高等数学教学参考资料

1、第一章 函数与极限1.1 本章的教学目的1熟练掌握函数的定义、表示法掌握函数的四大性质：单调性、奇偶性、周期性和有界性；2熟练掌握复合函数的定义，能正确地分析复合函数的复合过程；3熟练掌握基本初等函数的种类及其性质特征；4理解初等函数的定义，能建立简单实际问题中变量的函数关系5了解数列极限的概念，掌握函数极限的概念，会求函数极限；6掌握无穷小、无穷大的定义及性质，能进行无穷小的比较并能熟练掌握等价无穷小替换求函数极限7掌握函数连续的概念，认识连续函数的性质；8会求函数的间断点以及能够判断函数间断点的类型1.2 主要内容1.2.1 函数的概念1函数的定义函数是高等数学研究的基本对象，其中函数的定

2、义域和对应法则是函数的两个要素，只有定义域和对应法则确定了，函数才能完全确定（1）函数的定义域是函数概念的重要因素，是由使式子有意义的自变量的取值范围确定，而在实际问题中，函数的定义域根据问题的实际意义确定（2）两个函数只有定义域和对应法则都相同时才能说是同一函数2函数的简单性质函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性是函数的主要特征，它们不仅可以直观表现函数的形态，而且也是进一步研究函数所不可缺少的工具（1）函数奇偶性的讨论是就定义域为对称区间而言的，离开这个条件无从谈函数的奇偶性特别地，函数既是奇函数又是偶函数是一个奇函数（2）由函数的有界性我们有，从图像上来看，有界函数的图像完全落在以直线及

3、为边的带形区域内1 / 1113. 初等函数（1）在高等数学和工程技术中的研究中最常见的函数是初等函数，初等函数是由基本初等函数和常数经过有限次四则运算或有限次复合并能够用一个式子表示的函数，初等函数的定义虽未包含乘方和开方运算，但通过幂函数的复合，也可以包含这两种运算因此基本初等函数显得尤其重要，特别是由图形来牢固记忆它们的定义域和性质是我们学习这部分的关键（2）复合函数的学习关键是要把一个复杂的函数在引入中间变量后分成几个简单函数，复合函数的分解步骤是由运算的最外层起逐层往里分解，并要求分解到不能再分解，其分解的结果是基本初等函数或基本初等函数与常数的四则运算1.2.2 函数的极限极限是微

4、积分最重要的基本概念之一微积分的许多概念都是用极限表述的，一些重要的性质和运算法则也是通过极限方法推导出来的1.极限思想与极限的定义极限的概念反映了函数在自变量某一变化过程中，因变量的某种一致的变化趋势，极限是高等数学的基本概念，极限方法是高等数学研究问题的根本方法，也是研究微积分的重要工具极限的定义本教材采用的是描述性定义，没有采用分析定义（定义）；特别，数列即整序变量，又称整标函数，所以数列极限可看做函数极限的特殊情况2.极限运算（1）极限的四则运算法则必须注意法则运用的前提条件，即和，只要有一个不存在都不能使用，否则会出现错误，如，错在时，上式两项极限均为无穷大，极限不存在，所以不能用差

5、的运算（2）求极限的方法 求极限的题型比较灵活，方法较多，现将常用的方法归纳如下：利用极限的四则运算法则求解；利用分子、分母的有理化求解；利用有界函数与无穷小的乘积为无穷小的结论求解；利用三角恒等变化求解；利用两个重要极限求解；利用等价无穷小替代法求解；利用函数连续性求解1.2.3 无穷小量1.无穷小的定义（1）无穷小即是极限为的函数，一个函数是否为无穷小是与自变量的变化趋势相联系的，即说一个函数是无穷小，必须指出自变量的变化趋势；不要把无穷小与很小的数相混淆，如虽然是很小的数，但其极限还是它本身，并不是零，在常数中，可做为无穷小的唯一一个数就只有零（2）在利用无穷小的性质进行计算时，务必注意

6、“有限个”这个条件，否则会出现计算错误（3）无穷小与函数极限之间有如下重要关系：的充要条件是，其中为当时的无穷小量，即与相互等价，这种相互转换在后面学习导数运算法则和建立微分概念时要用到，因此对这个重要关系应该有所了解2.等价无穷小的应用不同的无穷小趋于零的快慢程度不一样，在极限的求解中我们用得较多的是等价无穷小的替换，在具体应用中要注意：（1）自变量的同一变化趋势；（2）求函数极限时，只有乘除关系才能替换；（3）当时，几个常用的等价无穷小为 ； ； ； ； ； ； ； 1.2.4 函数的连续性与间断1连续函数的概念微积分研究的对象是函数，我们所遇到的函数常常是连续或分段连续的，从图像上来看连

