2018几何类比探究合订(共17页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上几何类比探究（一）旋转结构1. 已知：如图所示，在和中，且点在一条直线上，连接分别为的中点（1）求证：；是等腰三角形（2）在图的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图中延长交线段于点求证：G图1FEDCBA2. 如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为2，若ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.（

2、1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.（3）以ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BDCE=DE.Gyx图2OFEDCBA（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BDCE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由. 3. 已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、(1)当绕点旋转到于时（如图1），易证AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F(2)

3、当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明4. 把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证此时， （2）将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为其中，问的值是否改变？说明你的理由 ()()()B(Q)CFEAP图1图2图3（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式（图2，图3供解题用）5. 如

4、图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PEBC于点E，PFCD于点F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .图8-2图8-16. 如图251，正方形ABCD和正方形QMNP，M =B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E求证：ME = MF如图252

5、，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明如图253，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由根据前面的探索和图254，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由几何类比探究（二）直角结构7. 正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点.如图1，当点P与点O重合时，显然有DFCF如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PEPB且PE交CD于点E。 求证：DFEF； 写出线段PC、PA、CE

6、之间的一个等量关系，并证明你的结论；若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PEPB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）ODCBA图3P图2ODCBAEFPFP(O)DCBA图1 8. 在RtABC中，ABBC5，ABC90一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于点E、F，图、是旋转三角板所得图形的两种情况(1)三角板绕点O旋转，COF能否成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况(即给出COF是等腰直角三角形时BF的长)；若不能，请说明理由(2)三

7、角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图或图加以证明(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图)，当APAC14时，PE和PF有怎样的数量关系？证明你发现的结论3.如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，CDAB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EFBE交AB于点F， （1） 如图1：若EA=CE，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论； （2） 如图2：若EA=2CE，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论； （3） 若EA=kCE，探索线段EF与EG的数量关系，请直接写出你的结论4.如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一

8、象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足APQ=90，PQ交x轴于点C(1)当动点P与点B重合时，若点B的坐标是(2，1)，求PA的长(2)如图1当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值(3)当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若ACE=AEC，PD=2OD，求PA：PC的值几何类比探究（三）平行结构1.（1）探究新知：如图1，已知ABC与ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由 （2）结论应用： 如图2，点M，N在反比例函数（k0）的图象上，过点M作MEy轴，过点N作NFx轴，垂足分别为

9、E，F 试证明：MNEF xOyDM图 3NxOyNM图 2EFxN 若中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置如图3所示，请你依条件作图，并判断 MN与EF是否平行ABDC图 12如图1，已知四边形是菱形，是线段上的任意一点时，连接交于，过作交于，可以证明结论成立（考生不必证明）（1）探究：如图2，上述条件中，若在的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（5分）（2）计算：若菱形中，在直线上，且，连接交所在的直线于，过作交所在的直线于，求与的长（7分）（3）发现：通过上述过程，你发现在直线上时，结论还成立吗？ 3.己知点E、F在的边 AB 所在的

10、直线上，且，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G如图l，如果点E、F在边AB上，那么；如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_ ；如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_ ；4.在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且CE=DE为判断AE和BD之间的关系，小明准备分情况进行讨论(1)当E是AB中点时，如图1，小明发现，由于E是AB边的中点，利用三线合一可以得到AE=BE，ECB=30，再由CE=DE可以得到D=30，进而得到BED=30，就可以得到BD=BE=AE

11、(2)但是当E不是AB中点时，就不能照搬上述方式进行证明，此时小明想到了另外一种方式：过点E作EFBC，交AC于点F，也能证明AE=BD（i）当E是线段AB上除端点和中点外的任一点时，如图2，按照上述辅助线证明AE=BD，证明过程中需要使用一对三角形全等，则证明此对三角形全等不能使用的条件是( )A.AAS B.ASA C.SAS D.SSS （ii）当点E在BA的延长线上时，如图3，点D在BC边上，且CE=DE，按照下面的操作，请你证明AE=BD. 几何类比探究（四）图形变换结构1. （1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将ABE沿AE折叠后 得到AFE，点F在矩形ABC

12、D内部，延长AF交CD于点G猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论（2） 类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1） 中的结论是否仍然成立？请说明理由2. 如图所示，（1）正方形ABCD及等腰RtAEF有公共顶点A,EAF=90, 连接BE、DF.将RtAEF绕点A旋转,在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；(2)将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰RtAEF变为RtAEF，且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；(3)将（2）中的矩形ABCD变为

