中考数学压轴题型研究动点几何问题解题方法

1、（2）线段MN在运动的过程中，四边形 MNQP的面积为S ,运动的时间为t.求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围.解：（1）过点C作CD _L AB ，垂足为D .则AD = 2,当MN运动到被CD垂直平分时，四边形 MNQP是矩形，即3AM =一时,23四边形MNQP是矩形，.t= 一秒时，四边形MNQP是矩形.233 -* PM =AM tan60 二一V3,二场边形 MNQP =V3221(2) 1 当 0<t<1 时，Sg 边形 MNQP =3(PM +QN )MN动点问题静态问题的划分面积公式的使用不同情况的考虑例1:（北京市石

2、景山区2010年数学期中练习）在ABC中，/B=60°,BA=24CM,BC=16CM,（1）求ABC勺面积；（2）现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM渺，点Q的速度是2CM渺，它们同时出发，几秒钟后，PBQ勺面积是ABC的面积的一半（3）在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（相似）3例4:（09齐齐哈尔）直线y=x+6与坐标轴分别交于AB两点，动点P、Q同4从。点出发，同时到达A点，运动停止.点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度点P沿路线O-B-A

3、运动.（1）直接写出AB两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，4OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式；.48一一一（3）当$=一时，求出点p的坐标，并直接写出以点。、P、Q为顶点的平行四边形的5第四个顶点M的坐标.静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（相似）例5：（2009宁夏）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与4ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒.（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边

4、形MNQP恰为矩形并求出该矩形的面积;0-1_3-2当1wtw2时，S四边形mnqp=2(PM+QN)MN=工愿17L_3当2Mt<3时，Sg边形mnqp=5(PM+QN)MN=币+万通点评：此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（几何中等量关系）例6：（2009四川乐山）.如图（15）,在梯形ABCD中，DC/AB,NA=90°,AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：4,动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿Bt Ct D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达

5、 终点时，另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为 t秒.(1)求边BC的长;(2)当t为何值时，PC与BQ相互平分;图(3)连结PQ,设4PBQ的面积为y,探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值最大值是多少6.解：（1）作CE_LAB于点E,如图（3）所示，则四边形AECD为矩形.AE =CD =4, CE =DA =6.又 i =3： 4,.CE 3EB 4.EB =8, AB =12.在RtACEB中，由勾股定理得：BC=,CE2+EB2=10.（2）假设PC与BQ相互平分.由DC/AB,则PBCQ是平行四边形（此时Q在CD上）.2222即CQBP,二3t10=122t.斛彳可

6、t=，即t=秒时，PC与BQ相互平分.55(3)当Q在BC上,10_即00t&一时，作QFAAB于F,则CE/QF.3QF BQ QFCE - BC，即"6"三包.QF -9t. S.10119t9cPBQ = PBQF =(12-2t )-= (t-3)2Q 2255当 t = 3 秒时，.S/x pbq有最大值为81厘米2.514一 一 , 一 1 1014-当Q在CD上，即w t 0 时，- S.1-1 PBQ =1PB CE =(12 2t) 6=36 -6t.22易知S随t的增大而减小.故当10t =秒时,3一 ，一 . ._ 102Sapbq 有最大值为

7、366 = 16厘米2.381一综上，当t=3时，S.PBQ有最大值为一厘米2.5例7：（包头）如图，已知ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中占（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度与点p的运动速度相等，经过1秒后，BPD与4CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使4BPD与4CQP全等（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在4ABC的哪条边

8、上相遇解：（1）;t=1秒，：BP=CQ=3>d=3厘米，.AB=10厘米，点D为AB的中点，：BD=5厘米.又PC=BCBP,BC=8厘米，PC=83=5厘米，PC=BD.又AB=AC,NB=NC,ABPDACQP.vP#vQ,BP/CQ,又BPDCQP,2B=/C,则BP=PC=4,CQ=BD=5,一BP4CQ515:点P，点Q运动的时间t=一秒，：vQ=厘米/秒.33Qt4431580（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得rx=3x+2乂10,解得x=、秒.43:点p共运动了 80父3 =80厘米.3. 80 =2父28 +24 ,：点P、点Q在AB边上相遇，：经过80