7、续曲线的函数就是连续函数，判断函数的连续性与函数的微分和积分有重要的联系，闭区间上的连续函数有许多重要的性质，所以正确理解函数的连续性定义至关重要函数在点处连续有两种等价的形式：等价于，这两种形式表达同一个概念，但在应用中，第一种多用在讨论、判断函数在某一点的连续性（间断）第二种多用在证明函数的连续性和一些理论推导2. 函数连续性判断函数在一点的连续和极限是不同的，在一点的极限只考虑该点附近的变化情况，与函数在该点是否有定义无关；而在一点的连续，不仅要考虑在该点的变化情况，而且要考虑函数在该点的函数值是否存在函数在该点的连续要满足三个条件才是连续的，否则间断，根据情况的不同可得到函数的间断的判

8、定：即第一类间断点（极限存在）和第二类间断点（函数左右极限至少一个不存在）初等函数在其定义域都是连续函数，因此，初等函数的连续区间就是该函数的定义域区间，间断点一定不在定义区间内：分段函数不是初等函数，一般来说，分段函数一般在分段点处讨论其连续性1.3 主要公式1. 极限与连续 ，：，1.4 本章的重点和难点1 函数的定义，基本初等函数的图象和性质及复合函数的概念，复合函数复合过程的与分解，初等函数的概念2理解极限的概念，掌握几种基本的极限计算方法，掌握运用两个重要极限进行极限的计算，会用无穷小的性质求极限；3理解函数在某一点连续的概念，函数间断点的分类，了解闭区间上连续函数的最值定理和介值定

9、理1.5 典型例题与习题分析例1 求函数的定义域分析 该函数是个解析式函数，由三项组成，它的定义域是这三项定义域的公共部分，即三项有意义的“交”解 要使函数有意义，要满足下列不等式组解得 所以，函数的定义域为例2 分析函数的分解分析 由函数错误！链接无效。的代值计算过程，即先计算，而后计算，最后计算所以，由复合函数的分解与代值计算步骤相同，顺序相反的关系得到函数的分解为：，例3 求下列函数极限（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 解（1）本题直接利用极限的四则运算法则求解和函数连续性定义求解所以 原式解（2） 本题为型，一般可用分母的最高次幂去除分子、分母的各项，进行

10、变形，然后利用四则运算法则求解，另可直接利用公式求解所以 原式解（3） 本题为无理分式的极限，一般利用分子、分母的有理化求解所以 原式解（4） 本题是型，包括对型不定式，一般不能直接用极限的减法和乘法运算，而是先设法化为型或型再求解所以 原式解（5） 错解 ，没注意也应换成，所以不能用第一重要极限，而应该用有界函数与无穷小的乘积为无穷小的结论求解所以，原式解（6） 本题为经三角恒等变形后使用第一重要极限求解原式解（7） 本题为型，变形后可考虑使用第二重要极限求解原式解（8） 本题型利用等价无穷小替代法求解所以 原式注 在利用等价无穷小替代法求解时，必须注意只能对乘除的因子进行，不能对加减进行，

11、例如下面的计算是错误的，正确的解法是三角变换后变成乘积再利用无穷小替换例4 设函数，求（1）函数的定义域；（2）求间断点，并说明类型；（3）求连续区间解 （1）的定义域是（2）该函数是分段函数，讨论分界点和对，有，而，从而有，因此，函数在点是跳跃间断点对，有，而，从而有，因此，函数在点连续（3）函数的连续区间是第二章 导数与微分2.1 本章的教学目的 1熟练掌握函数导数的定义、表示法2. 熟练掌握基本初等函数的求导公式、四则运算的求导法则和复合函数的求导方法，进而能熟练求初等函数的求导数3掌握隐函数、参数方程所确定的函数的求导方法4会求函数的高阶导数5. 掌握微分的定义及计算6 理解可导与连续

12、的关系，可导与可微的关系7掌握导数的几何意义，能运用导数的概念解决简单的实际问题2.2 主要内容2.2.1 基本概念1导数的定义导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在处可导，并称这个极限为函数点处的导数记为,即 ，可记作 ,或. 导数的几何意义：平面曲线在曲线上一点处的切线方程、法线方程求法2 微分的定义微分的定义 设函数在某区间内有定义,及在这区间内,如果函数的增量可表示为，其中是不依赖于的常数,而是比高阶的无穷小量，则称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分,记作,即2.2

