第二十五届2014年希望杯全国数学邀请赛初中二年级培训题含详解

1、第二十五届(2014年)“希望杯”全国数学邀请赛培训题1.) (532不是不是无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数有理数的定义：有限和无限循环小数叫做有理数或整数与分数统称为有理数实数的定义：有理数和无理数统称为实数 A. 分数. B.实数. C.无理数. D.无限不循环小数.送分题，但考点还是有送分题，但考点还是有2 2点点: : 是要注意到有个“不”字，这是个低级“陷阱”。但很多人都会陷下去。 不要看到C选项中的“无理数”，就不看清楚题意就选C。 是要掌握好课本中“实数”的分类和定义。就是平时强调的要背书问题。即：实数有理数有理数无理数无理数或：实数正实数正实数零零负实数负实数A A 分

2、数是用分式表达成分数是用分式表达成 （其中（其中a,ba,b均为均为整数，且整数，且b b不等于不等于0 0）的有理数。）的有理数。ba实数实数有理数有理数无理数无理数分数分数整数整数正整数正整数 0负整数负整数正分数正分数负分数负分数自然数自然数正无理数正无理数负无理数负无理数无限不循环小数无限不循环小数有限小数及无限循环小数有限小数及无限循环小数一般有三种情况一般有三种情况、) 1 ( 开不尽的数”“”“23，、00010100100010. 0) 3(类似于、有一定的规律，但不循环的无限小数。这5个数中，有理数的个数是（ ）2.324 ),3324(31 ,2012. 0 ,5 ,31

3、nn 在在(n是自然数) A.2. B.3. C.4. D.5.考点：要知道是无限不循环小数；324 可以拆项分解成完全平方式, 然后去根号，化简得出它是一个有理数；B.B. 答案中用反证法证明第五个式子中的(n+4)和(n+2)不可能同时是完全平方数,相对较复杂. 可以简单想像,因为(n+4)和(n+2)只相差2,我们在自然数中是找不到两个相差是2的完全平方数。简单证明:假设(n+4)和(n+2)都是完全平方数.令n+4=x2,n+2=y2x2-y2 =2(x+y)(x-y)=2又x,y都是大于0的整数,且xy,只可能x+y=2,x-y=1 解得 2123yx则n不是自然数,与假设矛盾.3.

4、化简化简(-1)n+1p2n(n为自然数）得（为自然数）得（ ） A.p2n. B. -p2n. C. -pn+2. D. pn+2.(-1)n+1p2n先不-1和p的值，去中括号=(-1)n(n+1)p2nan幂幂底数底数指数指数幂的乘方法则：幂的乘方法则：符号叙述：符号叙述：nmnmaa)(语言叙述：语言叙述：幂的乘方，幂的乘方，底数不变，底数不变，指数相乘指数相乘n和(n+1)是连续的自然数， n (n+1)必为偶数原式=p2n A. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(ab)n=an bn 即 4.已知：已知：a5a3aa2a4 ,则实数则实数a的

5、取值范围是（的取值范围是（ ） A.0a1. C.-1a0. D.a-1.D在a3a两边同时乘以a(a0),可得，a2a4在a3a两边同时除以a(a1a0,即a1,a-1b.).2,(, 0)5( nNnbabann那么那么如果如果非负整数集合（自然数集）记号非负整数集合（自然数集）记号N(乘方法则乘方法则)再比较a与c:(a2)2=32=9,c4=5, ac.最后比较a与d:(a2)5=35=243,(d5)2=62=36, ad.同底数幂的乘法：同底数幂的乘法：am an = am+n (m、n都是正整都是正整数数)同底数幂相乘同底数幂相乘底数，指数底数，指数 。不变不变相加相加 10.已

6、知二次三项式已知二次三项式x2-mx-8(m是整数是整数)在整数范围内可以分解在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则为两个一次因式的积，则m的值可能是（的值可能是（ ）较传统的解法是用待定系数法 对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法.用待定系数法解题目的一般步骤是： 1.根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式； 2.利用恒等式对应项系数相等，列出含有待定系数的方程； 3.解方程组,求出待定系数,再代入所设问题的结构中去,得到需求问题的解. A.1. B.2. C

7、.3. D.4.B Bx2-mx-8=(x+a)(x+b)即x2-mx-8=x2+(a+b)x+ab 8abmba有有a,b为整数 781111mba 781222mba 242233mba 242444mba , 0,2,2yayxayx11.若若yx则 的值是（ ）由1式-2式，可消去a. 得 A.-1. B.1. C. . D.3.31D D03 yxy0,方程两边可同时除以y.3 yx12.方程组方程组 的解的个数是（的解的个数是（ ） 410yxyx A. 1. B.2. C.3. D.4.分类讨论思想分类讨论思想A 在解答某些数学问题时在解答某些数学问题时,因为存在一些不确定的因素

