx1x20f ( x, y)dy 1用直角坐标求下列二重积分:(1)( x2y 2 )d,其中 D( x, y

5、) | x |1,| y |1 ；D(2)(3x2 y)d,其中 D 是有两坐标轴及直线xy2 所围成的闭区域；D(3)( x33x2 yy3 )d，其中 D( x, y) | 0x1,0y1 ；D(4)x cos(xy)d，其中 D 是顶点分别为（ 0， 0），（， 0）和（，）的三角形D闭区域(x2y2 )d11(x2y2 )dy解(1)dxD11= x2 yy31 1dx1(2 x22 )dx8113133(2)D 可用不等式表示为0y2x ， 0x2(3 x2y)d22x2 y)dy于是dx(3xD00=3 xy y 2 02 x dx(4 2x 2x2 )dx2021013(x33x

6、2 yy3 )d =113x2 yy3 )dx(3)dy ( x3D001x4331113= 4x y y x 0dy(y y )dy 1004(4)D 可用不等式表示为 :0yx,0x于是x cos( xy)dxdxcos(xy)dy =xd(cos x1 cos 2x)D00021cos2x0(cos x1( 11= cos x0cos 2x)dx = =) 0222ayem(aax) f ( x)dx7证明dy0x ) f (x)dx = (a x)em (a00ayaa证 左边=dx em (a x) f (x)dy = em( a x) f ( x) ( y) dx =000x32a

7、 ( ax)em(a x) f (x)dx0=右边 .4 所围成的闭区域 ; 用极坐标计算积分ex2 y2已知 D 是由圆周 x2y2dD解 在极坐标系中，积分区域D(, )|02,02 ，2 e2于是，ex2 y 2d02( e41)D2化二重积分 If (x, y)d为二次积分 ,其中积分区域D 是 :D(1) 由直线(2) 由直线yx 及抛物线 y24x 所围成的区域 ;yx , x 2 及双曲线 y1所围成的闭区域 ;x解 (1)直线 yx 及抛物线 y24x 的交点为 (0,0)和 (4, 4), 于是If ( x, y)d =44xf ( x, y) dy ,dxxD0I4y或dy

8、y 2 f ( x, y)dx04(2) 三条边界两两相交,先求得 3 个交点为 (1,1)、 (2,1于是)、 (2,2).2I2xdx1 f (x, y)dy ;1xI1222f (x, y)dx .或1 dy1f (x, y)dxdy2y1y1利用极坐标计算下列各题：（ 1）ln(1x2y2 )d，其中 D 是由圆周 x2y21及坐标轴所围成的在第一象限D内的闭区域；（ 2）arctan yd，其中 D 是由圆周 x2y24 ， x2y 21及直线 y0， y xDx所围成的在第一象限内的闭区域解 （ 1）在极坐标系中，积分区域D(,) | 01,0 ，2ln(1x2y2 )dln(12

9、 )dd2 d12 ) d于是，=ln(1DD00112)d(12(12212 d (2ln 2 1)22ln(1)ln(1) |0044（ 2）在极坐标系中，积分区域D(, )|12,04 ， arctan y，x于是， arctan ydd d2d4dDxD01设平面薄片所占的闭区域D 由螺线2 上一段弧 (0) 与直线所围成，它的面密度为( x, y) x2y2 ，22求这薄片的质量.解 薄片的质量为它的面密度在薄片所占的闭区域 D 上的二重积分（图 9-2），即M( x, y)d( x2y2 )dDD图 9-2223 d4d3d d2 d4 204 0D00 求由抛物线 yx2 及直线

10、 y1所围成的薄片 (面密度为常数)对于直线 y1的转动惯量 .解设所求的转动惯量为I,则21121131ID( y1) dxdy=1dxx2 ( y1) dx =13( y1)x 2dx=1 (7 xx33 x51 x7 ) 11 =1368=368357335105积分区域是由双曲抛物线面xyz 及平面 xy10, z0 所围成的闭区域，化三重积分If( ,)为三次积分x y z dxdydzD解的顶 zxy 和底面 z0 的交线为 x 轴和 y 轴，故在 xOy 面上的投影区域由x轴和 y 轴和直线 xy 10 所围成于是可用不等式表示为： 0zxy, 0y 1x,0x 1,因此I11x

11、xyf ( x, y, z)dzdx0dy00利用三重积分计算由曲面z6x2y2及 zx2y2所围成的立体的体积解用直角坐标计算.由z 6 xy2 和zxy,xy2 ,222 消去 z 解得22即在 xOy 面上的投影区域D xy 为 x2y24 .于是( x, y, z) | x2y2z 6 ( x2y2 ), x2y246(x2y2 )因此Vdvdxdyx2 y2dzD xy6( x2y2 )x2y2 dxdy (用极坐标 )Dxy2d2r 2r )rdr0(6023 r3r 4r 32 324303计算zdxdydz 其中是由锥面 zhx2y2 与平面 zh （ R0 ）所围成的闭区DR

