第5-4讲 陪集与拉格朗日定理

1、1第5-4讲 陪集与拉格朗日定理1. 左陪集和右陪集2. 拉格朗日定理3. 拉格朗日定理的推论4. 第5-4讲 作业21、左陪集和右陪集定义1 设是是群的子群，aG。集合 aH=a*h|hH, Ha=h*a|hH,分别称为由a确定的H在G中的左陪集和右陪集。a称为代表元素。注注：1 1、群的每个子集不见得都是群。子群的陪集是群的每个子集不见得都是群。子群的陪集是群论中的一个重要内容，由这一概念可以引导出一个群论中的一个重要内容，由这一概念可以引导出一个重要结果，即拉格朗日定理。它表述了群与其子群之重要结果，即拉格朗日定理。它表述了群与其子群之间存在的一个重要关系。间存在的一个重要关系。 2 2

2、、这里只就左陪集进行讨论，右陪集也有类似的这里只就左陪集进行讨论，右陪集也有类似的结论。结论。32、拉格朗日定理（1）定理1（拉格朗日定理） 设是群的一个子群，则（1）R=|a,bG,a-1*bH是G上的一个等价关系， 且aR=aH。（2）若|G|=n，|H|=m，则 m|n。证明： (1)先证先证R R是等价关系。是等价关系。 对任意对任意a a G G，有，有a a-1-1 G G，按所，按所设，设，H, 是群是群G, 的一个子群，的一个子群，H, 和和G, 有相同的有相同的幺元幺元e=ae=a-1-1* *a a H H。按。按R R的定义，的定义， R, R, 故故R R是自反的。是自

3、反的。 若若 a,b R R，则，则a a-1-1* *b b H H。因。因H H是群，是群， ( (a a-1-1* *b)b)-1-1= b= b-1-1* *a a H H，所以，所以， R R，故，故R R是对称的。是对称的。 若若 a,b R R， R R，则，则a a-1-1* *b b H, bH, b-1-1* *c c H H 。所以，。所以， ( (a a-1-1* *b)b)* *(b(b-1-1* *c)=ac)=a-1-1* *(b(b* *b b-1-1) )* *c=ac=a-1-1* *c c H,H,可可知知 R R，故，故R R是传递的。是传递的。42、拉

4、格朗日定理（2）拉格朗日定理:设是群的一个子群，则（1）R=|a,bG,a-1*bH是G上的一个等价关系， 且aR=aH。（2）若|G|=n，|H|=m，则 m|n。证明(续) ：再证再证aR=aH。若。若a a G G，则，则 b b aaR R R R a a-1-1* *b b H H a a* *(a(a-1-1* *b)b) aH aH b b aHaH(2) (2) 因因R R是等价关系，可设是等价关系，可设R R将将G G划分为划分为K K个等价类个等价类aa1 1,a,a2 2,a,ak k ，)(11GaHaaGiikiRiki若若h1, h2 H H，且h1 h2 ，aG，

5、那么那么a*h1 a*h2。所以。所以 | aiH|=|=|H|= m (i=1,2,|= m (i=1,2,k),k)因此因此mkHaHaGnkiiiki|1152、拉格朗日定理（3）例1 在在X=R-0,1X=R-0,1定义定义6 6个函数个函数: : f f1 1(x)=x; f(x)=x; f2 2(x)=x(x)=x-1-1; f; f3 3(x)=1-x;(x)=1-x; f f4 4(x)=(1-x)(x)=(1-x)-1-1; f; f5 5(x)=(x-1)x(x)=(x-1)x-1-1; f; f6 6(x)=x(x-1)(x)=x(x-1)-1-1则则 是群，这里是群，这

6、里F=fF=f1 1,f,f2 2,f,f3 3,f,f4 4,f,f5 5,f,f6 6, , 是函数的复合运算。是函数的复合运算。试求试求 的所有子群。的所有子群。解：先写出群表。先写出群表。 因因|F|=6，F, 的子群只能是的子群只能是1 1、2 2、3 3、6 6阶群。阶群。平凡子群：平凡子群： , 从群表可以从群表可以看出：看出：2 2阶子群：阶子群： f f1 1,f,f2 2,f,f1 1,f,f3 3,f,f1 1,f,f6 6 3 3阶子群：阶子群： f f1 1,f,f4 4 ,f,f5 5 62、拉格朗日定理（4）(续前页续前页)令令H=ff1 1,f,f4 4 ,f,

7、f5 5 ， H, 是是 F, 的子群。求的子群。求F=fF=f1 1,f,f2 2,f,f3 3,f,f4 4,f,f5 5,f,f6 6 中的各元素所确定的中的各元素所确定的H H在在F F中的所有中的所有左陪集左陪集。f1H=f1,f4 ,f5 f2H=f2,f3 ,f6f3H=f2,f3 ,f6=f2Hf4H=f1,f4 ,f5=f1Hf5H=f1,f4 ,f5=f1Hf6H=f2,f3 ,f6=f2H从此例看到，由群从此例看到，由群 的子群的子群H, 所确定的所有不同左陪集所确定的所有不同左陪集( (f1,f4 ,f5，f2,f3 ,f6) 中只有一个是子群中只有一个是子群( (参见

8、参见P212P212习题习题6)6)；任意两个左陪集要么相等任意两个左陪集要么相等, ,要么它们无公共元素要么它们无公共元素( (参见参见P212P212习题习题7)7)。同一子群的每个左陪集中的元素的个数等于该子群的阶数。同一子群的每个左陪集中的元素的个数等于该子群的阶数。73、拉格朗日定理的推论推论1 质数阶群没有非平凡子群。证：（反证法）反证法）假设质数阶群假设质数阶群G, 有非平凡子群有非平凡子群H, ，则则| |H|H|（1|H|G|1|H|G|）是是|G|G|的因子，与的因子，与|G|G|为质数矛盾。为质数矛盾。推论2 设是n阶有限群，e为幺元。则G中任意元素a的阶必是n的因子，且an=e。如n为质数，则是循环群。证：若若a a G, aG, a的阶数为的阶数为m，则，则 是是G G的子的子群（可由群（可由子群判定定理一子群判定定理一判定或按判定或按群的定义群的定义判定）。根判定）。根据拉格朗日定理，据拉格朗日定理，m|n|n。令。令n=n=m.g,.g,则则a an n=a=am.g.g=(a=(am) )g g=e=eg g=e=e。 如果如果n n为质数，设任意为质数，设任意a