8、因为存在一些不确定的因素,解答无法解答无法用统一的方法或结论用统一的方法或结论,不能给出统一的表述不能给出统一的表述,对这类问题依情况加以对这类问题依情况加以分类分类,并逐类求解并逐类求解,然后综合求解然后综合求解,这种解题的方法叫分类讨论法这种解题的方法叫分类讨论法. 分类讨论涉及初中数学的所有知识点分类讨论涉及初中数学的所有知识点,其关键是弄清引起分类的其关键是弄清引起分类的原因原因,明确分类讨论的对象和标准明确分类讨论的对象和标准,分情况加以讨论求解分情况加以讨论求解,再将不同结再将不同结论综合归纳论综合归纳,得出正确答案得出正确答案.分类的原则是既不重复分类的原则是既不重复, ,也不遗

9、漏也不遗漏! !当x0,y0时,方程组是 410yxyx两个方程互相矛盾,原方程组无解;当x0,y0时,方程组是 410yxyx两个方程互相矛盾,原方程组无解;当x0,y0时,方程组是 410yxyx . 37yx解得解得当x0或axb0,这时对应的自变量x的所有取值为不等式axb0的解集, 同理,一次函数图象在x轴下方的部分对应的x的所有取值为axb0的解集. 利用一次函数的图象能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解， 这种用函数观点认识问题的方法,对于继续学习数学很重要 一般地,每个二元一次方程组,也对应两条直线, 从从“数数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函的角

10、度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；数的值相等，以及这个函数值是何值； 从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标 方程(组)、不等式与函数之间互相联系,用函数观点可以把它们统一起来, 解决问题时,应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用.3.3.基本的方法与技巧基本的方法与技巧能用待定系数法求一次函数的关系式， 用两点法准确画出一次函数的图象，借助图象深刻理解一次函数的性质，渗透数形结合的思想，会利用图象判断k、b的取值范围. 对于实际问题,要根据等量关系写出函数关系式,体现用函数思想解决实际问题能力, 关于函数的分类讨论要求,从图

11、象上反映为折线,有其丰富的实际背景.函数定义函数定义 在某变化过程中有两个变量x,y，按照某个对应法则，对于给定的x，有唯一确定的y与之对应，那么y就叫做x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量。 在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。 自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。 函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。 16.已知已知A(x

12、1,y1),点点B(x2,y2)是一次函数是一次函数y=(2m-1)x+3的图象上的图象上的两点，当的两点，当x1y2.则则m的取值范围是（的取值范围是（ ）。）。一次函数一次函数y ykxkxb b的性质：的性质：它是过 的一条直线 A. . B. . C. . D. .21 m21 m21 m21 mA A(0,b)， bk，0 当k0时，y随x的增大而增大当k0时，y随x的增大而减小当x1y2.即y随x的增大而减小., 012 m.21 m即即送分题，只是考你对“当x1y2”这句话是否理解。 17. 当当-1x2时，函数时，函数y=ax+6满足满足y10，则，则a的取值范围是的取值范围是

13、（ ） A.a-4. B.a2. C.-4a2且a0. D.-4a2.当a=0,y=ax+6=6,符合题意.当a0时,函数y=ax+6是一次函数.由题知，当-1x2时，y10，则有x=-1,y=ax+6=-a+610,解得 a-4.a-4.x=2,y=ax+6=2a+610,解得 a2.-4a2,且a0综上所述，a的取值范围是-4a2D D 18. 已知反比例函数已知反比例函数 （m为常数），当为常数），当x0时，时，y随随x的增大而增大，则的增大而增大，则m的取值范围是（的取值范围是（ ）xmy21 A. B. C. D. . 0 m.21 m.21 m.21 mC C当x0, py+1=(

14、5-p)x (4-p)x1.p=4y+1=x,8=x+y+z=2y+1+z2y+1y3.5 另外zx=y+18=x+y+z2y=3,x=4,z=1. 21. 21. 已知质数已知质数p,qp,q满足满足5p2+3q=595p2+3q=59，则以，则以p+3,1-p+q,2p+q-4p+3,1-p+q,2p+q-4为边为边长的三角形是（长的三角形是（ ） A.锐角三角形.B.直角三角形. C.钝角三角形. D.等腰三角形.5p2+3q=59是奇数，所以p,q一奇一偶。又p,q都是质数， p,q中有一个是2若q=2,则,3532 p不合题意。若p=2,则若q=13.此时p+3=5,1-p+q=12

15、2p+q-4=1352+122=132这个三角形是直角三角形。B B22.22.有下列三个命题：有下列三个命题：五边形的内角中至少有两个钝角;十二边形共有54条对角线;内角和等于外角和的多边形的边数为4.其中正确命题的个数是（ ） 五边形外角和是360，所以5个外角中不能有4个或5个钝角，即外角中至多有3个钝角，内角中至多有3个锐角，至少有2个钝角。考虑内角不要从内角入手,如果从外角入手,问题就可简单化. A. 0. B. 1. C. 2. D.3.D D 从十二边形一个顶点出发可引出12-3=9(条)对角线，所有对角线的条数是1292=54. 从“对角线”的定义出发,“连接多边形任意两个不相