12、域解法一由 zhx2y2与 zh 消去 z ，得 x2y2R2 ，R故在 xoy 面上的投影区域Dxy(x, y) | x2y2R2，( x, y, z) | hx2y2zh,( x, y)Dxy于是Rh1h2hx2y2 dxdyzdxdydz =dxdy hx2y2zdz=DDxyR2 D xyR=1h2dxdyh2( x2y2 )dxdy2DxyR2Dxy222R= hR2h3d1R2 h2d图 9-322R2004解法二用球面坐标进行计算，在球面坐标系中，圆锥面的zhx2y2方程为RarctanR， 平 面zh 的 方 程 为 rh sec， 因 此可表示为h02,0,0rh sec于是

13、2h sec4zdxdydz =r cosr 2 sin drdddcossind3dr= 2hsind=rD00004cos 3=h 4d (cos)=h4(11)（代入arctan R ）4cos340cos2h=h 4R2h21)12h24(h 24R求三重积分xy2 z3dxdydz , 其中是由曲面zxy 与平面 yx ,x1 和z 0 所围成的闭区域解如图 9-4可用不等式表示为0zxy , 0yx , 0x1,xy2 z3dxdydz=1xxy因此xdxy2 dyz3 dz00011x46dy111214xdxxy28x dx364000 求 由 xoy 平 面 以 及 抛 物

14、面 z x2y2 和 柱 面x2y24图 9-4所围成的区域的体积.22解V42ddz=8 d000二、提高题 .单项选择题2a2ax x2y2 )dy 的值是（ 1）积分dx( x2）00(A)1a4 ,(B)a4 ,(C)5a4 ,(D)3a444e xy dxdy (k4(2)设 D1:x y1 ,x, y0 ;D2 :xy1 ,I k1,2,3) 则Dk（）(A)I1 =I 2(B)2I1=I2(C)I1=2 I2(D)4I1=I2(3)设 D1 : 3x4, 0y2 ,则二重积分dxdy的值为（）D( xy)2(A)ln 10(B) ln 16(C)ln 5(D) ln 259941

15、6(4) 由 yx2 及直线 y1所围成的均匀薄片（密度）对直线l ： y1 的转动惯量为（）（）( y1)2 dxdy（）( y1)2 dxdyDD（）( x 1)2 dxdy（）(x1)2 dxdyDD(5) 设是 锥 体 zx2y 2(z0)介 于 z1和 z 2之间的部分,则三重积分f ( x2y2z2 )dv 化为三次积分为 D22dz( )dzf (r10a2d21（）rdrf (r0102z2 )rdr2d4 d22 )r 2 sindr( )f (r0012z2 )dz2d2 d22 )r 2 sindr（）f (r041解 （） (C) 积分区域 D(,) |02a cos

16、,0 ，在极坐标系中22 acos2 ·d原式2 d00= 4a42 cos4 d0(2) (D) 因为被积函数(3)(A) dxdy2 =D(x y)22 02a cosd044a43123a4 4241 f ( x, y)exy 为 x, y 的偶函数 ,而 D1 正好是 D2的442dy=411x410dx0 ( x y)23dx =ln= ln93x x 2x 23(4) （）(5) （）先用截面法，再对二重积分利用极坐标化为累次积分 计 算 由 四 个 平 面 x0, y 0, x 1, y 1 所 围 成 的 柱 体 被 平 面 z0 及2x 3yz6截得的立体的体积解此

17、立体为一曲顶柱体，它的底是xOy 面上的闭区域D( x, y) | 0x 1,0y1 ，顶是曲面 z62x3y （图 9-5） 因此所求立体的体积V(62x3y)dxdy112x 3y)dydx(600D192x)dx7图 9-5(220注：求类似与第1 题中这样的立体体积时，并不一定要画出立体的准确图形，但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程3选用适当的坐标计算下列各题：（ 1）( x2y2 )d，其中 D是由直线 yx, yxa, ya, y3a(a 0) 所围成D的闭区域；（ 2）x2y2 d，其中 D 是圆环形的闭区域( x, y) | a2x2y2b2 Dx

18、 后对 y 的积分次序，解 （ 1）选用直角坐标根据D 的边界曲线的情况，采用先对(x2y2 )d3ay( x2y2 )dx3aa2 ya314a4 dy)dy于是，ay aa(2ay2D3（ 2）选用极坐标计算D(, ) | ab,02x2y2 ddd2b2ddaDD021 (b3a3 )2 (b3a3 ) 334求由平面 y0, ykx(k0), z0 以及球心在原点、 半径为 R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积解如图 9-6VR2x2y2 dR22 d dDDaRR22 da ( 1 )RR22 d( R22 )d0020= aR3R3arctan k33D: x2y2 设面

19、密度为 1的薄片所占区域为1,求它ya2b2量.绕轴的转动惯图 9-6解I y =x2dxdy = 4a2b a2 x2dy4b ax2a2x2dx (令 xasin)x dxa=a 0D00=4b2 a4 sin 2cos2 d=1a3ba04设有一等腰直角三角形薄片,腰长为 a ,各点处面密度等于该点到直角顶点的距离的平方 ,求这薄片的质心 .解面密度(x, y)x2y2,由对称性 . xyx dx(x2y2 ) da dxa x x( x2y2 )dy1 a5=DDaax=15002d( x2y2 )d0 dx 0(x2y2 )dy1 a45DD6x y = 2 a ,所求质心为 ( 2 a , 2 a ).555计算三重积分xyzdxd