线面垂直与面面垂直典型例题.

1、线面垂直与面面垂直基础要点线面垂直线线垂直面面垂直1a与平面 ,所成的角相等，则平面与 的位置关系是（B）、若直线A、 /B、不一定平行于C、不平行于D 、以上结论都不正确2、在斜三棱柱ABCA1 B1C1 , BAC90 ,又 BC1AC ,过 C1 作 C1H 底面 ABC，垂足为 H ，则 H一定在（B）A、直线 AC 上B、直线 AB 上C、直线 BC 上D、 ABC 的内部3、如图示，平面平面，A,B, AB 与两平面 ,所成的角分别为和，46过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A,B ，则 AB:AB（ A）A 、2:1B 、3:1C、 3:2D、 4:3ABC14、如图示，

2、直三棱柱 ABB1 DCC1 中， ABB1 90 , AB 4 ,BABC 2,CC1 1 DC 上有一动点 P，则 APC1 周长的最小值是DB1C5. 已知长方体 ABCDA1B1 C1 D1 中， A1 A AB 2,AD 1BC 1若棱 AB上存在点 P，使得 D1 PPC , 则棱 AD长B 1A1的取值范围是。DC题型一：直线、平面垂直的应用AB1.（2014，江苏卷） 如图，在三棱锥 P-ABC 中，D ，E，F 分别为棱 PC，AC ，AB 的中点 . 已知 PA AC,PA6， BC8， DF5 .求证：(1)PA平面 DEF错误！未找到引用源。；(2)平面 BDE平面 A

3、BC 错误！未找到引用源。 .证明：(1)因为 D ， E 分别为棱PC， AC 的中点，所以 DE PA.又因为 PA ?平面 DEF， DE平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.(2) 因为 D ，E，F 分别为棱 PC， AC， AB 的中点， PA 6，BC 8，所以 DE PA， DE 1 PA 3， EF 1 BC4.22222又因DF5，故 DF DE EF ，又 PA AC ，DE PA，所以 DE AC.因为 ACEF E，AC平面 ABC ，EF平面 ABC ，所以 DE 平面 ABC.又 DE 平面 BDE ，所以平面 BDE 平面 ABC.2. (2014,北京卷，

4、文科 )如图，在三棱柱 ABC A1 B1C1 中，侧棱垂直于底面， ABBC，AAAC 2，E、F分别为 AC、BC的中点.11 1（1）求证：平面 ABE平面 B1BCC1 ；（ 2）求证： C1F / 平面 ABE .证明：（ 1）在三棱柱ABCA1 B1C1 中，BB1底面 ABC,BB1 AB,ABBC,AB平面 B1BCC1 ,AB平面 ABE ,平面 ABE平面 B1 BCC1 .(2) 取 AB 的中点 G，连接 EG， FGE、F分别为 AC、BC的中点,FG1AC ,AC,FG112AC AC11，ACAC11， FGEC1，FGEC1 ,则四边形 FGEC1 为平行四边形

5、，C1 FEG,EG平面 ABE, C1F平面 ABE,C1F平面 ABE .3如图， P是ABC 所在平面外的一点，且PA平面 ABC ，平面 PAC平面PBC 求证 BCAC 分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直证明：在平面 PAC 内作 ADPC ，交 PC 于 D 因为平面 PAC平面 PBC 于 PC ，AD平面PAC，且ADPC，所以AD平面 PBC又因为BC平面PBC，于是有ADBC另外PA平面ABC ， BC平面ABC ，所以PABC由及ADPAA ，可知 BC说明：在空间

6、图形中，到，面面垂直线面垂直平面 PAC 因为 AC平面 PAC ，所以高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，线线垂直BCAC 通过本题可以看4.过 点 SASCASB引三条不共面的直线60 ，若截取 SASBSA SC、aSB、SC，如图，BSC90，(1)求证：平面(2)求 S 到平面ABC ABC平面 BSC ；的距离分析：要证明平面 ABC平面 BSC ，根据面面垂直的判定定理，须在平面 ABC 或平面 BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线(1)证明： SASBSCa ，又ASCASB 60，ASB 和 ASC 都是等边三角形， ABACa ，取 BC 的中点 H ，连结 AH

