第19讲_等腰三角形

1、一、选择题一、选择题( (每小题每小题6 6分，共分，共3030分分) )1.(20101.(2010东阳中考东阳中考) )已知等腰三角形的一个内角为已知等腰三角形的一个内角为4040，则，则这个等腰三角形的顶角为这个等腰三角形的顶角为( )( )(A)40(A)40 (B)100 (B)100(C)40(C)40或或100100 (D)70 (D)70或或5050【解析解析】选选C.40C.40若是底角，则顶角为若是底角，则顶角为180180-40-402=1002=100, ,4040为顶角亦满足题意为顶角亦满足题意. .2.2.如图，等边如图，等边ABCABC的边长为的边长为3 3，P

2、P为为BCBC上一点，且上一点，且BP=1BP=1，D D为为ACAC上一点，若上一点，若APD=60APD=60，则，则CDCD的长为的长为( )( )【解析解析】选选B.B=60B.B=60, ,BAP+APB=120BAP+APB=120. .APD=60APD=60,CPD+APB=120,CPD+APB=120, ,BAP=DPC,BAP=DPC,ABPABPPCD,PCD, AB=3,BP=1,PC=2,CD= .AB=3,BP=1,PC=2,CD= .233.(20103.(2010宁波中考宁波中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=36A=36，

3、BDBD、CECE分别是分别是ABCABC、BCDBCD的角平分线，则图中的等腰三角的角平分线，则图中的等腰三角形有形有( )( )(A)5(A)5个个 (B)4(B)4个个(C)3(C)3个个 (D)2(D)2个个【解析解析】选选A.A.因为因为AB=ACAB=AC，A=36A=36，所以，所以ABC=ACB=72ABC=ACB=72. .由由BDBD、CECE分别是分别是ABCABC、BCDBCD的角平分线，可得的角平分线，可得ABD=CBD=ACE=BCE=36ABD=CBD=ACE=BCE=36, ,所以所以ABCABC、BCDBCD、ABDABD、BCEBCE、DCEDCE都为等腰三

4、角形都为等腰三角形. .4.(20104.(2010临沂中考临沂中考) )如图，如图，ABCABC和和DCEDCE都是边长为都是边长为4 4的等边的等边三角形，点三角形，点B B、C C、E E在同一条直线上，连接在同一条直线上，连接BDBD，则，则BDBD的长为的长为( )( )【解析解析】选选D.D.过点过点D D作作DFCEDFCE于点于点F F，在，在RtRtBDFBDF中，中，DF= ,BF=6,DF= ,BF=6,所以所以BD= .BD= .2 34 35.5.如图所示，已知等边三角形如图所示，已知等边三角形ABCABC的边长为的边长为1 1，按图中所示的，按图中所示的规律，用规律

5、，用2 0082 008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( )( )(A)2 008 (B)2 009 (C)2 010 (D)2 011(A)2 008 (B)2 009 (C)2 010 (D)2 011【解析解析】选选C.C.第一个四边形由两个三角形组成，周长为第一个四边形由两个三角形组成，周长为4 4；第；第二个四边形由三个三角形组成，周长为二个四边形由三个三角形组成，周长为5 5；第三个四边形由四；第三个四边形由四个三角形组成，周长为个三角形组成，周长为6 6；第第n n个四边形的周长为个四边形的周长为n+3n+3，所以，所以由由2 008

6、2 008个三角形组成的四边形的周长为个三角形组成的四边形的周长为2 010.2 010.二、填空题二、填空题( (每小题每小题6 6分，共分，共2424分分) )6.6.如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD平分平分BAC,AB=AC-BD,BAC,AB=AC-BD,则则BCBC的值是的值是_._.【解析解析】延长延长ABAB至至E,E,使使AE=AC,AE=AC,连结连结DE,DE,ADAD平分平分BAC,BAD=CAD.BAC,BAD=CAD.AD=AD,AD=AD,AEDAEDACD,E=C.ACD,E=C.AB=AC-BD,AB=AE-BD=AB+BE-BD.AB=AC-BD