13、.2 导数的计算1基本初等函数的求导公式（见下面的主要公式）（1） （2） （3），（且） 特别地 （4） ，（且） 特别地 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14）2 函数的四则运算的求导公式设都是的可导函数，则定理 设函数都在处可导，则在处也可导，且证：当取得增量时，函数分别取得改变量，于是函数取得相应的增量 则所以，定理 设函数都在处可导，则在处也可导，且证 当取得增量 时，对应的函数值的增量为，则 可推广到多个函数的乘积的求导：定理 设函数都在处可导且，则在处也可导，且证 由定义3复合函数的求导法则 定理 设函数，即是的复合函数若在点处可

14、导，在对应点可导，则复合函数在可导，且证 设取得增量，则取得相应的改变量，从而取得相应的改变量，则 ， 当时，有由可导，知其连续，所以，当时，则 所以 可以推广到多层复合的情形：设，这是一个三层复合函数，其求导法则：此即复合函数的链式法则4反函数的求导 *定理 设函数在点处的导数非零，且其反函数在相应点处连续，则存在，且 或证 当的反函数的自变量取得改变量时，因变量取得相应的改变量，当时，必有，否则将和是一一对应的（这是反函数存在性所要求的）相矛盾因此，当时，有 又因在相应点处连续，所以当时，于是，由上式及，可得例 求 的导数解 的反函数为 而注意到所以 同理 事实上，关于反函数的求导，可以先

15、反解出，得到关于的函数，然后就关于求导，得到关于的表达式，然后再把关于的表达式代入，取倒数，即可得到关于的导数的表达式5高阶导数导函数本身也是一个函数，那么，导数的导数就是二阶导数，即， 类似地，可定义的阶导数的导数为的阶导数，记作，或即6隐函数的求导与参数方程的求导由方程所确定是的函数，称为隐函数如果函数可导，则可利用复合函数求导公式求出隐函数对的导数一般地，参数方程表示为： 则 7函数微分.函数的微分函数在点处可微与可导是等价的,即可导必可微，可微必可导此外，无论是自变量还是中间变量，微分形式都保持不变，微分的这一性质称为一阶微分的形式不变性*利用微分进行近似计算：当很小时，有两个近似计算

16、公式：（1）（2）因此可以利用容易计算的和来近似计算不易计算的函数改变量和2.3 本章的重点和难点重点：1理解导数的定义：是微商，的极限2基本初等函数的求导法则3函数的四则运算的求导法则4复合函数的求导法则5理解可微与可导之间的等价关系6初等函数的微分运算难点：1复合函数的求导关键是要让学生弄清楚复合函数的结构，然后逐层求导 2隐函数的求导法则对隐函数所确定的是的函数，利用复合函数求导公式可求出隐函数对的导数；关键是要让学生理解是关于的函数，所以在对的表达式求导时，记得还要对关于求导，得到关于、及的关系式，然后解出*3 幂指函数的求导若，则2.4 典型例题与习题分析例1 讨论函数在处的连续性与

17、可导性解 在处，因为 所以 在处连续又 不存在故 在不可导还可引导学生用类似的方法讨论函数；在的连续性与可导性例2 求函数 的导数解 强调函数乘积的求导法则，避免学生犯这样的错误：例3 求曲线平行于直线的切线方程解 设切点为则曲线在点处的切线斜率为则因为切线平行于直线,所以，所求的切线方程为 例4 函数 求解 首先注意函数是与的乘积求时先用积的求导法则在求 、时用复合函数求导的链式法则 =例5 设 求解 在等式两边取绝对值后再取对数，有ln两边对求导，有所以 例6设，求解 分析：是幂指函数，幂指函数不是初等函数，不能用初等函数的求导法则；一定要取对数但是如果直接对两端取对数，注意 正确的做法是

18、：令 再对函数等式两边取对数，有两端对求导有 于是 所以 例7 设，求解 ，一般地，有例8 函数,求解 由于 ， (1)，例9 求摆线 (为常数)在时的切线方程解 摆线上的点为，又故摆线在处的切线斜率，所求的切线方程为，即 例10 设炮弹从地平线上某点射出时，初速的大小为，方向与地平线成角，如果不计空气阻力，求：(1) 炮弹在时刻的速度；(2) 如果中弹点A也在地平线上，求炮弹的射程解 以发射点为原点，地平线为轴，如图建立坐标系，设时刻炮弹所在位置为，则， (1) 炮弹的运动是变速的曲线运动，它在时刻的速度可由水平分速度表示为：，垂直分速度表示为：因此炮弹在时刻t的速度大小速度的方向(与轴的夹