16、邻顶点的线段”,一个顶点可连接多少条？ 根据多边形的内角和公式和外角和性质，列一个简单的方程就可以解决问题.(n-2)180=360n=4. 23.在菱形在菱形ABCD中中,A:B=1:5,若菱形的周长是若菱形的周长是8,则高是则高是( ) A. . B. 4. C. 1. D.2.21在菱形ABCD中，AD/BC，A+B=180又A:B=1:5A=30菱形的高=AD21周长周长81 =1.=1.C C 24.如图如图,在平行四边形在平行四边形ABCD中中,AEBC于于E,AB2=2,AE=EC=a,若若a使代数式使代数式a2+2a-3的值为零的值为零,则平行四边形则平行四边形ABCD的面积是

17、的面积是( ) A. 4. B. 3. C. 2. D.1.C CB BD DA AE EC Ca2+2a-3=0(a+3)(a-1)=0又a0,a=1,在直角ABE中，BE2=AB2-AE2BE=1BC=EB+EC=2平行四边形ABCD的面积是2 25. The side of square ABCD is 1, ABCD rotates around point A 30and becomes squsre ABCD. The area of the overlapping part of the square ABCD and the square ABCD is ( ) A. B. C

18、. D. .21.33.331 .431 译文：已知正方形译文：已知正方形ABCDABCD边长是边长是1 1，将正方形，将正方形ABCDABCD绕点绕点A A旋转旋转3030得到正方形得到正方形ABCD,ABCD,则正方形则正方形ABCDABCD与正方形与正方形ABCDAABCDA重叠重叠部分的面积是（部分的面积是（ ） 英英 r rtetet t vt.& vi.vt.& vi.（使某物）旋转（使某物）旋转; ; 使转动使转动; ; 美美rotet rotet B BA AD DC CE EBBCCDDRtABE RtADE ABE = ADE =30AEEB21 222AE

19、BABE 而而33 BE331212 重叠重叠S33 B Boverlapping vlp n.重叠，搭接 BC/x轴，AC/y轴，ABC的面积记为S，则（ ）26.26.如图如图,A,A、B B是反比例函数是反比例函数xy2 的图象上关于原点对称的两点,A AC CB BO Ox xy y A. S=2. B. S=4. C. 2S4.设A点的坐标为（x1,y1）,则B点的坐标为（-x1,-y1）,C点的坐标为（x1,-y1）,211 yxABC的面积是BCACS 21. 4211 yxB BA A 27. 27.如图如图, ,周长是周长是3434的矩形的矩形ABCDABCD被分成被分成7

20、7个全等的小矩形，则矩个全等的小矩形，则矩形形ABCDABCD的面积是（的面积是（ ）D DC CB BA A A. 208. B. 140. C. 70. D.196.设小矩形的长和宽分别是x,y，则有 17352yxyx 25 yx解得解得70527 ABCDS矩形矩形C C 28. 使代数式使代数式 的值是整数的所有自然的值是整数的所有自然x的和是（的和是（ ）1112 xx A. 5. B. 6. C. 12. D.22.112122 xx原式原式112)1)(1( xxx原式原式1121 xx为使 是整数，自然x可取0,1,2,3,5,11112 x它们的和是22.D D29. 若自

21、然数若自然数p,q满足满足,1311130112914131211 qp 则p除以197，余数是（ ） A. 0. B. 73. C. 157. D.19.)131131211( qp)13014121(2 )131131211( )13024222( )131131211( )65131211( 1311681671661 )991981()1321671()1311661( )99981132621131661(197 1213013112130131qp).99981132621131661(197 A A,)99981132621131661(12130131是整数是整数显然显然 12

22、13013112130131qp).99981132621131661(197 ,12130131197p 整除整除因此因此而而197197是质数是质数, ,19712130131整除整除不被不被 所以所以p p被被197197整除。整除。197 XAqpA整数整数 197qpA197 整数整数qpA 30. If m is the integer part of m, then the value of m is ( ),)32(6 m A. 2702. B. 2701. C. 2700. D.2699.B Binteger ntd(r) n.整数value vlju: n.价值，价格价值，

23、价格; 231 13201)32(0666)32()32( 而而)32()32(3)32()32()32()32(2222222 3)347347)(347347(2 )(2233babababa )314(142 )3196(14 3)(2abbaba 19314 2702 )32(27026 m2701 30. If m is the integer part of m, then the value of m is ( ),)32(6 m A. 2702. B. 2701. C. 2700. D.2699.B Binteger ntd(r) n.整数value vlju: n.价值，价格