13、平行四边形ABCD，将RtAEF变为AEF，且BAD=EAF=，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用表示出直线BE、DF形成的锐角.3. 在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.（1）在图1中证明；（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若，FGCE，分别连结DB、DG（如图3），求BDG的度数。 4. 如图，P是等腰三角形ABC外一点，AB=AC,BAC+BPC=180.(1)若BAC=60，则= .请根据以下分析填空：延长PC到D,使CD=PB,连

14、接AD,由ABP+ACP=180, ACP+ACD=180. ABP=ACD,AB=AC,故ABPACD, PA=DA,容易得出PAD=60，PAD是等边三角形，即PA=PD=PC+CD=PC+PB.(2)利用（1）的方法填空：若BAC=90，则= ； 若BAC=120，则= ； (3)若BAC=2，= （用含的三角函数表示）。(4)如图，若P是等腰三角形ABC外一点，AB=AC,且APB+ACB=180, BAC=2,试直接写出PA、PB、PC之间的一个关系式（用含的三角函数表示）.5. 已知：等腰RtABC中，A=90,如图8-1，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰RtCDE，连结AD

15、，则有ADBC，（1）若将等腰RtABC改为正ABC，如图8-2所示，E为AB边上任一点，CDE为正三角形，连结AD，上述结论还成立吗？答 .（2）若ABC为任意等腰三角形，AB=AC，如图8-3，E为AB上任一点，DECABC,连结AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答： .（3）请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明。6. 如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，观察并猜测FCN的度数，并说明理由；图（2）MBEACDFGNNMBECDFG图（1）（3

16、）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小是否总保持不变，若FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tanFCN的值；若FCN的大小发生改变，请举例说明7. 已知ABC为等边三角形，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使DAF=60，连接CF（1）如图1，当点D在BC边上时，若要证明AC=CF+CD，中间需要证明一次全等，则证明该全等使

17、用的条件是( )（2）如图2，当点D在BC的延长线上时，其他条件不变，三条线段AC，CF，CD之间的数量关系是( )（3）如图3，当点D在CB的延长线上时，其他条件不变，补全图形，可得到AC，CF，CD之间的数量关系为( )8. 在矩形ABCD中，E是BC的中点，F在BC的延长线上，连接AE，过点E作EMAE，交DCF的平分线于点M如图1，当AB=BC时，能够得到AE=EM（1）如图2，当AB=nBC时，AE和EM之间的数量关系为( )（2）如图3，把题干中“E是BC的中点”改为“BE=mEC”，其他条件不变，当AB=nBC时，AE和EM之间的数量关系为( )几何类比探究（五）其它结构1课外兴

18、趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分, , 与互补，求证：小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题（1） 特殊情况入手，添加条件：“”, 如图2，可证（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F（请你补全证明）2.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点

19、P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明3.问题解决如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕当时，求的值方法指导：为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2类比归纳在图（1）中，若则的值等于 ； 若则的值等于 ； 若（为整数），则的值等于 （用含的式子表示）图（2）NABCDEFM联系拓广如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 （用含的式子表示）4.是等边三角形，点是射线上的一个动

20、点（点不与点重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线于点，连接（1）如图（a）所示，当点在线段上时 求证：； 探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由几何类比探究测试题1. 如图1，在等边ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP. 将ABP绕点P按顺时针方向旋转角（0180），得到A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F. （1） 如图1，当060时，在角变化

21、过程中，BEF与AEP始终存在 关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设ABP= . 当60180时，在角变化过程中，是否存在BEF与AEP全等？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当=60时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式. 2. 小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD中，ABC=60，边长为4，在菱形ABCD内部有一点P，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折

22、线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是：如图1，将APC绕点C顺时针旋转60，恰好旋转至DEC，连接PE，BD，则BD的长即为所求（1）请你写出在图1中，PA+PB+PC的最小值为_（2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：如图2，在ABC中，ACB=30，BC=6，AC=5，在ABC内部有一点P，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值如图3，在正方形ABCD中，AB=5，P为对角线BD上任意一点，连接PA，PC，请直接写出PA+PB+PC的最小值（保留作图痕迹）3. 如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PEPB，连接PD，O为AC中点（1）如图1，当点P在线段AO上时，试直接写出PE与PD的数量关系和位置关系；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由图104. 数学课堂上，朱老师出示一道试题：如图（10）所