7、,AB=AE-BD=AB+BE-BD.BE=BD,E=BDE,ABC=E+BE=BD,E=BDE,ABC=E+BDE=2E=2C.BDE=2E=2C.即即ABCC=21.ABCC=21.答案：答案：21217.7.在直角坐标系中，在直角坐标系中，O O为坐标原点，为坐标原点，A(1A(1，1)1)，在，在x x轴上确定一轴上确定一点点P P，使，使AOPAOP为等腰三角形，则符合条件的点为等腰三角形，则符合条件的点P P共有共有_个个. .【解析解析】如图，以如图，以O O为圆心，为圆心，OAOA为半径作圆为半径作圆交交x x轴于轴于E E、B B，E E、B B可以为可以为P P；以；以A

8、A为圆心，为圆心，AOAO为半径作圆交为半径作圆交x x轴于轴于C,C,则则C C可以为可以为P P；作；作OAOA的中垂线交的中垂线交x x轴于轴于D.D.则则D D可以为可以为P.P.所以符合条件的点所以符合条件的点P P共共4 4个个. .答案：答案：4 48.8.如图如图, ,在等边在等边ABCABC中中,D,E,D,E分别是分别是AB,ACAB,AC上的点上的点, ,且且AD=CE,AD=CE,则则BCD+CBE=_BCD+CBE=_度度. .【解析解析】ABCABC为等边三角形，为等边三角形，AB=AC=BCAB=AC=BC，A=ABC=ACB=60A=ABC=ACB=60. .又

9、又AD=CE,AD=CE,ACDACDCBE,CBE,ACD=CBE,ACD=CBE,BCD+CBE=BCD+ACD=BCA=60BCD+CBE=BCD+ACD=BCA=60. .答案：答案：60609.(20109.(2010广安中考广安中考) )小敏将一张直角边为小敏将一张直角边为1 1的等腰直角三角形的等腰直角三角形纸片纸片( (如图如图1)1)，沿它的对称轴折叠，沿它的对称轴折叠1 1次后得到一个等腰直角三次后得到一个等腰直角三角形角形( (如图如图2)2)，再将图，再将图2 2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形后得到一个等腰直角三

10、角形( (如图如图3)3)，则图，则图3 3中的等腰直角三中的等腰直角三角形的一条腰长为角形的一条腰长为_；同上操作，若小敏连续将图；同上操作，若小敏连续将图1 1的等的等腰直角三角形折叠腰直角三角形折叠n n次后所得到的等腰直角三角形次后所得到的等腰直角三角形( (如图如图n+1)n+1)的一条腰长为的一条腰长为_._.【解析解析】第第1 1次折叠，即图次折叠，即图2 2的一条腰长是的一条腰长是 ，第，第2 2次折叠，次折叠，即图即图3 3的一条腰长是的一条腰长是( )( )2 2，第，第3 3次折叠，即图次折叠，即图4 4的一条腰长是的一条腰长是( )( )3 3，以此类推，第，以此类推，

11、第n n次折叠后的等腰直角三角形的一条腰次折叠后的等腰直角三角形的一条腰长是长是( )( )n n. .答案：答案： 22222222三、解答题三、解答题( (共共4646分分) )10.(1010.(10分分)(2010)(2010聊城中考聊城中考) )如图，在如图，在等边等边ABCABC中，点中，点D D是是BCBC边的中点，以边的中点，以ADAD为边作等边为边作等边ADE.ADE.(1)(1)求求CAECAE的度数；的度数；(2)(2)取取ABAB边的中点边的中点F F，连结，连结CFCF、CECE，试证明四边形，试证明四边形AFCEAFCE是矩形是矩形. .【解析解析】(1)(1)在等

12、边在等边ABCABC中，中，点点D D是是BCBC的中点，的中点，DAC=30DAC=30，又又ADEADE是等边三角形，是等边三角形，DAE=60DAE=60，CAE=DAE-DAC=30CAE=DAE-DAC=30. .(2)(2)由由(1)(1)知，知，EAF=90EAF=90，由，由F F为为ABAB的中点知的中点知CFA=90CFA=90, ,CFEACFEA，在等边，在等边ABCABC中，中，CF=ADCF=AD，在等边在等边ADEADE中，中，AD=EA,AD=EA,CF=EACF=EA，四边形四边形AFCEAFCE是平行四边形，是平行四边形，又又CFA=90CFA=90，所以四