24、价值，价格; 231 10y106y)32(66 mx.270127026y32 , 32 yx令令4 yx134)32)(32(xyxyyxyx2)(22214216)(42242266yyxxyxyx3)(2222222yxyxyx)(3)(2222322yxyxyx.27021413143 31. 分解因式：4x4+3x2+1= .222214)2(xxx222) 12(xx)12)(12(22xxxx32. 分解因式：_)(4)(4)(2222yxyxyx)()(4)(2yxyxyxyx)(8)(2yxyyx222882yxyyxyx2296yxyx2)3(yx22)(4)(4)(yx

25、yxyxyx2)(2)(yxyx2)3(yx解法解法1 1：解法解法2 2：33. 已知, 15a_1127223的值是则aaa15a5) 1(2 a422aa1127223aaa1123)2(222aaaaa112382aaa11632aa11)2(32aa11112解法解法1 1：解法解法2 2：15a5) 1(2 a0422aa1127223aaa1125)42(232aaaaaa1163)42(0222aaaaa1)42(3aa110,3819x若若.1582318262234的值求分式xxxxxx2)138(10)138()26162()138(2223234xxxxxxxxxx原分

26、式3819x22)3(34243434 x. 0138, 3)4(22xxx即即. 5210本例的解法采用的是整体代入的方法,应用得当会使问题的求解过程大大简化 这是代入消元法的一种特殊类型，整体代入法整体代入法 34. 已知A=20142014，B=(122014)2,则A B.（填“”、“”、“k2-m,k2+mk2-m,则则 35 1152222mkmkmkmk或或舍去舍去无整数解无整数解其中其中, 11522 mkmk 12mk 113216dcba 用换元法，然后从分解因式和分解因数入手看似很难，但懂得方法就简单了。41. 方程组 的正整数解是 . 152345cadcba令令a5=

27、b4=k20(ka5=b4=k20(k是正整数是正整数),),令令c3=d2=m6(m是正整是正整数数),则则a=k4, b=k5;a=k4, b=k5;则则c=m2, d=m3;c=m2, d=m3;由由a-c=15,a-c=15,得得k4-m2=15k4-m2=15(k2+m)(k2-m)=15(k2+m)(k2-m)=151=51=53.3.因为因为 k,m k,m是正整数是正整数, ,k2+mk2-m,k2+mk2-m,则则 35 1152222mkmkmkmk或或舍去舍去无整数解无整数解其中其中, 11522 mkmk 12mk 113216dcba 用换元法，然后从分解因式和分解因

28、数入手看似很难，但懂得方法就简单了。 42.若k=47 +4n,并且k是一个完全平方数,则正整数n= 或 .由由k=(27)2+2k=(27)2+2272722000+(22000)2,22000+(22000)2,=(27 )2,=(27 )2,得得n=2000n=2000由由k=(27)2+2k=(27)2+2272721004+(21004)2,21004+(21004)2,a2+2ab+b2=(a+b)a2+2ab+b2=(a+b)2 24n4n可以是完全平方式的可以是完全平方式的b b项，项，也可以是完全平方式的也可以是完全平方式的2ab2ab项，项，=(27 )2,=(27 )2,

29、得得n=506.n=506.此题有此题有2个考点：个考点： 必须熟练掌握好完全平方公式必须熟练掌握好完全平方公式不能忘记分类讨论思想43. 若实数x,y满足x2+y2+x2y2-4xy+1=0,则(x+y)2= . 一条等式，要求两个未知数，首先就要联想到以前做过的利用非负数性质，即非负数+非负数+非负数=0,各非负数都等于0。或者是考虑AB=0，得出A=0或B=0。这里的非负数可能是两个完全平方式。0)12()2(2222 xyyxyxyx将将-4xy-4xy拆成两个拆成两个-2xy.-2xy.则原式可化为则原式可化为0)1()(22 xyyx 10 xyyx44)()(22 xyyxyx

30、44.若n(n0)是关于x的方程x2-mx-5n=0的根，则m-n= .要理解要理解“根根”的定义，的定义，若若n代入得代入得n2-mn-5n=0n2-mn-5n=0AB=0，得出A=0或B=0。 一条等式，要求两个或两个以上未知数，首先就要联想到利用非负数性质，非负数没得想，那么就考虑n(n-m-5)=0n(n-m-5)=0n0n-m=5n-m=5即即m-n=-5m-n=-545.观察下列各式： , 1675, 1453, 1231222 其中的规律可用含n(n为正整数)的等式表示为 .1)2()12)(12(2 nnn两个连续奇数的积 46. 设实数a,b满足 则 的值是 .,121111

