2009年高考热点：数列热点预测

1、 2009年高考热点：数列问题热点预测江苏省东台市五烈中学 黄良怀一、 知识点梳理 等差、等比数列的概念、性质、通项公式及递推关系式 判断或者证明数列为等差数列（或等比数列）数列的四种常用方法：定义法、通项公式法、前n项和的公式法、等差（或等比）中项法 在等差数列中，有关的最值问题的解决方法：一是用相邻项异号法求解；二是用关于n的二次函数，由配方求得最值；特别要注意各项绝对值的数列的前n项和的最值，必须使用转化、化归的思想方法来解决 数列求和的常用方法：通过数列的通项的构成可有拆项分组（适用数列的构成是由几个等差或等比数列的和或差）；裂项相消（“裂”成某个数列的相邻两项的差，后叠加）；错位相减

2、（适用于一个等差数列的各项与等比数列的各项的相应乘积构成的数列） 注意在数列中的函数思想、方程的思想、分类讨论的思想方法在数列综合题中的应用二、 高考考点综述数列是高中数学的得要内容，是高考的热点，也是进一步学习数学的基础，因此高考对这部分知识的考查的题型多样、解答题的难度也较高纵观近几年的高考，关于数列的考查主要有以三个方面的内容：一是数列本身的知识，主要是等差数列、等比数列概念、通项公式、性质、前n项和公式；二是数列与其它知识的交汇如：与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等知识的结合；三是数列的应用问题，主要是增长率、分期付款等试题主要体现中低档题为小题，数列与几何、函数、三角、不等式

3、知识的结合为综合性高难度大的解答题三、 例题精析1数列本身的知识考查例1若等比数列的前项和为，则公比 点拔：本题是等比数列中问题，常用的方法是以和为未知数建立方程，解出和解析：2或 Þ q2或点评：数列中的填空题与选择题，常常是考查数列的概念、性质、通项公式等，解决问题的方法，基本上是转化为等差或等比数列，再用方程与数列性质来解决，即建立以和（或）为未知数建立方程，解出和（或），问题基本就可以解决了2数列与函数相结合的考查例2已知数列满足，且（1）求数列的通项公式；（2）数列是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由点拔：根据所给的条件，从方程的角度来思考

4、，将当成末知数，则可得到一个关于的一元二次方程，用求根公式可求得第（2）问建立关于n的函数，再利用导数来判断函数的单调性，进而可求得最值解析：（1）由得 由一元二次方程求根公式得 （2）由知数列各项满足函数 当时，当时，即函数在上为减函数即有数列有最大项，最大项为第一项点评：本题第（1）问是用方程的思想看待等式，则可以用解方程来求解，通常在解等差数列、等比数列的问题时，常常将题设条件转化成关于和d（或q）的方程（组）通过求解方程（组）来解决问题求数列中的最值问题一般是建立n的函数，但要注意n的取值为正自然数3数列与向量相结合的问题例3设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下

5、列两个条件：且；且（1）求及的坐标；（2）若四边形的面积是，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由点拔：本题首先利用有向线段的向量加法写出向量及的坐标，（2）问中利用直角坐标平面内的四边形面积转化为三角形面积来求解，（3）问是开放性的问题，常是先假设存在，然后去寻找或证明解：（1）（2）（3） ， ，等等即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切，都有M成立点评：本题是向量与数列的结合，其实这里的向量只是个“外衣”，是个载体，利用向量的运算，就可以将向量的问题转化为数列的问题4数列与解析几何结合问题的考查 例4

6、如图，在直角坐标系中，有一组对角线长为的正方形，其对角线依次放置在轴上（相邻顶点重合）. 设是首项为，公差为的等差数列，点的坐标为.（1）当时，证明：顶点不在同一条直线上；（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点均落在抛物线上；（3）为使所有顶点均落在抛物线上，求与之间所应满足的关系式.点拔：数列与解析几何相结合，常常通过点的坐标来联系（1）中要证三点不在同一直线上，只要说明它们的斜率不等就可以了，（2）说明点在曲线上，就是说明点的坐标满足方程（3）说明所有的点在曲线上，只要说明第n个点的坐标满足曲线方程，就可以寻找到关系式解析：（1）由题意可知， . ， 顶点不在同一条直线上. （2）由题意可知，顶点的横坐标， 顶点的纵坐标. 对任意正整数，点的坐标满足方程， 所有顶点均落在抛物线上. （3）解法一 由题意可知，顶点的横、纵坐标分别是 消去，可得 . 为使得所有顶点均落在抛物线上，则有 解之，得 . 所应满足的关系式是：. 解法二 点的坐标为 点在抛物线上， . 又点的坐标为 且点也在抛物线上， ，把点代入抛物线方程，解得 . 因此， 抛物线方程为. 又 所有顶点落在抛物线上. 所应满足的关系式是：. 点评：对于数列与解析几何相结合的问题，这