13、边形，所以四边形AFCEAFCE是矩形是矩形. . 11.(1211.(12分分) )如图，在如图，在ABCABC中，中，BCACBCAC，点，点D D在在BCBC上，且上，且DCDCAC,ACBAC,ACB的平分线的平分线CFCF交交ADAD于于F F，点，点E E是是ABAB的中点，连结的中点，连结EF.EF.(1)(1)求证：求证：EFBC;EFBC;(2)(2)若四边形若四边形BDFEBDFE的面积为的面积为6 6，求，求ABDABD的面积的面积. .【解析解析】(1)CF(1)CF平分平分ACB,ACB,1=2.1=2.又又DC=AC,DC=AC,CFCF是是ACDACD的中线，的中

14、线，点点F F是是ADAD的中点的中点. .点点E E是是ABAB的中点，的中点，EFBD,EFBD,即即EFBC.EFBC. (2)(2)由由(1)(1)知，知，EFBDEFBD，AEFAEFABD, ABD, 12.(1212.(12分分)(2010)(2010乌鲁木齐中考乌鲁木齐中考) )如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，BEBE平分平分ABCABC交交ADAD于点于点E E，DFDF平分平分ADCADC交交BCBC于点于点F.F.(1)(1)求证：求证：ABEABECDF;CDF;(2)(2)若若BDEFBDEF，则判断四边形，则判断四边形EBFDEBFD是什

15、么特殊四边形，请证明是什么特殊四边形，请证明你的结论你的结论. .【解析解析】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，A=CA=C，AB=CDAB=CD，ABC=ADC.ABC=ADC.BEBE平分平分ABCABC，DFDF平分平分ADCADC，ABE=CDF,ABE=CDF,ABEABECDF(ASA).CDF(ASA).(2)(2)由由ABEABECDF,CDF,得得AE=CF,AE=CF,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，AD=BC,AD=BC,DEBF,DE=BF,DEBF,DE=BF,四边形四边形EBFDEBFD是平行四边形

16、是平行四边形. .若若BDEFBDEF，则四边形，则四边形EBFDEBFD是菱形是菱形. . 1313(12(12分分) )如图，等边三角形如图，等边三角形ABCABC边长为边长为4 4，E E是边是边BCBC上动点，上动点，EHACEHAC于于H H，过，过E E作作EFACEFAC，交线段，交线段ABAB于点于点F F，在线段，在线段ACAC上取点上取点P P，使，使PE=EB.PE=EB.设设EC=x(0EC=x(0 x2).x2).(1)(1)请直接写出图中与线段请直接写出图中与线段EFEF相等的两条相等的两条线段线段( (不再另外添加辅助线不再另外添加辅助线) )；(2)Q(2)Q是

17、线段是线段ACAC上的动点，当四边形上的动点，当四边形EFPQEFPQ是是平行四边形时平行四边形时, ,求求 EFPQEFPQ的面积的面积( (用含用含x x的代数式表示的代数式表示) )；(3)(3)当当(2)(2)中的中的 EFPQEFPQ面积最大时，以面积最大时，以E E为圆心，为圆心，r r为半径作圆，为半径作圆，根据根据E E与此时与此时 EFPQEFPQ四条边交点的总个数，求相应的四条边交点的总个数，求相应的r r的取的取值范围值范围. .【解析解析】( ()BE)BE、PEPE、BFBF三条线段中任选两条三条线段中任选两条( () )在在RtRtCHECHE中，中，CHECHE9090，6060，H H x.x.PQ=EF=BE=4-x,PQ=EF=BE=4-x,32当当x x时，时， 有最大值有最大值此时此时E E、F F、P P分别为分别为ABCABC三边三边BCBC、ABAB、A