31、2 abbaab 11)1()1(21)1)(1()1()1(2abbaab ,1211112 abba)1)(1()1()1(22baab )1)(1()1()1)(1(4)1(422baabab 0)1()1)(1(5)1(422 abab0)1()1()1()1(4 abab或或 0)1()1(4 ab0)1()1( ab或或 4111 ab. 111 abAB=0，得出A=0或B=0。分解因式非常重要分解因式非常重要47. 若2232, 511的值是的值是则则yxyxyxyxyx 将分式 的分子、分母都除以xy,得yxyxyxyx 2232yxyxyxyx 2232xyxy121232

32、 . 125310 从未知入手，化为含有已知的式子。再整体代入。也可从已知入手，通过适当变形,再整体代换511yx5xyyxxyyx5xyyxxyyxyxyxyxyx23222232xyxyxyxy25352. 177xyxy.2232 . 511的值的值求求已知已知yxyxyxyxyx511yx5xyyxxyyx5. 1772535223222232xyxyxyxyxyxyxyyxxyyxyxyxyxyx整体代换整体代换适当变形适当变形48. 若abc=1,则._111 caccbbcbaaba111 caccbbcbaababcbacbbcbbcbabcaaba 1bcbacbbcbbcb

33、bcb 111bcbbcbbcbbcb 1111. 111 bbcbbc解法1:利用1=abc,以及中间项不变.若若abc=1，求，求.111的值的值ccacbbcbaaba解法解法1：因为：因为abc=1，所以，所以a，b，c都不为零都不为零 111ccacababbbcbaaaaba原式原式ababcabcaabcaababcabaaba1abaaababaaba1111111aababa解法解法2：由：由abc=1，得，得 将之代入原式将之代入原式,1bca 1111111cbcccbbcbbcbbcbc原式原式11111bbcbcbbcbbcb已学已学若若abc=1，解方程，解方程11

34、2122ccacxbbcbxabcaabax解：解： abc=1，所以原方程可变形为，所以原方程可变形为1121212ccacxbbcbxaabax1121) 1(2ccacxbbcxb112) 1(2ccacxabcbbcxb1) 1(2) 1(2ccabbcxxb1)(2bbcbcabcabcbx。x为原方程的解21化简整理为化简整理为化简整理为化简整理为49. 若a,b,c是互不相等的实数,化简._,)()()()()()(222得得babcbacacabacbcbcacba )()()()()()()()(222bacbcaacbaccbacbbacba )()()()()()()()

35、()(222bacbcaacbacacbaacbbacba )()()()()()()()()()(2222bacbcaacbacacacbbaacbbacba )()()()()()(2222bacbcaacbbacacacbcbaba )()()22(2)()22(2)(bacbcabacaccabba )()()()()()(4bacbcabaccacabba 4)()()()()(4 bacbcacbcaba中间项作为桥梁，最主要是把b-c拆成a-b和c-a,然后再利用平方差公式。49. 若a,b,c是互不相等的实数,化简._,)()()()()()(222得得babcbacacaba

36、cbcbcacba 用换元法zbacyacbxcba设222zycyxbzxa则有222zyabzxcbyxba)(4)(4)(4222yzxzzxyzyyzxyxx原式)()()(4)(4)(4222zyzxyxyxzzxyzyx)()()()()(4222zyzxyxyxzzyyxyzyx)()()()(42222zyzxyxyxyzzyyx1)()()()()(4zyzxyxyzyxzyyx化简计算(式中a，b，c两两不相等)： .222222abbcaccbacacbcabbacbbcacabacba.)(2)(2)(2bcacbaccbabacbcabacba原式原式是否想起拆项公式

37、的是否想起拆项公式的.11nmmnnm.)()()()()()()()(bcacbcacabcbabcbcabacaba. 0111111acbccbabbaca 50. 若关于x的不等式axb的解集是xb的解集是的解集是,52x,52 , 0aba;, 0,)4(bcaccba 那么那么如果如果., 0,bcaccba 那么那么如果如果(乘法法则乘法法则).52ab 即ab52将将 代入不等式代入不等式(a-2b)x+a0(a-2b)x+a0，得，得, 051aax.51aax即 , 0a. 5x51. 若关于x的不等式组01456mxxx 的解集是的解集是x5x+20,4x+245x+20

38、,解得解得x 4.又又 x-m. x-m.-m4,-m4,故故 m-4. m-4. 52. 若关于x的不等式组 的解集是-1x1,则020 xbax（a+b)2013= .a+b)2013= .又知又知-1x1,-1x0,y00,且x0y0=k.由题意知,C点的坐标是(x0,0),D点的坐标是(0,y0),),1,(00 xxA点的坐标是),1(00yyB点的坐标是112100yySODB112100 xxSOCA正确.C CD DP PA AB BO Ox xy yxy1xky 四边形PAOB的面积不会发生变化； PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.点P在 的图象

