偏微分Fourier变换及其应用

1、1 Fourier 变换及其性质1偏微分方程教程第七章第七章 FourierFourier变换及其应用变换及其应用1 Fourier 变换及其性质2偏微分方程教程第七章 Fourier变换及其应用第七章第七章 FourierFourier变换及其应用变换及其应用 Fourier变换在线性偏微分方程, 特别是常系数线性偏微分方程的研究中十分重要. 它对求解各种数学物理方程具有普遍意义. 这一章我们将系统地介绍Fourier变换的基本知识及其运算性质. 最后利用Fourier变换及其逆变换求解某些典型数学物理方程的定解问题.1 Fourier 变换及其性质3偏微分方程教程 第七章 Fourier变

2、换及其应用1 Fourier 1 Fourier 变换及其性质变换及其性质在学习常微分方程的求解时, 我们介绍过Laplace变换, 它将一个常系数的线性常微分方程的求解转化为求解函数方程及对该函数方程的解实施Laplace变换的逆运算. 那么是否有其它形式的积分变换, 能将常系数的线性偏微分方程, 特别是三类典型的数学物理方程的求解变得简单呢？这就是我们下面将要介绍的Fourier变换1 Fourier 变换及其性质4偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用1.11.1FourierFourier变换变换 定义定义 7.17.1 若, 则对任意的, 积分有意义, 我们称它为的Fou

3、rier变换,或记为定理定理 7.17.1 (Fourier积分定理)若 ,则1( )( )2i xf x edxf1lim( )( )2Ni xNNfedfx (1.1)(1.2)11( )()()f xLC 1( )()f xL1 Fourier 变换及其性质5偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用 证：证：由于 ,因此含参变量的积分 对一致收敛, 且为的连续函数. 从而有1( )()f xL( )i xf x edx()12311()()221sin()()1sin()1NNixixNNMMMMfedfdedNxfdxNfxdJJJ(1.3)1 Fourier 变换及其性质6

4、偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用N (1 2 3)iJ i 现在分别讨论当 时的极限. 易知 同理可证另一方面, 我们有其中是的连续函数 11sin1()( )MNJfxdf xdxM31( )Jf xdxM21()( )( )sinsin1( )sin()sinMMMMMMNMMNf xf xf xNJN ddf xg xN dd 10()()g xfxdx(1.4) (1.5) 1 Fourier 变换及其性质7偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用00M0MM1344JJMN现在任给, 首先取足够大，使得当时, . 其次再固定, 取充分大, 由黎曼-勒贝格

5、(Riemann-Lebesgue)引理, 有1()sin4MMg xNd sinxxdxN此外, 当充分大时, 有 ( )sin( )4MNMNf xdf x将它们代入(1.3)立即可得当0NN时 1( )( )2Ni xNfedf x 定理证毕. 1 Fourier 变换及其性质8偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用公式(1.2)称为反演公式反演公式. 左端的积分表示取Cauchy主值.由此所定义的变换称为FourierFourier逆变换逆变换, 记为( )f因此(1.2)亦可写成,( )ff即一个属于11()()LC 的函数作了一次Fourier变换以后,再接着作一次Fo

6、urier 逆变换,就回到这个函数本身 注注:在以后应用Fourier变换的反演公式求解问题时, 我们先不必深究上述定理的条件是否满足, 而是直接应用它导出问题的形式解,然后再通过直接验证, 以确定这个形式解就是“真解”. 1 Fourier 变换及其性质9偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用1( )( )()f x g xL12 性质性质 7.1(7.1(线性性质线性性质) )若, 则对任意常数1212()fgfg1( )()f xL 性质性质 7.2(7.2(平移性质平移性质) )若，则对任意常数a, 有 ( ()( )iaf x aef(1.6) (1.7) 1.2.1.2

7、.基本性质基本性质 在运用Fourier变换求解定解问题之前, 我们先介绍Fourier变换的一些基本性质. ，有1 Fourier 变换及其性质10偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用 性质性质 7.3(7.3(对称性质对称性质) )若1( )()f xL, 则(1.8)( ( )()f xf 以上三条性质的证明均可由Fourier变换及其逆变换的定义直接推出. 请读者自己完成 . 性质性质 7.4(7.4(微商性质微商性质) )若1( )( )()()f x f xLC , 则d fifd x(1.9)1 Fourier 变换及其性质11偏微分方程教程 第七章 Fourier