19、角记为)满足(2) 中弹点A在轴上，即，解此方程得中弹点A对应的时刻射程*利用微分进行近似计算由微分的定义知，当很小时，有，所以，我们可得到两个近似计算公式：（1） 近似地求函数值的增量（2） 近似地求函数值例11 计算的近似值解 这里，令，将取为1，而将取为（比较小），利用近似计算公式，有2 例12 计算的近似值解 因为 的绝对值很小所以 常用的近似计算公式当很小时，有(1) ; (2) （以弧度为单位)；(3) ; (4) （以弧度为单位)；例13 半径为的金属圆片加热后，半径增加了，问面积大约增大了多少？ 解 设圆片的面积为，半径为，则当自变量在处有改变量时，面积的改变数量为，有 所以面

20、积大约增长了第三章 导数的应用3.1 本章的教学目的1掌握用洛比达法则求极限的基本方法，即未定型“”、 “”、 “”、 “”的极限求法2掌握罗尔定理和拉格郎日中值定理的条件、结论；3掌握函数的单调区间、凹凸区间、极值、拐点的求法；了解函数草图的描绘4掌握函数最值的求法并能解决一般的应用问题（涉及到物理、力学及其它学科知识的问题不作为重点）；3.2 主要内容3.2.1 洛比达法则洛必达法则（求极限）设 (1) 设函数，满足；(2) 在的某个空心邻域内，都存在，且； (3) (A可为有限数也可为无穷大) 用洛必达法则求一些“”的极限比过去的方法简便得多，但需要注意以下几点： 1该定理对于x时的“”

21、仍然成立；2对于两个无穷大的比的极限“”，有完全类似于的洛必达法则； 3用洛必达法则时必须是“”， “”两种未定式的一种；不是未定式的极限决不能用洛必达法则4使用一次洛必达法则后仍是不定式时，可连续使用洛必达法则，但连续使用前应注意化简极限的式子，若式中有极限值为非零常数的因式，则可先行求出；5与其它求极限的方法综合运用（如等价无穷小的替换），注意选择简便的解法； 6洛必达法则的条件是充分而不必要的条件，若不存在时，不能断定不存在，这时应使用其它方法求解3.2.2 两个中值定理(罗尔定理) 若函数满足： (1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导；(3) 则在 内至少存在一点，使得(拉格朗

22、日定理) 函数满足： （1）在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；则在内至少存在一点使 拉格朗日中值定理的结论也可写作： 拉格郎日中值定理是罗尔中值定理的推广，而罗尔定理却可看成拉格郎日中值定理的特例并且拉格郎日中值定理可在构造一个辅助函数的基础上，转化成罗尔中值定理得到证明其证明如下：*证 作辅助函数 ，由定理的条件和一次函数的性质可知函数在闭区间上满足罗尔定理的条件(1)、(2)又 ,由罗尔定理，在内至少有一点使 推论1 若函数在开区间内，则在该区间上是一个常数推论2若在开区间内，则在该区间上有3.2.3 函数的单调区间与极值、最值，凹凸区间及拐点1利用函数的一阶导数确定函数的单调区间与极

23、值设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，(1) 若当时，恒有，则函数在闭区间上单调增加；(2) 若当时，恒有，则函数在闭区间上单调减少极值点即是函数单调递增与单调递减的分界点如果函数在某个区间是单调的，则在该区间上函数无极值；一般地：一个函数在区间可以有多个极值，极值是极值点附近的局部性质，极大值与极小值之间没有可比性极值点一定是函数的驻点或不可导点，而驻点和不可导点则不一定是极值点极值存在的第一充分条件：设函数在点的某一去心邻域内可导且，则(1) 若当 时，；当 时，则函数在处取得极大值；(2) 若当 时，；当 时，则函数在处取得极小值注意：不可导点也可能是极值点，需看该点左、右两端一阶导数

24、的符号是否异号而定极值存在的第二充分条件：设函数在点的某一邻域内二阶可导，且，则(1) 当时，函数在处取得极大值；(2) 当时，函数在处取得极小值有时第二充分条件在应用时比第一充分条件简便，但它应用时有相当的局限性2 利用二阶导数求函数的凹凸区间及拐点设函数在闭区间上连续，且在开区间内具有二阶导数，如果对于任意，有(1) ，则函数在闭区间上是凹的；(2) ，则函数在闭区间上是凸的凹与凸的分界点称为拐点设函数在点的某一邻域内三阶可导，且，则（）一定是函数的拐点3求函数的最值及最值的一般应用函数的最值点一定是驻点、不可导点、或区间的端点比较这些点处的函数值即可得到最大值和最小值3.3 本章的重点和

