初中数学最值系列之瓜豆原理

1、最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一一一求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值.本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点 Q,当然P、Q之间存在某种联系，从 P点出发探讨Q点运动 轨迹并求出最值，为常规思路.一、轨迹之圆篇引例1:如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接 AP, Q为AP中点.考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点 Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径 MQ 是

2、 OP一半，任意时刻，均有 AMQsAOP, QM:PO=AQ:AP=1:2.【小结】确定 Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO.Q点轨迹相当于是 P点轨迹成比例缩放.根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系; 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.引例2:如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接 AP,作AQLAP且AQ=AP. 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将 AP绕点A逆时针旋转90°得AQ,故Q点轨迹与P 点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.考

3、虑APXAQ,可得 Q点轨迹圆圆心 M满足AMLAO;考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心 M满足AM=AO,且可得半径 MQ = PO.即可确定圆 M位置，任意时刻均有 AAPOA AQM .引例3:如图，那PQ是直角三角形，/ PAQ=90°且AP=2AQ,当P在圆O运动时，Q点轨 迹是？【分析】考虑 APXAQ,可得Q点轨迹圆圆心 M满足AMLAO;考虑AP:AQ=2:1 ,可得 Q点轨迹圆圆心 M满足AO:AM=2:1 .即可确定圆 M位置，任意时刻均有 AAPOsAQM,且相似比为 2.【模型总结】为了便于区分动点 P、Q,可称点P为主动点”，点Q为从动点此类问题的必要条件：

4、两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/ PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（ AP:AQ是定值）.【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：ZPAQ = ZOAM ;（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩.古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.种”圆得圆， 种”线得线，谓之 瓜豆原理【思考1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接 AP,以AP为一边作等边 评PQ. 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？Q【分析】Q点满足

5、(1) /PAQ=60° (2) AP=AQ,故Q点轨迹是个圆：考虑/ RAQ=60° ,可得 Q点轨迹圆圆心 M满足/ MAO=60° ;考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心 M满足AM=AO,且可得半径 MQ = PO. 即可确定圆 M位置，任意时刻均有 AAPOA AQM .【小结】可以理解 AQ由AP旋转得来，故圆 M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例 均等于AP与AQ的位置和数量关系.【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为斜边作等腰直角 那PQ.考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出 Q点轨迹？【分析】Q点满足(1) /PAQ=4

6、5° (2) AP:AQ=J2: 1,故Q点轨迹是个圆.连接AO,构造/ OAM=45°且AO:AM=72 : 1. M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有AOPsAMQ.即可确定点 Q的轨迹圆.QA【练习】如图，点 P (3,4),圆P半径为2, A (2.8,0), B (5.6,0),点M是圆P上的动点, 点C是MB的中点，则AC的最小值是.C点轨迹:【分析】M点为主动点，取BP中点O,以O为圆心，OC为半径作圆，即为点 C轨迹.ACOkv当A、C、O三点共线且点 C在线段OA上时，AC取到最小值，根据 B、P坐标求O,利用 两点间距离公式求得 OA,再减去OC即可

7、.,PO【2016武汉中考】如图，在等腰 RtAABC中，AC=BC=2j2,点P在以余边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点 A运动至点B时，点M运动的路径长为【分析】考虑 C、M、P共线及M是CP中点，可确定取AB中点O,连接 CO取CO中点D,以D为圆心,M点轨迹：DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹.当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长 半，即可解决问题.【2018南通中考】如图，正方形 ABCD中，AB 2通，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得

8、DF ,连接AE、CF.求线段OF长的最小值.【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2 ,故E点轨迹是以 O为圆心，2为半径的圆.考虑DEDF且DE=DF,故作 口”，口0且口”二口0, F点轨迹是以点 M为圆心, 2为半径的圆.直接连接0M,与圆M交点即为F点，此时OF最小.可构造三垂直全等求线段长，再利用勾月定理求得 0M,减去MF即可得到OF的最小值.【练习】 祥BC中，AB=4, AC=2,以BC为边在4ABC外作正方形 BCDE , BD、CE交于点O,则线段AO的最大值为【分析】考虑到 AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB,将AC看成动线段，由此引发