39、上,xky 不妨设点P的坐标是(x0,y0),其中x00,y00,且 x0y0=k.由题意知,C点的坐标是(x0,0),D点的坐标是(0,y0),),1,(00 xxA点的坐标是),1(00yyB点的坐标是112100yySODB112100 xxSOCAOCAODBOCPDPAOBSSSS矩形四边形,00是一个定值而矩形kyxSOCPD四边形PAOB的面积不会发生变化;正确. PA与PB的长度随P点的位置变化而变化,所以不正确.当点A是PC的中点时,),2,(00yxA点的坐标是,2100yx, 200yx即, 2k故此时B点的横坐标是,2100 xy所以B点恰好是PD的中点,正确.O Ox

40、 xy yB BA A 57.如图,直角三角形AOB中,O为坐标原点,AOB=90B=30,若A在反比例函数 图象上运动,那么点B在函数 的图象上运动。)0(1xxyM MN N又又点点B B在第四象限在第四象限, ,解:分别过A、B作ANy轴于N，BMy轴于M，设A(a，b),31OBOA)0(1xxyAA在反比例函数在反比例函数 的图象上的图象上, ,ab=1 ab=1 在OAN与BOM中,AON=90-BOM=OBM，ONA=BMO=90， OANBOM,OBOAOMANBMON在RtAOB中,AOB=90,B=30,31OMaBMbaOMbBM3 ,333abOMBM点B在函数 的图象

41、上运动.xy3 本题应用到相似三角形的判定及性质，用待定系数法求函数的解析式。O Ox xy yB BA A 57.如图,直角三角形AOB中,O为坐标原点,AOB=90B=30,若A在反比例函数 图象上运动,那么点B在函数 的图象上运动。)0(1xxyM MN N自A,B分别作y轴的垂线AN,BM,垂足分别为N,M.则,31OBOA,31BMOANOSS,2121ANONSANO,2321BMOMSBMO, 3 BMOM即.3xy想不出面积比为什么会等于1:3 58. 图7(1)是一个正三角形,分别连接这个三角形各边上的中点得到图(2),再连接图(2)中间的小三角形各边上的中点得到图(3),按

42、此方法继续下去.前三个图形中三角形的个数分别是1个,5个,9个,那么第5个图形中三角形的个数是 个；第n个图形中三角形的个数是 个。前三个图形中三角形的个数分别是前三个图形中三角形的个数分别是1 1个个,5,5个个,9,9个个, ,第第2 2个图形中三角形的个数比第个图形中三角形的个数比第1 1个图形中三角形的个数多个图形中三角形的个数多4 4个个, , 第第3 3个图形中三角形的个数比第个图形中三角形的个数比第2 2个图形中三角形的个数也多个图形中三角形的个数也多4 4个个,于是第于是第5个图形中三角形的个数是个图形中三角形的个数是 9+4+4=17(个)第第n个图形中三角形的个数是个图形中

43、三角形的个数是1+4(n-1)=4n-3(个). 59.已知P是正方形ABCD所在平面上的点,使PAB,PBC,PCD,PDA都是等腰三角形的点P有 个.点P可能在正方形内,也可能在正方形外,A AB BC CA AD D P点有9处,如图,以正方形的各边为边向正方形的内或外作等边三角形,则这些等边三角形的顶点为所作的P点， 还有正方形的对角线的交点也满足条件. 根据正方形的性质可得,满足这样的点首先有:两条对角线的交点; 再以四个顶点为圆心以边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个根据半径相等，这些点就是要求的点 59.已知P是正方形ABCD所在平面上的点,使PAB,PBC,PCD

44、,PDA都是等腰三角形的点P有 个.B BC CA AD D 易知正方形的中心满足条件. 画出正方形平行于边的对称轴，分别以A、B、C、D为圆心，以边长为半径画弧，这些弧线与两条对称轴有8个交点， 60.若ABC的三边长a,b,c满c3=a3+b3,则ABC是 三角形.(填“锐角”、“直角”或“钝角）显然ca, cb,222bcbacac,22ba 所以所以ABCABC是锐角三角形是锐角三角形. .解:a3+b3=c3C为ABC中的最大角,由余弦定理得:02cos222abcbaCC为锐角 还要用到“余弦定理”其实答案这样说不严谨a3+b3=c3显然ca,cb, 61.过等腰三角形一个底角顶点

45、的直线将等腰三角形分为两个等腰三角形，则原来的等腰三角形顶角的度数是 .分类讨论相思分类讨论相思B BC CD DA AD DC CB BA A设设ABCABC中中,AB=AC,A=x,AB=AC,A=x, ,如图,当AD=DB,CB=CD时,A=ABD=xA=ABD=x, ,BDC=CBD=2xBDC=CBD=2x, ,ABC=ACB=3xABC=ACB=3x, ,7x7x=180=180, ,.7180A如图,当AD=DB=CB时,A=ABD=xA=ABD=x, ,BDC=BCD=ABC=2xBDC=BCD=ABC=2x, ,A=ABC=ACB=180A=ABC=ACB=180, ,A=A