25、难点重点： 利用一阶导数求函数的单调区间及极值正确理解极值的定义，以及极值存在的必要不充分条件：若可导函数在处取得极值，则一定有正确应用极值存在的第一、第二充分条件求函数的极值难点：两个中值定理的条件及结论，利用拉格郎日中值定理证明不等式利用函数的单调性证明不等式3.4 典型例题与习题分析例1 求极限这是一个型的未定型，必须先通过恒等变形，变为“”型或“”型，再用洛必达法则求解解型 例2 求极限分析：“”未定型一定是先作变换：通分解 例3 求极限解 这是一个“”型未定型故 例4 证明：当时，证 设，则 在上连续且；在内，所以函数在单调增加，故时，从而 在以上的证明中是对不等式作同解变形，使一端

26、为零、另一端设为辅助函数，利用辅助函数在上的单调性证明了不等式例5 对任意的，证明：分析利用函数的单调性可以证明某些不等式，但如果所设的函数在讨论的区间内不具有单调性时，可考虑用函数的最值来证明证设=,任意，有令,得唯一的实根， 又，所以函数在处取得极小值，也是最小值 因此对任意的，有0，即 例6 证明：当时，证 设，则对任意的，在闭区间上满足拉格郎日中值定理的条件，且因此，其中由于，因此从上式可得 于是例7 对某厂上午班(8001200)工人的工作效率的研究表明，一个中等技术水平的工人早上点开始工作，小时后共生产 个产品，问在早上几点钟这个工人工作效率最高? 解 这个工人的工作效率就是生产的

27、产品率，即的导数设，则这个工人工作效率最高的时间(上班以后的工作时间)即函数的最大值点由于 令 得 比较在端点、驻点（没有不可导点）的函数值，有 所以当，即上午点这个工人的工作效率最高 例8 求曲线的凹凸区间和拐点解 (1) 函数的定义域为；(2) ， 令 ，得；为不存在的点； （3）列表 不存在+由上表可见：区间，是曲线的凸区间，区间是曲线的凹区间；点，是曲线的两个拐点第四章 不定积分4.1 本章的教学目的1理解原函数，不定积分的概念与不定积分的性质.2熟悉不定积分的基本公式.3熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.4.2 主要内容1不定积分的基本概念原函数的概念：是的原函数，即或.2不

28、定积分的基本性质与基本积分公式不定积分的基本性质（1）设是不为零的常数，则；（2）；（3），；（4），.基本积分公式（1）；（2） （），；（3） （，），；（4），；，；，；（5）（或）， ；（6）（）， ；（7）（或）.4.3 求不定积分的方法凑微分法（第一换元积分法）和分部积分法分部积分法， 可用分部积分法的常见类型（1）；（2）；（3）；（4）.（为实数，为正整数）换元积分法（第二换元积分法）二次根式的三角函数代换如表4-1所示.表4-1 二次根式的三角函数代换根式形式选择的代换三角形表示图或令，或或令，或令，不能用初等函数表示的不定积分；常见的几个不能用初等函数表示的不定积分：， ，

29、 4.4 本章教学的重点和难点1教学重点：不定积分性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法.2教学难点：换元积分法，分部积分法4.5 典型例题与习题分析例1 若，则 .分析：在积分号内，只要对等式两边求导，积分号就去掉了.解 等式两边对求导，得从而. 例2 已知一条曲线上任意点处切线的斜率与该点的横坐标成正比，又知曲线过点（2，4），并在该点处的切线的倾角为，求该曲线方程.分析：这是由已知切线求曲线方程的问题，与已知曲线求切线方程相反.设曲线方程为，由题设知，由倾角可以求出，对方程两边积分求出，再根据曲线所通过的点确定常数.解 设曲线方程，切点的横坐标为，比例常数为，从而.由于，故，从而又曲

30、线过点（2，4），即，得.所以曲线方程为. 例3 求分析：把凑成，利用幂函数的积分公式求解.解 例4 计算不定积分分析：这是指数函数的积分，先化简，再直接用公式.解 原式 例5 求分析：用分部积分法，选，解 例6 设，求和解 则：，例7 计算定积分解 .注：对更一般的形式有 .当时，.也就是说，对任意的实数，很容易求出的原函数.例8 求解 分部积分得 例9 求下列积分分析：本题选择或与凑成微分都是一样的，但是用一次分部积分都不能求出，不过可以经过两次分部积分，得到关于的一个函数方程，从中可以解出，值得注意的是两次分部积分，的选择要一致.解 ，将移项，故. 注：本题的一般形式为或.所用方法与本题