9、秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.3静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（相似）例8：（09济南）如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AD=3,DC=5,AB=4&,/B=45.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒.（1）求BC的长.（2）当MN/AB时，求t的值.（3）试探究：t为何值时，zMNC为等腰三角形.解：（1）如图，过A、D分别作AK_LBC于K,DH_LBC于H,则四边形ADHK是矩形KH=AD=3.在RtABK中，AK=ABsin45"=4,2.二

10、42BK=ABcos45=4在,RtACDH中，由勾股定理得,HC=5-4=3BC=BKKHHC=433=10,Dl(2)如图，过D作DG/AB交BC于G点,/U四边形ADGB是平行四边形MN/ABMN/DGBG=AD£Gc=1037由题意知，当M、N运动到t秒时,t、CM10-2t.DG/MN/NMCDNGM(图)AMNCszXGDCCNCM（3）分三种情况讨论：当CDCG图t10-2t,即一=解得，t575017NC=MC时，如图，即t=102tt10当MN=NC时，如图，过解法一：由等腰三角形三线合一性质得N作NE_LMCAD,一1NMC=10-2t=5-t22'MHE

11、D:NEC在RtACEN中，cosc=NCCHcosc二CDt=258/C=/C,ZDHC=/NEC=90*NECs'DHC-NCDCECHCt即一二55-t25t=81-1当MN=MC时，如图，过M作MF_LCN于F点.FC=-NC=-t解法一：（方法同中解法一）cosCFCMC10-2t3一=2解彳It56017解法二:/C=/C,/MFC=DHC=90"AMFCsDHCFCHCDCMC%10-2t即J=6017综上所述，当t10一、t325或t60人时，zMNC为等腰三角形17例9:（呼和浩特）如图，在直角梯形ABCm,AD/BG/ABC=90o,AB=12cm,AD=

12、8cm,BC=22cm,AB为。OPQ分别从点AC同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t(s).(1)当t为何值时，四边形PQCDJ平行四边形(2)当t为何值时，PQ与O。相切解：(1)直角梯形ABCD,AD/BC二PD/QC当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形.由题意可知：AP=t,CQ=2tccc8-8t=2t,3t=8,t=3_8.当t=s时，四边形PQCD为平行四边形.3(2)解：设PQ与0O相切于点H，过点P作PE1BC,垂足为E.直角梯形ABCD.AD/BC一A_PDBQC1的直径，动点P从点A开始沿AD&向点D以1cm/s的速度运动

13、，动点Q从点C开始沿CB&向点B以2cm/s的速度运动,，PE=AB由题意可知：AP=BE=t,CQ=2t.AB为。的直径，/ABC=NDAB=90°-AlW八C.BQ=BC-CQ=22-2tBEQD、BC为OO的切线:AP=PH,HQ=BQ在RtPEQ中，PE+EQ=PQ.12+(223t)=(22t)即：8t2一一，一、，一t-11t+18=0,(t2)(t9)=0，t1=2,t2=97分因为P在AD边运动的时间为AD=8=8秒，而t=9a8,t=9(舍去)11二当t=2秒时，PQ与OO相切.例10.如图，在矩形ABCD3,B(=20cm,P,Q,MN分别从A,B,GD出

14、发沿ADBGCBDA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若BQxcm(X=0),则AP=2xcm,CM3xcm,DNx2cm.(1)当x为何值时，以PQMN为两边，以矩形的边(AD或BC的一部分为第三边构成一个三角形；(2)当x为何值时，以P,QMN为顶点的四边形是平行四边形；(3)以P,QMN为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.解：-88t+144=0A-yP-TN-D/BQMC(1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQMNJ两边，以矢!形的边(AD或BC的一部分为第三边可能构成一个三角形.当点P与点N重合时，由x2+2x=20,彳#Xi=闵1,X2=肉1(舍去).因为BQCMx+3x=4(J2T1)<20,此时点Q与点M不重合.所以x=01_1符合题意.当点Q与点M重合时，2由x+3x=20,得x=5.止匕时DN=x=25>20,不符合题意.故点Q与点M不能重合.所以所求x的值为6-1.(2)由(1)知，点Q只能在点M的左侧，当点P在点N的左侧时，由20(x+3x)=20(2x+x2),解得x1=0(舍去)，x2=2,当x=2时四边形PQM睫平行四边形.当点P在点N的右侧时，由20_(x+3x)=(2x+x2)20,解