分类讨论思想是解答数学问题的一种重要思想方法和解题策略

1、分类讨论思想是人们常用的重要思想方法，无论是在生产活动、科学实验中，还是在日常生活中，都常常需要用到它。也是解答数学问题的一种重要思想方法和解题策略。它是为了解决因各种因素制约着的数学问题，使原本变幻的不定的问题，分解成若干个相对确定的问题，再各个击破，从而获得完整的解答。其实分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略。在很多数学概念、公式、法则、性质、定理中都蕴含着分类讨论思想。下面就常见的需分类讨论的几种情况 进行归纳。1、根据定义分类 有些数学概念是分类定义的（如实数的绝对值），所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。有些数学概念在下定义已经对所考虑的对象

2、的范围作了限制（如二次方程，要求二次项系数不为零），当解题过程的变换需要突破这些限制时，就必须分类讨论。 例：解方程|4x-4|-|2x+2|=14 解(1)当x1时, 原方程化为 (4x-4)-(2x+2)=14, x=10 当-1x1时，原方程化为4 4x-2x-2=14，x=-2, 应舍去. 当x-1时，原方程化为4-4x+2x+2=14, x=-4 x=10或-4 说明: 若在x的某个范围内求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解应舍去. 2、根据图形中位置的不同分类 有些几何问题，因图形的位置不能确定或形状不能确定，就必须分类全面讨论。 例：一张桌子有四只

3、角，砍掉一只角后，还剩几只角？ 当我们在上小学时，数学老师会问我们上述这个问题，当有的同学回答有3只角时，老师会说“错了”，而当有的同学回答有5只角时，老师则会表扬他们，称赞他们“聪明”。 实际上，砍去一只角后可能出现的多种情况，我们需分门别类，一一展示，再细细计算： （1）砍下去的那条边不经过桌面（矩形）顶点，那么还剩下 4-1+2=5只角（如图1所示（2）砍下去的那条边经过桌面的一个顶点，那么还剩下 4-1+1=4只角（如图2所示）； （3）当砍下去的那条边经过桌面的两个顶点，那么还剩4-1=3只角（如图3所示）。 3、根据数学运算的适用范围分类 有些数学运算的实施需要一定的条件（如零不能

4、作除数，不等式两边同乘以或除以某数时必须考虑正负等等），若在运算中要突破该运算的限制条件，就要进行分类讨论。 例：解不等式 (k-1)x-1 如果不加区分，得xk+1，那就不对了，因为既可以k-10，或k-1=0，也可以k-10。不同的情况下有不同的答案。正确的解答应该如下： 解：当k-10 即k1时，则x k+1 当k-1=0 即k=1时，原不等式为0·x0，不等式无解 当k-10 即k1时，则 x< k+1 综上所述：当k1时，xk +1；当k=1时，不等式无解； 当k1时 x<k+1 通过以上例子，可以总结出运用分类讨论的思想解题的基本步骤;确定讨论对象和确定研究的区域；对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；归纳总结，整合得出结论加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。教师在制订教学目的、采用教学方法时，都应有意识地突出分类讨论思想，并在具体教学过程中努力体现。根据初中学生的特点，教学中要遵照循序渐近、逐步深