8、变换及其应用 证证: :由假设1( )( )()()f xf xLC 知 lim( )0 xfx 事实上, 由( )()f xC, 则 0( )(0)( )xf xff t dt因为1( )()f xL, 故有 0lim( )(0)( )xf xaff t dt(1.10) 1( )()f xL0a又因, 由反证法亦知, 即(1.10)成立.由(1.10), 利用分部积分公式, 有 1( )21( )( )2i xi xdffx edxdxif x edxi f1 Fourier 变换及其性质12偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用 推论推论 7.17.1 若()1( )( )(

9、)()mfxfxLC 则()( )1mmmd fifmdx (1.11)， 注：注： 这个性质表明微商运算经Fourier变换后转化为乘积运算,因此利用Fourier变换可把常系数的常微分方程简化为函数方程,也可把偏微分方程简化为常微分方程.正由于这个原因,Fourier变换成为解常系数线性偏微分方程的重要工具.1 Fourier 变换及其性质13偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用 性质性质 7.5 (7.5 (乘多项式乘多项式) ) 若1( )( )()fxxfxL, 则 ( )( )dxf xifd1( )( )()fxxfxL ( )f 证：证：由于, 故的连续可微是 1

10、( )( )()( ( )2i xdff xixe dxi xf xd由此即知(1.12)成立. (1.12) 函数, 且有1 Fourier 变换及其性质14偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用 推论推论 7.27.2 若1()()()mfxxfxL , 则( )( )1mmmmdx f xifmd (1.13) 性质性质 7.6 (7.6 (伸缩性质伸缩性质) ) 若1( )()f xL,为非零常数, 则k1( ()f kxfkk(1.14)1 Fourier 变换及其性质15偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用 证：证：不失一般性, 设0k . 由定义7.1,

11、 有 1()()211( )211( )21ykkixiiyf kxf kx edxfy edykfy edykfkk1 Fourier 变换及其性质16偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用 性质性质 7.7 (7.7 (卷积性质卷积性质) ) 若1( )( )()f x g xL, 则 1()( )() ( )()fg xf xy g y dyL 且有 ()2fgfg 证：证：由富比尼(Fubini)定理, 有 111()()()()()()()()LLLfgxdxfxy gy dydxfxy gydygydyfxydxgf故1()fgL(1.15) (1.16) 1 Four

12、ier 变换及其性质17偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用()1()() ( )21( )()22( ) ( )i xi yix yfgedxf xy g y dyg y edyf xy edxgf再由Fubini定理 12( )()()f xLL 222LLLfff 性质性质 7.8 (Plancherel7.8 (Plancherel定理定理) ) 设, 则 (1.17) 1 Fourier 变换及其性质18偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用1.3.1.3.几个例子几个例子 下面我们通过几个例子说明如何利用Fourier变换的定义及基本性质来求一些具体函数的

13、Fourier变换. 例例 1 1 设 11()0 xAfxxA求1( )f. 例例 2 2 设 20( )00 xexfxx求2( )f. .1 Fourier 变换及其性质19偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用 解解：由定义7.1, 知 (1)20111( )122ixfedxi3( )xfxe 3( )f 例例 3 3 设, 求 解：解：由于 322( )( )()fxfxfx由性质 7.1, 性质7.6可得 322222( )( )()( )()1111211122fffxffii24( )xfxe 例例 4 4 求高斯(Gauss)函数 的Fourier变换. 1 F

14、ourier 变换及其性质20偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用22211242211424()()1( )21212xi xxixifeedxeedxeedx212()xied x 1,R 2R 对积分应用Cauchy定理改变积分路径 , , 则有 2122()xixedxedx 解解：由定义7.1, 得(如图7-1), 并令1 Fourier 变换及其性质21偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用图7-1于是可得 21441()2fe1 Fourier 变换及其性质22偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用 例例 5 5 设25()(0 )A xfx

15、eA, 求5( )f 解：解：由性质7.6, 有2454411( )()2AffAxfeAAA1 Fourier 变换及其性质23偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用1.4.1.4.高维空间的高维空间的FourierFourier变换变换 为了求解高维空间的常系数线性偏微分方程, 我们还需介绍高维空间的Fourier变换. 定义定义 7.27.2 设11()()nnf xxLR, 那么积分 1 12()1111()()(2 )n nnixxnnnf xx edxdxf有意义, 称为的Fourier变换, 记为1()nf1()nf xx.1 Fourier 变换及其性质24偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用 定理定理 7.27.2 若111()()()nnnf xxCLRR, 则有 1 1()111121( ()lim()()(2 )n nNNixxnnnnnNNNffeddf xx 其中1( ()nf 表示函数1()nf的Fourier逆变换. 容易证明关于一维Fourier变换的性质7.1-7.7, 对于高维Fourier变换仍然成立. 此外，根据Fourier变换的定义7.2, 我们