9、正方形 BCED的变化，求得线段 AO的最大值.根据AC=2 ,可得C点轨迹是以点 A为圆心，2为半径的圆.ED接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察ABOC是等腰直角三角 形，锐角顶点 C的轨迹是以点 A为圆心，2为半径的圆，所以 O点轨迹也是圆， 以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点 M即为点O轨迹圆圆心.ED连接AM并延长与圆M交点即为所求的点 O,此时AO最大，根据AB先求AM , 再根据BC与BO的比值可得圆 M的半径与圆A半径的比值，得到MO,相加即得 AO.此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A'共线时，可得AO最大值.或者直接利用托勒

10、密定理可得最大值.二、轨迹之线段篇引例：如图，P是直线BC上一动点，连接 AP,取AP中点Q,当点P在BC上运 动时，Q点轨迹是？【引例】如图,祥PQ是等腰直角三角形，/ PAQ=90°且AP=AQ,当点P在直线BC上运动时，求 Q点轨迹?可以这样理解：分别过 A、Q向BC作垂线，垂足分别为 M、N,在运动过程中， 因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点 轨迹是一条直线.【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形.当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如 Q点的起始位置和终点位置，连接即

11、得Q点轨迹线段.Q2Qi【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于/PAQ （当/ PAQ<90°时，/ RAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于 AP:AQ （由9BCsAMN,可得AP:AQ=BC:MN）A .【2017姑苏区二模】如图，在等边 那BC中，AB=10, BD=4, BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连结 PD,以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边 DPF,当点 P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是

12、 .【分析】根据4DPF是等边三角形，所以可知 到A点路径长为8,故此题答案为 8.F点运动路径长与 P点相同，P从E点运动【2013湖州中考】如图，已知点 A是第一象限内横坐标为 2避的一个定点，ACX x轴于点M,交直线y=-x于点N,若点P是线段ON上的一个动点，/ APB=30 °, BAXRA,则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点O 运动到点N时，点B运动的路径长是 .【分析】根据/ PAB=90°, /APB=30°可得：AP:AB=#:1 ,故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与 B点轨迹路径长之比也为 V3:1 , P点轨

13、迹长ON为2J6 ,故B点轨迹长为2瓶.【练习】如图，在平面直角坐标系中，A (-3,0),点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边 AABP,点B在y轴上运动时,B点在直线上运动，故可知 P点轨迹也是直线.取两特殊时刻：(1)当点B与点O重合时，作出P点位置P1; (2)当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2.连接P1P2,即为P点轨迹.根据/ ABP=60°可知：PP2与y轴夹角为60°,作OP，,所得OP长度即为最3小值，OP2=OA=3,所以 OP = 3.2【2019宿迁中考】如图，正方形 ABC

14、D的边长为4, E为BC上一点，且BE=1 , F为AB边 上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边 AEFG ,连接CG ,则CG的最小值为 .【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出 G点轨迹:考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段， 取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在Gi位置，最终G点在G2位置（G2不一定在CD边），G1G2即为G 点运动轨迹.CG最小值即当 CG, G1G2的时候取到，作 CH，GiG2于点H, CH即为所求的最小值.根据模型可知：G1G2与AB夹角为60°,故G1

15、G2 ± EGi .过点E 作 EFLCH 于点 F,则 HF=G1E=1,CF = 1CE2所以CH=5,因此CG的最小值为5G2三、轨迹之其他图形篇所谓瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹， 而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是.2【2016乐山中考】如图，在反比例函数y 2的图像上有一个动点 A,连接AOXAC=BC,当点A运则k的值为（）并延长交图像的另一支于点B,在第一象限内有一点 C,满足动时，点C始终在函数y k的图像上运动，若tan/CAB=2, xC. 6A

16、. 2【分析】/ AOC=90°且AO:OC=1:2,显然点C的轨迹也是一条双曲线， 分别作AM、 CN垂直x轴，垂足分别为 M、N,连接 OC,易证祥MOs ONC,CN=2OM , ON=2AM , ON CN=4AM OM ,故 k=4 X2=8.【思考】若将条件 tan/CAB=2”改为 BBC是等边三角形”，k会是多少？【练习】如图，A (-1,1), B (-1,4), C (-5,4),点P是“BC边上一动点，连接OP,以OP为斜边在 OP的右上方作等腰直角 OPQ,当点P在那BC边上运动一 周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为 .【分析】根据4OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同,根据OP:OQ=J2:1 ,可得P点轨迹图形与 Q点轨迹图形相似比为 收:1 ,故面积比为2:1,那BC面积为1/2刈=6