31、一样，都是通过方程来求.请读者自己计算. 第五章 定积分5.1 本章的教学目的1了解定积分的定义，函数在上可积的充分条件2掌握定积分的性质，理解定积分中值定理3掌握积分上限函数的求导方法及其应用4熟练掌握微积分公式、定积分的换元积分法及分部积分法5掌握用定积分计算平面图形的面积和求旋转体体积的计算公式5.2 主要内容1定积分的概念与性质在上的定积分；1 分割； 2 近似地代替；3 求和； 4 取极限定积分的几何意义；定积分的基本性质关于函数可积性的几个重要结论：（1）可积函数必有界；（2）有限区间上的连续函数可积；（3）在有限区间上只有有限个间断点的有界函数可积2微积分基本定理变上限积分，变限

32、积分的求导公式：微积分基本公式：在上连续，其中是在上的一个原函数3定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法；强调换元一定要相应地换限注意对称区间上奇偶函数定积分的性质： （是奇函数）； （是偶函数）； 定积分的分部积分公式：4定积分的应用（1）平面图形的面积选为积分变量： 由，所围成的平面图形的面积；（上下）选为积分变量设平面图形由直线及两条曲线围成，如果在区间上，恒有，则其面积为；（右左）（2）旋转体的体积：由，轴及所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积；由，轴及所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积5.3 本章教学的重点和难点1教学重点：定积分的性质，微积分基本公式，定积分

33、的换元法与分部积分法，定积分的应用2教学难点：变上限积分函数的性质，微积分基本公式，定积分的换元法与分部积分法，定积分的应用5.4 典型例题与习题分析：例1 利用定积分的几何意义计算定积分图5-1分析：先变换被积函数，写出曲线方程并画图，再根据几何图形求面积解 由可得，这是圆心在（1，1）处的单位圆，的图形是下半圆周（如图5-1）所求定积分的值为图中阴影部分的面积，该面积等于边长为1的正方形面积减去个单位圆即例2 求下列变限积分的导数，其中连续 ，求；分析：注意到中是积分变量，相对于来说是常数，因此是与的乘积解 ，注意到因此 例3 求极限分析：求含有变限积分函数的极限，如果是型或型，一般用洛必

34、达法则该题被积函数中含有，应先移到积分号外才可以求导解 例4 求分析：先处理被积函数的绝对值，把化为分段函数，再由定积分的区间可加性分段积分解 例5 求极限 解 由于时，则 由夹逼定理 例6 计算定积分 分析：被积函数中含有和，自然应将凑微分，化成的函数解 注：在中积分变量仍然是，所以积分区间是若用进行换元，则积分变为因此在凑微分时，积分变量不换，积分上下限不变；只要换了积分变量，积分上下限就要跟着变 例7 求分析：被积函数是，应先通过变量替换化成的形式，然后再按被积函数的表达式分区间分段积分解 令，当时，当时， 例8 设在上连续，则 解 由定积分的分部积分法 例9 设，求解 ， 图5-2 例

35、10 求下列曲线所围成的平面图形的面积：（1），；（2），分析：求面积时，只需先画出曲线所围平面图形的草图，确定积分变量及积分的上下限（往往是曲线的交点），然后再积分，但要注意，在不知道被积函数正负的情况下，被积函数取绝对值，这样的定积分才表示一个平面图形的面积解 （1）画草图5-2 由，知两曲线的交点为 由图形可以看出，阴影部分的面积等于三角形的面积减去定积分 所以图5-3 （2）分析：这是半径为，圆心在原点的上半个圆与轴、抛物线所围图形的面积解 画草图 由图5-3可以看出阴影部分的面积为 例11 过原点作曲线的切线，求由切线、曲线及轴所围平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积分析：先画出草图（如

36、图5-4），求出切点坐标，再计算体积图5-4解 设切点坐标为，切线方程为，即由于切线过点（0，0），由此可知，即切点坐标为，从而第六章 多元函数微积分6.1 本章的教学目的 1认识空间直角坐标系。 2。理解向量的概念，掌握向量的运算（数量积、向量积）；熟练掌握用坐标表达式进行向量的运算；掌握两向量平行、垂直的充要条件；会求向量的模、方向余弦及两向量的夹角。 3了解平面方程，根据平面方程会在空间直角坐标系作出图形；了解直线方程；会根据简单条件求平面方程、直线方程。 4掌握多元函数的概念，掌握二元函数极限的概念，了解二元函数的连续的概念；会求简单二元函数的定义域，会求简单二元函数的极限。 5掌握偏