46、BC=ACB=180A=ABC=ACB=180, ,5x5x=180=180, , A=36. 如果过等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 .分类讨论相思分类讨论相思经过顶角的顶点有两种情况，经过底角的顶点也有两种情况,D DB BA AC CB BC CD DA AC CD DB BA AC CB BA AD D 当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形,则AC=BC,AD=CD=BD， 设A=x 则ACD=A=x,B=A=x,BCD=B=x,4x=180 顶角是90 如图,AC=BC=BD,AD=CD, 设B=x, A=B=AC

47、D=x CDB=BCD=2x 5x=180 则顶角是108.当过底角的的顶点把它分成了两个等腰三角形，如上题一种是顶角是36 一种是顶角是.7180 62.如图，将周长为8的ABC沿BC方向平移1个单位，得到DEF，则四边形ABFD的周长为 .E EF FB BD DA AC C又又AB+BC+AC=8AB+BC+AC=8， 将将ABCABC沿边沿边BCBC向右平移向右平移1 1个单位得到个单位得到DEFDEF， AD=1AD=1， BF=BC+CFBF=BC+CFDF=AC,DF=AC,=BC+1,=BC+1,四边形四边形ABFDABFD的周长是的周长是AD+AB+BF+DFAD+AB+BF

48、+DF=1+AB+BC+1+AC =1+AB+BC+1+AC =1+8+1=10.=1+8+1=10. 63.如图,已知ABC与CDE都是等边三角形,若AEB=145,则DBE的度数是 .E ED DC CB BA A易证易证ACEACEBCDBCD（SASSAS）DBE=EBC+CBDDBE=EBC+CBD可能有可能有CBD=CAECBD=CAE将将DBEDBE拆分，替换拆分，替换 可在可在EBCEBC、CBDCBD这两个角中看是否能找到对等的角来替换这两个角中看是否能找到对等的角来替换现在已有现在已有DBE=EBC+CAEDBE=EBC+CAE怎么能怎么能EBC+CAEEBC+CAE扯在一

49、起扯在一起. . 又跟又跟AEB=145AEB=145有关联有关联, ,CAE+EAB +ABE+EBC+BCA=180CAE+EAB +ABE+EBC+BCA=180EBC+CAE=180EBC+CAE=180-60-60- -（180180-145-145）DBE=85DBE=85 64.As showing in the figure 10, if XOY=60,M is a point in the angle XOY. The distance from M to OX is MA, which is 2. The distance from M to OY is MB, which

50、 is 11. The value of OM is . 64.译文：如图10，若XOY=60,点M是XOY内一点，它到OX的距离MA=2,到OY的距离MB=11,则OM= .Y YX XB BM MA AO OC C如图如图, ,延长延长AMAM交交OYOY于于C,C,则则ACO=30ACO=30, ,在在RtRtMBCMBC中中, ,MC=2MB=22,MC=2MB=22,OC=2OA,OC=2OA,在在RtRtCAOCAO中中, ,AC=AM+MC=24.AC=AM+MC=24.OA2=OC2-AC2OA2=OC2-AC2=4OA2-AC2=4OA2-AC2322ACOA 38OA在在R

51、tRtMAOMAO中中, ,OM2=OA2+AM2OM2=OA2+AM21962)38(22OM=14.OM=14. 65.如图，已知直线 相邻两条平行直线间的距离都是1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积是 .,/4321llllD1D1D DC CB BA AB1B11l2l3l4l易发现易发现BB1CBB1CCD1DCD1D（ASAASA） 由由B B、D D分别向分别向l4l4引垂线，交引垂线，交l4l4于于B1B1、D1D1，B1C=D1D=2.B1C=D1D=2.又又BB1=1.BB1=1.21212CBBBBC5212252BCSABCD正方形 6

52、6.如图，分别以ABC的AB、AC为边在形外作正方形ABEF、ACMN，若ABC的面积SABC =6，则AFN的面积SAFN= .E EF FN NM MC CA AB BN NG GH H分别作分别作NHFANHFA于于H,CGABH,CGAB于于G,G,可证明可证明AGCAGCAHNAHN，（，（AASAAS） CG=NH.CG=NH.又又AB=AF,AB=AF,S SAFN AFN =S=SABC=6.ABC=6. 67.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D处，则重叠部分AFC的面积为 .B BA AC CD DF FD易证易证AFDAFDCFB,CFB

53、,DF=BFDF=BF， 设设DF=xDF=x，则，则AF=8-xAF=8-x， 在在RtRtAFDAFD中，中，(8-x)2=x2+42(8-x)2=x2+42，解得：解得：x=3x=3， AF=AB-FB=8-3=5,AF=AB-FB=8-3=5,.1021BCAFSAFCy yC CD DE EO OB BA Ax xH HF FG G 68.如图,平行四边形ABCD中,A(-1,0),B(0,-2),顶点C、D在双曲线 上,边AD交y轴于点E,且E是AD的中点,则k= .xky 过过C C、D D两点作两点作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为F F、H H，过，过C C点作点作CG

