217一元二次方程根与系数的关系(2)

1、 一元二次方程一元二次方程 根根与与系数系数的关系的关系 下列方程的两根和与两根积各是多少？下列方程的两根和与两根积各是多少？ .X.X2 23X+1=0 3X+1=0 .3X.3X2 22X=22X=2 .2X.2X2 2+3X=0 +3X=0 .3X.3X2 2=1 =1 3.121 xx121xx32.221 xx23.321 xx0.421 xx3221xx3121xx021xx基本知识：应用一基本知识：应用一在使用根与系数的关系时，应注意：在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式；在使用在使用X1+X2= 时，时， 注意注意“ ”不要漏写

2、。不要漏写。ab应用二：已知根求系数应用二：已知根求系数 （m2-2)x2-1=0有一根是有一根是1，则，则m=_ 已知已知2，-1是方程是方程2x2+mx+n=0的两根，的两根，求求m,n（两种方法）（两种方法） 3x2-5x-2=0有一根是有一根是a，求，求6a2-10a的值的值 已知：方程已知：方程5x2+kx-6=0的一根是的一根是2，求，求方程的另一根及方程的另一根及k的值。的值。 例、例、 已知方程已知方程x x2 2-(k+1)x+3=0-(k+1)x+3=0的一个根是的一个根是2 ,2 , 求它的另一个根及求它的另一个根及k k的值。的值。用两种解法练习：练习： 已知方程已知方

3、程3x3x2 219x+m=019x+m=0的一个根是的一个根是1 1， 求它的另一个根及求它的另一个根及m m的值。的值。212xx21xx411412，xx，xx的两个根为方程设014221题题则：则：21xx2221xx221)(xx221)(xx221)(xx 214xx应用二：求值应用二：求值（x1 +1)(x2+1)=_,21.4xx练习练习2(1)设设 的两个实数根的两个实数根 为为 则则: 的值为的值为( )A. 1 B. 1 C. D.012 xx21, xx2111xx555A 求与方程的根有关的代数式的值时求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和

4、一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式两根之积的形式,再整体代入再整体代入.另外几种常见的求值另外几种常见的求值2111.1xx2121xxxx )1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221.2xxxx212221xxxx21212212)(xxxxxx21.4xx221)(xx 212214)(xxxx韦达定理的限定条件：=b2-4ac?0 关于x的方程4x2+(a2-3a-10)+4a=0的两根互为相反数，求a的值练习练习1已知关于已知关于x的方程的方程012) 1(2mxmx当当m= 时时,此方程的两根互为相反数此方程的两根互为相反数.当当m= 时时,此方程的两根互

5、为倒数此方程的两根互为倒数.11分析分析:1.0121mxx2.11221mxx解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关系得 X X1 1+X+X2 2=-k=-k， X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+ X X2 2 2 = 4 = 4 即即( (X X1 1+ X X2 2)2 -2-2X X1 1X X2 2=4 =4 K K2 2- 2(k+2- 2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 = = K K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时， 0 0当当k=-2k=-2时，时， 0 0 k=-2 k=-2解得：解得：k=4

6、或或k=2题：题： 已知方程的两个实数根已知方程的两个实数根 是是且且 求求k k的值。的值。 022kkxx2, 1xx42221 xx 已知ABC的两条边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两根，第三边长为5，当k为何值时，三角形是以BC为斜边的直角三角形？韦达定理的限定条件：=b2-4ac?0031222mxx0)(22121xxxx利用根与系数的关系求字母的取值范围利用根与系数的关系求字母的取值范围两个负根两个负根一正根，一负根一正根，一负根0X1X20两个正根两个正根0X1X20X1+X20拓展：拓展：方程方程2X2-mX+m-3=0有一个正根，一有一个正根，一个负根，求个负根，求

7、m的取值范围。的取值范围。0X1X20X1+X20以以 为两根的一元二次方程为两根的一元二次方程(二次项系数为二次项系数为1)为为:0)(21212xxxxxx2,1xx应用三：已知两根求作新的方程应用三：已知两根求作新的方程qxxpxxxxqpxx2121212,0则：，的两根为若方程特别地：反之：反之：p=-(x1+x2), q=x1x2练习练习:1.以以2和和 为根的一元二次方程为根的一元二次方程（二次项系数为）为：（二次项系数为）为：062 xx题题4. 点点p(m,n)既在反比例函数既在反比例函数 的的图象上图象上, 又在一次函数又在一次函数 的图象上的图象上,则以则以m,n为根的一

8、元二次方程为为根的一元二次方程为(二次项系数为二次项系数为1): )0(2xxy2xy解解:由已知得由已知得,mn22mn即mn=2 m+n=2所求一元二次方程为所求一元二次方程为:0222xx题题5 5 以方程以方程X X2 2+3X-5=0+3X-5=0的两个根的相反数为根的的两个根的相反数为根的方程是（方程是（ ）A、y y2 23y-5=0 B3y-5=0 B、 y y2 23y-5=0 3y-5=0 C、y y2 23y3y5=0 D5=0 D、 y y2 23y3y5=05=0B分析分析:设原方程两根为设原方程两根为 则则:21, xx5, 32121xxxx新方程的两根之和为新方

9、程的两根之和为3)()(21xx新方程的两根之积为新方程的两根之积为5)()(21xx题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。2和-1解法(一):设两数分别为x,y则:1 yx2 yx解得:x=2y=1或 1y=2解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:022 aa求得1, 221aa两数为2,利用构建方程知两个数的和与积，求两数利用构建方程知两个数的和与积，求两数 求作新的一元二次方程时求作新的一元二次方程时:1.先求原方程的两根和与两根积先求原方程的两根和与两根积.2.利用新方程的两根与原方程的两根之利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系间的关系,求新方程的两根和

10、与两根积求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积或由已知求新方程的两根和与两根积)3.利用新方程的两根和与两根积利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程求作新的一元二次方程. (2)(2)求一个一元二次方程，使它的两个根分别求一个一元二次方程，使它的两个根分别为为2 2和和3;3;-4-4和和7;7;3 3和和-8;-8;-5-5和和-2-2x2-5x+6=0 x2-3x-28=0(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0(x+5)(x+2)=0(x+4)(x-7)=0(x-2)(x-3)=0 x2+7x+10=0利用因式分解：利用因式分解：AB=0来构建方

11、程来构建方程利用根的定义来构建方程 已知3a2+5a+2=0,3b2+5b+2=0.求证a,b为方程3x2+5x+2=0的两根，并求a/b+b/a的值 已知：p2-p-1=0,1-q-q2=0,且pq1，求pq+1/qw我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：二次三项式 ax2+bx+c的因式分解;)3(9622xxx? 有没有规律看出了点什么.?91242xx;6, 1067:212xxxx得解方程开启 智慧);3)(2(652xxxxw但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(ao),怎么把它分解因式呢?.?4732xx观察下列各式,也许你能发现些什么);6)(1(672xxxx而; 1, 3032:212xxxx得解方程);1)(3(322xxxx而;23,2309124:212xxxx得解方程);23)(23(491242xxxx而; 1,340473:212xxxx得解方程);1)(34(34732xxxx而w一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(ao),只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(ao),的两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(