2017-2018学年高中数学人教A版必修四教学案：32+简单的三角恒等变换+Word版含答案【KS5U+高考】

1、核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P139P142的内容，回答下列问题(1)与2是什么关系？提示：倍角关系(2)如何用 cos表示 sin22，cos22和 tan22？提示：sin221cos2，cos221cos2，tan221cos1cos.2归纳总结，核心必记(1)半角公式(2)三角恒等变换的特点三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系， 并以此为依据选择可以联系它们的适当公式问题思考(1)能用不含根号的形式用 sin，cos表示 tan2吗？提示：tan_2sin1cos1cossin.(2)如何用 tan2表示 sin，cos及 tan？提示：sin_2s

2、in2cos22sin2cos2sin22cos222tan21tan22._cos_cos2_2sin2_2cos22sin22cos22sin221tan221tan22.tan_sincos2tan21tan22.课前反思(1)半角公式的有理形式：；(2)半角公式的无理形式：.讲一讲1已知 sin45，32，求 sin2，cos2，tan2的值尝试解答32，sin45，cos35，且2234，sin21cos22 55，cos21cos255，tan2sin2cos22.解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子；(2)观察

3、已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值练一练1已知 sin2cos215，450540，求 tan2的值解：由题意得sin2cos2215，即 1sin15，得 sin45.450540，cos35，tan21cossin135452.讲一讲2化简：（1sincos）sin2cos222cos(180360)尝试解答原式2cos222sin2cos2sin2cos222cos222cos2cos2sin2sin2cos22|cos2|cos2（cos）|cos2|.又180360，902180，cos20，原式cos2 （cos）cos2c

4、os.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径如升幂、降幂、配方、开方等练一练2化简：(1) 1sin 1sin322；(2)sin（2）sin2cos()解：(1)原式|sin2cos2|sin2cos2|，322，342，0sin222，1cos222，从而 sin2cos20.原式sin2cos2 sin2cos22sin2.(2)2()，原式sin（）2cos（）si

5、nsinsin（）coscos（）sinsinsin（）sinsinsin.讲一讲3(1)若1，求证：tan()sincosA.尝试解答(1)左边sin22cos222sin2cos212cos221112sin22sin22cos222sin2cos212cos221112sin22sin2cos222|cos2|sin2|sin2cos222|cos2|sin2|因为32，所以220cos2.所以左边sin2cos222cos2sin2sin2cos222cos2sin212sin2cos2 12sin2cos2 2cos2右边所以原等式成立(2)因为 sinsin()sin()cosco

6、s()sin，所以 sinAsin()化为 sin()coscos()sinAsin()，所以 sin()(cosA)cos()sin，所以 tan()sincosA.三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立练一练3求证：2sin xcos x（sin xco

7、s x1） （sin xcos x1）1cos xsin x.证明：左边2sin xcos x2sinx2cosx22sin2x22sinx2cosx22sin2x22sin xcos x4sin2x2cos2x2sin2x2sin x2sin2x2cosx2sinx22cos2x22sinx2cosx21cos xsin x右边原等式成立课堂归纳感悟提升1本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用2要掌握三角恒等变换的三个应用(1)求值问题，见讲 1；(2)化简问题，见讲 2；(3)三角恒等式的证明，见讲 3.3对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到

8、的(2)半角公式给出了求2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道 cos的值及相应的条件，便可求出 sin2，cos2，tan2.(3)由于 tan2sin1cos及 tan21cossin不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于 tan2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用 sin221cos2，cos221cos2求解课下能力提升(二十五)学业水平达标练题组 1求值问题1设 56，cos2a，则 sin4()A.1a2B.1a2C1a2D1a2解析：选 D454，64，sin41cos221a2.2若 f(x)2tan

9、x2sin2x21sinx2cosx2，则 f12 的值是()A4 33B8C4 3D4 3解析：选 Bf(x)2tan x2sin2x2sin2x2cos2x212sin x2tan xcos x12sin x2(tan x1tan x)又 tan12sin61cos6132，原式2132 328.3已知 cos35，且 180270，求 tan2.解：法一：180270，902135，tan20，tan21cos1cos1351352.法二：180270，sinbcBabcCacbDbca解析：选 Casin 30cos 6cos 30sin 6sin 24，bsin 26，csin 25

10、，acb.3已知关于 x 的方程 x2xcos Acos B2sin2C20 的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是()A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形解析：选 C由一元二次方程根与系数的关系得cos Acos B122sin2C2 ，即 cos Acos Bsin2C2sin2（AB）2cos2AB2121cos(AB)得 cos(AB)1.AB.4若 cos 2cos0，则 sin 2sin_解析：由 cos 2cos0 得 2cos21cos0，所以 cos1 或12.当 cos 1 时，有 sin0；当 cos12时，有 sin32.于是 sin 2sinsin

11、(2cos1)0 或 3或 3.答案：0 或 35设为第四象限角，且sin 3sin135，则 tan 2_解析：sin 3sinsin（2）sin（12sin2）sin2cos2sinsin2cos 21135，所以 cos 245，又是第四象限角，所以 sin 235，tan 234.答案：346化简：(1)2 sin 81 2cos 82；(2)12121212cos 2322.解：(1)原式2 sin24cos242sin 4cos 4 2（2cos241）22 （sin 4cos 4）2 4cos242|sin 4cos 4|2|cos 4|，由于432，sin 40，cos 40，sin 4cos 40，原式2(sin 4cos 4)2cos 42sin 44cos 4.(2)322，342.原式12121cos 221212|cos|1212cos1cos2cos22cos2.7设函数 f(x)sin2x2 3sinxcosxcos2x(xR)的图象关于直线 x对称其中，为常数，且12，1.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 yf(x)的图象经过点4，0，求函数 f(x)的值域解：(1)因为 f(x)sin2xcos2x2 3sinxcosxcos 2x 3si