54、DHCGDH，垂，垂足为足为G G， DHxDHx轴轴, , DHyDHy轴轴, ,DG=BO=2,DG=BO=2,又又AE=EDAE=EDAO=OH,AO=OH,而而A(-1,0),A(-1,0), 故故D(1,K).D(1,K).ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形， AB=CD, ABC=ADCAB=CD, ABC=ADC， BODHBODH， OBC=EDH,OBC=EDH,CDG=ABOCDG=ABO， AOBAOBCGDCGD（AASAAS） AOB=DGC=90AOB=DGC=90故故C(2,k-2).C(2,k-2).GC=AO=1GC=AO=1CC、D D在双曲线上在双

55、曲线上, ,11k=2k=2(k-2)(k-2)解得解得k=4k=4 69.如图,在菱形ABCD中,B=60，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动，给出以下结论：A AC CB BD DA AF FE EAE=AF;AE=AF;CEF=CFE;CEF=CFE;当点当点E E、F F分别为边分别为边BCBC、DCDC的中点时的中点时, ,AEFAEF是等边三角形是等边三角形; ;当点当点E E、F F分别为边分别为边BCBC、DCDC的中点时的中点时, ,AEFAEF的面积最大的面积最大. .其中正确的结论有其中正确的结论有 个个. .解解:点点E E、F F分别从点分

56、别从点B B、D D出发以同样的速度沿边出发以同样的速度沿边BCBC、DCDC向点向点C C运动运动, ,BE=DF,BE=DF,AB=AD,B=D,AB=AD,B=D,ABEABEADF,ADF, AE=AF,AE=AF,正确正确; ;CE=CFCE=CF， CEF=CFE,CEF=CFE,正确正确; ;BE=DF,BE=DF,在菱形在菱形ABCDABCD中中,B=60,B=60,AB=BC,AB=BC,ABCABC是等边三角形是等边三角形, ,当点当点E E、F F分别为边分别为边BCBC、DCDC的中点时的中点时,(,(三线合一）三线合一） ABEABE和和ADFADF是直角三角形是直角

57、三角形, ,且且BAE=DAF=30BAE=DAF=30, ,EAF=120EAF=120-30-30-30-30=60=60， AEFAEF是等边三角形是等边三角形, ,正确正确; ; 69.如图,在菱形ABCD中,B=60，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动，给出以下结论：C CB BD DA AF FE E当点当点E E、F F分别为边分别为边BCBC、DCDC的中点时的中点时, ,AEFAEF的面积最大的面积最大. .其中正确的结论有其中正确的结论有 个个. .AEFAEF的面积的面积= =菱形菱形ABCDABCD的面积的面积- -ABEABE的面积的面积-

58、 -ADFADF的面积的面积- -CEFCEF的面积的面积 22)(23212232123BEABBEAB224343ABBE AEFAEF的面积是的面积是BEBE的二次函数的二次函数, ,当当BE=0BE=0时时, ,AEFAEF的面积最大的面积最大, ,错误错误. . 69. 在梯形ABCD中,ADBC，A=90,C= 45,E是CD的中点,AB=2AD=4,则BE= .F FG GE ED DB BC CA A过点过点D D、E E作作DFBCDFBC交交BCBC于点于点F,F,延长延长ADAD、BEBE交于点交于点G.G.由题易得由题易得BF=2,BF=2,C= 45C= 45, ,C

59、F=DF=4CF=DF=4BC=BF+FC=6,BC=BF+FC=6,EE是是CDCD的中点的中点, , ADBCADBCDG=BC=6,DG=BC=6,在在RtRtABGABG中中, ,且且BG=2BE,BG=2BE,22ABAGBG, 544822. 52BE四边形ABFD是矩形， 70. 在梯形ABCD中,ADBC，A=90,C= 45,E是CD的中点,AB=2AD=4,则BE= .A AF FE ED DB BC CA AH H解解: :如图如图, ,分别过点分别过点D D、E E作作DFBCDFBC于点于点F,EHBCF,EHBC于点于点H,H,EHDF,DFB=DFC=EHB=EH

60、C=90EHDF,DFB=DFC=EHB=EHC=90, ,又又A=90A=90ADBC,ADBC,ABC=90ABC=90度度, ,四边形四边形ABFDABFD是矩形是矩形, ,AB=2AD=4,AB=2AD=4,AD=2,AD=2,BF=AD=2BF=AD=2，DF=AB=4DF=AB=4， 在在RtRtDFCDFC中中,C=45,C=45, ,FC=DF=4,FC=DF=4,EE是是CDCD的中点的中点, , 221DFEHHC=EH=2,HC=EH=2,FH=2FH=2， BH=4,BH=4,在在RtRtEBHEBH中中, ,22EHBHBE. 52242271.1100991100991321321