37、导数的概念；熟练掌握求二元函数的偏导数；会求二阶偏导数。 6掌握复合函数求偏导数的法则，会求多元复合函数的偏导数。 7。 掌握全微分的概念；熟练掌握二元函数的全微分求法。 8。 会求曲线的切线和法平面方程，曲面的切平面和法线方程； 9。 了解多元函数的极值概念；知道多元函数的极值的充分条件、必要条件；会求函数的极值；了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值； 10。 会求解一些简单的最大值和最小值问题。11。 掌握二重积分的概念；了解二重积分的性质。 12。 熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。 13了解利用MATLAB画曲面、空间曲线；了解利用MATLAB求多元函数的极值方法和

38、步骤；了解利用MATLAB求二重积分方法和步骤。 6.2 主要内容6.2.1 空间解析几何基本知识1空间向量空间向量是研究空间解析几何最有效的工具之一，可以用它来说明空间距离、中点坐标及平面方程，直线方程；方向和模是空间向量的两个要素。（1）空间向量的概念 模等于1的向量叫单位向量；模等于零的向量叫零向量，其方向是任意的；向量的相等：两个向量和的模相等，方向相同，则这两个向量相等。（2）利用坐标表示式求向量的模、方向余弦；两个向量与的数量积坐标表示式求数量积，数量积的结果是一个数量；两个向量与的向量积坐标表示式；利用数量积、向量积坐标表示式讨论与的垂直、平行。2平面与空间直线（1）平面方程的点

39、法式是讨论平面的基本形式，注意到法向量的特殊情况，要掌握平行坐标面、坐标轴的特殊平面画法。（2）了解空间直线一般方程如何化为点向式、参数式方法，更要注意到给定方向向量只考虑方向不考虑模，因而写点向式直线方程在形式上具有多样性。6.2.2 二元函数极限与连续与一元函数类似，偏导数、全微分等概念也是用极限表述的，这是多元函数的重极限；多元函数的确定也依赖函数的定义区域和对应法则。1二元函数的概念 （1）二元函数的定义域，是由使式子有意义的自变量的取值范围确定。定义域的求解一般有以下几种常见情形：分式分母不为零；偶次根号下式子非负；对数式子的真数大于零；前几种情况的混合型，求“交”。（2）点处的函数

40、值求法。（3）根据条件建立简单的二元函数关系式，并根据问题的实际意义说明自变量范围。2重极限运算运算方法归纳如下：利用极限的四则运算法则求解；利用分子、分母的有理化求解；利用有界函数与无穷小的乘积为无穷小的结论求解；利用两个重要极限求解；利用变量替换法化为一个变量的一元函数极限求解；3多元函数的连续性（1）连续的二元函数在几何上表示一张无空无隙的曲面，二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数在其定义区域内仍是连续的。（2）二元函数点处不连续，可能是点处函数值不存在、无极限或函数值不等于极限值。（3）二元函数的间断点或间断线作图及分析。6.2.3 偏导数与全微分1偏导数偏导数指二元函

41、数中当其中一个自变量固定不变时，函数关于另一个自变量的变化率，此时的二元函数实际已转化为一元函数。可以用一元函数求导公式、求导方法解决。（1）掌握偏导数的一系列表示符号或，或，以及极限定义式，对于理解并熟练运用求导方法有重要意义。（2）利用一元函数导数公式，按和、差、积、商及复合结构求多元函数偏导，用导数公式时视求导变量外的其它自变量为常数。（3）求高阶偏导数时一般要先求低一阶偏导数，例如二阶偏导数是用相应一阶偏导数再求导。（4）混合偏导数，当然是有区别的。但是我们常常遇到的二元函数其 、 都连续时，求导的结果与先后次序无关，故通常只用计算三个二阶偏导数：、=中求其一。2多元复合函数求导多元复

42、合函数偏导数的链式法则是对一元函数导数的链式法则的推广与提高。类似排列组合知识中“加法原理”、“乘法原理”特点，一元函数导数的链式法则：“外导”与“内导”作“乘法”； 复合函数偏导数（不妨对）的链式法则：先找到与的全部联系路径，每条路径计算是作“乘法”， 然后每条路径结果加起来（作“加法”）即可。（1）多元复合函数联系路径有各种类型，表现为不同形式链式法则公式，重要的是分清联系路径，正确使用加法、乘法思想。（2）函数，若 与的联系路径为，要区分与的不同，是把中的看作常量而对的偏导数，是把中的、看作常量而对的偏导数。（3）求全导数方法上注意区分，当且、，化为复合函数后视是一个变量的函数，是否能用

