2023新教材数学高考第一轮专题练习--专题八空间几何体的表面积和体积专题检测题组

1、2023新高考数学第一轮专题练习专题八立体几何8.1空间几何体的表面积和体积一、选择题1.(2022届黑龙江六校11月联考,4)已知圆锥的轴截面为等边三角形,且圆锥的表面积为3,则圆锥的底面半径为()A.12B.1C.2D.3答案B设圆锥的母线长为l,底面半径为r,根据题意,得l=2r,所以圆锥的表面积S=r2+rl=3r2=3,解得r=1,故选B.2.(2022届河南焦作一模,6)底面是边长为1的正方形,侧面均是等边三角形的四棱锥的体积为()A.26B.24C.23D.22答案A由题意可知该四棱锥为正四棱锥,底面正方形对角线长为2,则正四棱锥的高h=12-222=22,所以正四棱锥的体积V=

2、13×12×22=26,故选A.3.(2022届吉林顶级名校11月月考,10)已知球O,过球面上A,B,C三点作截面,若点O到该截面的距离是球半径的一半,且AB=BC=2,B=120°,则球O的表面积为()A.643B.83C.323D.169答案A如图,设球的半径为r,O1是ABC的外心,外接圆半径为R,连接OO1,OB,O1B,则OO1平面ABC,在ABC中,AB=BC=2,ABC=120°,则A=30°,由正弦定理得2sinA=2R,R=2,即O1B=2.在RtOBO1中,由已知得r2-14r2=4,得r2=163,所以球O的表面积S=4

3、r2=4×163=643.故选A.4.(2022届豫北名校定位考试,11)已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上,圆锥的侧面展开图的圆心角为23,面积为3,则球O的表面积等于()A.818B.812C.1218D.1212答案A设圆锥的母线长为l,球的半径为R,圆锥底面半径为r,由已知得12×23l2=3,解得l=3,由扇形的弧长公式可得2r=23×l,得r=1,所以圆锥的高为32-12=22,由r2+(22-R)2=R2,解得R=942,所以球O的表面积等于4R2=49422=818,故选A.5.(2022届四川月考,8)如图,点M是棱长为2的正方体ABCD-

4、A1B1C1D1中的侧面ADD1A1内(包括边界)的一个动点,则三棱锥B-C1MD的体积的最大值是()A.13B.23C.43D.83答案D当点M与点A1重合时,点M到平面BC1D的距离最大,VB-C1MD=VM-BC1D,此时三棱锥B-C1MD的体积最大,此时三棱锥B-C1MD是棱长为22的正四面体,其体积等于正方体的体积减去4个三棱锥的体积,所以VB-C1MD=23-4×13×12×2×2×2=83.故选D.6.(2022届云南玉溪月考,9)在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,且PAD是边长为2的正三角形,四边形ABCD是正方形

5、,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为()A.293B.643C.263D.283答案D连接AC,BD,且ACBD=F,设外接球球心为O,半径为R,则球心O在底面的射影必为点F,取AD的中点E,连接EF,PE,OF,OA,PO,过O作OGPE.如图.易知PEAD,且PE=32×2=3,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PE平面ABCD,设OF=x,EF=1,AF=2,R2=x2+2=1+(3-x)2,解得x=33,R2=73,四棱锥P-ABCD外接球的表面积S=4R2=4×73=283.故选D.7.(2022届四川德阳中学11月月考,9)已知四棱锥

6、P-ABCD的侧棱均相等,其各个顶点都在球O的球面上,AB=BC,ABC=90°,AD=23,CD=2,三棱锥P-ABC的体积为163,则球O的表面积为()A.25B.1256C.32D.6423答案A连接AC,取AC的中点F,连接PF,BF,由题意可知PF为四棱锥的高且球心O在直线PF上,不妨取O在PF上,连接OB,各个顶点都在球O的球面上,ABC=90°,A、B、C、D四点共圆,且AC为直径,ABC=ADC=90°,又AD=23,CD=2,AC=AD2+CD2=12+4=4,AB=BC,ABC=90°,AB=22,BF=2,三棱锥P-ABC的体积为1