7、 ， AHBC 在 Rt BSC 中， BSCSa ， SHBC，BC2a，AH2AC 2CH 2a2( 2 a)2a2，SH2a 2222在SHA 中， AH 2a2， SH2a2， SA2a 2，22 SA2SH 2HA 2， AHSH ， AH平面 SBC AH平面 ABC ，平面 ABC平面 BSC 或： SAACAB ，顶点 A 在平面 BSC 内的射影 H 为 BSC 的外心，又 BSC 为 Rt ， H 在斜边 BC 上，又 BSC 为等腰直角三角形，H 为 BC 的中点， AH 平面 BSC AH平面 ABC ，平面 ABC平面 BSC (2)解：由前所证： SHAH ，SHB

8、C ， SH平面 ABC ， SH 的长即为点 S 到平面 ABC 的距离， SHBC2 a ，22点 S 到平面 ABC 的距离为2 a 25、如图示， ABCD 为长方形， SA 垂直于 ABCD 所在平面，过A 且垂直于 SC 的平面分别交、G，求证： AE SB,AGSDSSBSC SD于 EFFGDECAB6. 在四棱锥 P-ABCD中，侧面 PCD是正三角形， 且与底面 ABCD垂直，已知底面是面积为 2 3的菱形， ADC60 ， M是 PB中点。(1)求证： PA CDP(2)求证：平面 PAB平面 CDMMCBDA7. 在多面体 ABCDE中， AB=BC=AC=AE=1，

9、CD=2， AE面 ABC， AE/CD。(1)求证： AE/ 平面 BCD；(2)求证：平面 BED 平面 BCDEADBC题型二、空间角的问题1.如图示，在正四棱柱 ABCD11A 1B 中C ，DADBCFEA1D1GB1C1AB 1, BB13 1，E 为 BB1上使 B1E1的点，平面 AEC1 交 DD1 于 F，交 A1D1 的延长线于 G，求：（1）异面直线 AD 与 C1G 所成的角的大小（2）二面角 AC1GA1 的正弦值2. 如图，点 A 在锐二面角MN的棱 MN 上，在面内引射线AP ，使 AP 与 MN所成的角PAM 为 45 ，与面所成的角大小为30 ，求二面角MN

10、的大小分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解解： 在射线AP上取一点B ，作BH于 H ，连结AH，则BAH为射线AP与平面所成的角，BAH30再作BQMN，交MN于 Q ，连结HQ，则HQ为 BQ在平面内的射影由三垂线定理的逆定理，HQMN，BQH 为二面角MN的平面角设 BQa ， 在 RtB A Q中 ，BQA90 ,BAM45 ,AB2a ,在RtBHQ中，2BH2 a2BHQ 90 , BQ a, BH2a, sin BQHBQa,22BQH 是锐角，BQH45 , 即二面角MN等于 45 说明：本题综合性

11、较强， 在一个图形中出现了两条直线所称的角， 斜线与平面所称的角，二面角等空间角， 这些空间角都要转化为平面角， 而且还要彼此联系相互依存， 要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线3.正方体 ABCDA1 B1C1D1 的棱长为 1，P 是 AD 的中点求二面角 ABD1P 的大小分析：求二面角关键是确定它的平面角， 按定义在二面角的棱上任取了点， 在二个半平面上分别作棱的垂线， 方法虽简便， 但因与其他条件没有联系， 要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到 AB 垂直于平面AD1 ，BD1 在平面 AD1 上的射影就是AD1

12、 再过 P 作 AD1 的垂线 PF ，则 PF面 ABD1 ，过 F 作 D1 B 的垂线 FE ，PEF 即为所求二面角的平面角了解：过 P 作 BD1及 AD1 的垂线，垂足分别是 E 、 F ，连结 EF AB面 AD1， PF面 AD1， ABPF ，又 PFAD1 ， PF面 ABD1 又 PEBD1 ， EFBD1 ，PEF 为所求二面角的平面角 Rt AD1D PFAPFAP，DD1AD1而 AP11， AD12， PF2， DD142在 PBD1 中， PD1PB5 PEBD1 ， BE1 BD3222在 RtPEB 中， PEPB 2BE22，在 RtPEF 中， sinPEFPF1，2PE2 PEF 30 4.PA 垂直于矩形ABCD 所在平面， M、E、 N 分别是 AB、CD 和 PC 的中点，PNE（）求证：MN 平面PAD（）若二面角PDC A 为，求证:平面MND 平面PDC45.已知正方体中ABCDA1B1C1D1 ，E 为棱 CC1 上的动点，（1）求证：A1E BD(2)当 E恰为棱CC1 的中点时， 求证： 平面A1BD 平面EBD（3）在棱CC1 上是否存在一个点E，可以使二面角A1BDE 的大小为45？如果存在，试确定E 在棱CC1 上的位置；如果不存在，请说明理由。题型三、探索性、开放型问题