43、一元函数的求导法则计算，与按复合函数偏导数的链式法则计算有何不同。3全微分（1）注意全微分定义中全增量与偏导数表示的表达式之差是否是要求的趋于0的高阶无穷小，这一点与一元函数微分有相似之处。（2）若多元函数全微分存在，全微分公式中的与有明显区别，前者：是一个整体，后者：。（3）求多元函数的全微分，即先求对各个变量的偏导数；反之，知道了全微分形式，也就相应得到了各个变量的偏导数。（4）全微分、偏导数、连续关系中很重要的结论是可微则一定连续，其余的研究都很复杂。6.2.4 偏导数的应用1空间曲线的切线与法平面一条以参数方程表示的空间曲线，可以在曲线上指定点求偏导数值，即为切线的方向向量与法平面的法

44、方向，从而写出切线与法平面方程；若空间曲线以一般方程表示，有时看看可否变形为参数方程，更深入的研究发现，利用方程组求偏导，求各曲面在指定点求偏导数值后利用向量积等多种方法均可得到切线的方向向量与法平面的法方向。2曲面的切平面和法线我们先考虑曲面方程的形式，若为，在一定条件下，即为曲面上点处切平面的法方向和法线的方向向量，从而写出切平面与法线方程；若曲面由方程给出，方向数为。3二元函数极值二元函数的极值定义与一元函数的极值定义相似。（1）二元函数极值存在的必要条件为：函数在点可微分情况下，有极值则有。我们可以先求偏导数，得到驻点以便进一步讨论。（2）根据二元函数极值判断的充分条件，可以设计处确定

45、极值的步骤如下：确定函数的定义域；求使同时成立的全部实数解，即得全部驻点；对于每一个驻点，求出二阶偏导数，即、和的值；定出的符号，并按定理判定是否是极值、是极大值还是极小值。4。多元函数的最值（1）对于二元函数在讨论区域上最值问题，可利用极值与多元函数在所讨论区域边界上分析最值，以得到多元函数在所讨论区域上最值。（2）二元函数在所讨论区域边界上分析最值，可以根据边界曲线条件将二元函数最值转化为一元函数最值问题。（3）对于多元函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，还要附加约束条件的这种条件极值，除了结合约束条件转化为一元函数的无条件极值来求解外，还可使用拉格朗日乘数法。 （4）一些简单实际

46、问题中的最大值和最小值讨论，还需掌握确定待优化量，可调整自变量等，变量实际有意义的范围，以及如何建立多元函数关系的方法。6.2.5 二重积分1。 二重积分的定义（1）一元函数定积分，几何意义是曲线在区间下的曲边梯形的面积，可以推广到多元函数的重积分，其几何意义是曲面在平面区域下的“曲顶柱体”的体积。（2）认识二重积分中各符号的名称及意义，特别是在直角坐标系中。（3）作图显示在上的二重积分的值与曲顶柱体体积的值间的关系，即了解二重积分的几何意义。2。 二重积分的性质二重积分当积分区域或被积函数特殊时，可得到一些简单性质如在上, ,二重积分在数值上等于区域的面积；此外，类似一元函数定积分，二重积分

47、也有性质如下：被积函数中的常数因子，可以提到二重积分号外面；有限个函数的代数和的二重积分等于各函数的二重积分的代数和；二重积分对于积分区域具有可加性；二重积分估值不等式。3。二重积分的计算（1）直角坐标系中，积分区域作图与认识，将区域写成用不等式形式的型区域与型区域。（2）掌握二重积分的计算化为两次积分公式，重点是视区域为型区域或型区域，根据被积函数的情况公式在具体计算量上的不同。（3）有时交换积分次序的必要性，交换使得计算简单，有时候如不交换次序,可能会计算不出结果（有次积分是“积不出来”类型）。（4）二重积分的简单应用，如求体积；也可参考一元函数定积分的微元法解决求曲面面积、质心、转动惯量

48、、平面薄片质量等问题，至于这些内容，我们不做要求。6.2.6 MATLAB在多元函数微积分中的应用利用MATLAB绘图命令，作出曲线、曲面的方程可以更加直观认识曲线、曲面，是学习多元函数、多元函数偏导数及二重积分有效的辅助工具；也可用Matlab命令直接求多元函数的符号解、数值解，例如用diff求函数的偏导数；一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解；用int进行符号积分等等。掌握一些简单微积分功能的Matlab命令格式。6.3 主要公式1空间解析几何向量的坐标：；向量分解式：； 向量的模：；向量的方向余弦：两点间的距离公式：；数量积的坐标计算式：；向量积的坐标计算式：；向量、垂直条件：；向量、平行条件：平面方程的点法式：；直线