7、63,VP-ABC=13SABC·PF=13×12×22×22PF=163,解得PF=4.设OP=r(r>0),则OB=r,OF=|4-r|,在RtOFB中,r2=|4-r|2+22,解得r=52,球O的表面积为4r2=4×522=25.故选A.8.(2022届湘豫名校联盟11月联考,11)在三棱锥S-ABC中,SBA=SCA=2,底面ABC是边长为2的等边三角形,若二面角S-BC-A的大小为23,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为()A.163B.173C.193D.203答案C取BC的中点O,连接SO,AO,SBA=SCA=2,BA

8、=CA,SA=SA,SBASCA,SB=SC,SOBC,OABC,故二面角S-BC-A的平面角为SOA,SOA=23.设SO=x(x>0),则SB=x2+1,SBA=2,SA=x2+5,在SOA中,易知OA=3,由余弦定理得SA2=SO2+OA2-2SO·OAcos23,即x2+5=x2+3+3x,解得x=23,三棱锥的外接球的直径2R=SA=x2+5=193,三棱锥的外接球的表面积S=4R2=193.故选C.9.(2022届河南检测提分卷,12)已知在三棱锥P-ABC中,ABC与PBC均为边长为2的等边三角形,PA=6,以P为球心,2为半径的球与底面ABC的交线长为()A.4

9、B.3C.23D.2答案B取BC的中点D,连接PD,DA,则PDBC,ADBC,PD=DA=3,因为PA=6,所以PDDA,又DABC=D,所以PD平面ABC,分别取AC,AB的中点E,F,连接PE,DE,DF,则DE=1,PE=2,则以P为球心,2为半径的球与底面ABC的交线为圆D上的EF,易知EDF=3,所以弧EF的长度为3.故选B.二、填空题10.(2022届陕西西北工业大学附中月考,14)碳60(C60)是一种非金属单质,它是由60个碳原子构成的分子,形似足球,又称为足球烯,其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体,共32个面,且满足:顶点数-棱数+面数

10、=2.则其六元环的个数为. 答案20解析碳60有60个顶点,32个面,由顶点数-棱数+面数=2,得棱数为60+32-2=90,设五元环有x个,六元环有y个,则x+y=32,5x+6y=90×2,解得x=12,y=20,六元环的个数为20.11.(2021河南新乡二模,14)一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到如图所示的几何体,若该几何体的体积为60,则该几何体的表面积为. 答案110解析设正四棱柱的底面边长为m,则4(42-m2)=60,解得m=1,则该几何体的表面积为42×4+(42-12)×2+4×1×4

11、=110.12.(2021江西吉安重点中学联考,16)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABBC,cosBAC=45,且此三棱柱有内切球,则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为. 答案429解析由题意,不妨设AB=8,BC=6,AC=10,则ABC的内切圆的半径为r=6+8-102=2.要使此三棱柱存在内切球,则此三棱柱的高AA1=4.从而得其内切球半径R1=2,由于ABC为直角三角形,且ABBC,所以ABC的外心D在AC的中点处,取A1C1的中点D1,连接DD1,取DD1的中点M,则DD1的中点M即为该三棱柱的外接球球心,在RtADM中,AM2=DM2+AD2=22+52=2

12、9.即外接球的半径R2=29.所以三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为4R124R22=R12R22=429.归纳总结若某直棱柱存在内切球,则该棱柱的高h与底面多边形内切圆半径r的关系为h=2r.13.(2022届贵阳五校联考,16)学生到工厂参加劳动实践,用薄铁皮制作一个圆柱体,圆柱体的表面积为8,则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是. 答案8(5-1)解析设圆柱底面圆的半径为r,高为h,则有2r2+2rh=8,整理得h=4r-r(0<r<2),由球及其内接圆柱的结构特征知,球心是圆柱两底面圆圆心的连线的中点,设球的半径为R,得R2=r2+12h2=r2+2r-r22=

13、54r2+4r2-2254r2·4r2-2=25-2,当且仅当54r2=4r2,即r=241255时取等号,球的表面积S=4R28(5-1),该圆柱体的外接球的表面积的最小值是8(5-1).三、解答题14.(2018课标,18,12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90°.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.解析(1)证明:由已知可得,BAC=90°,则BAAC.又BAAD,ACAD=A,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QEAC,垂足为E,则QEDC且QE=13DC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=13