三角形章节知识点总结讲解

1、命题与证明知识点梳理(1)定义、命题、定理、公理的有关概念(I)定义是能明确指出慨念含义或特祇的句子.它必须产密.(2)命题；判断一件事情的语句.命题由题设和绩波两部分组成一希迪的真般：正确的命题称为真印题，错派的命题称为假命题.互逆命越.在两个命题中.如果第一个漳题的题设是毫二个南题的给论，而第一个命逋的结论 是第二个命题的题设.那么这两个命题称为互逆命题.每一个命题都有逆命题.0)定理，经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所宜的定 理都有送定理.(4)公理:有一类命题的正例怪是人扪在长期的实践隼总造出来的,笄把E们作为判断其他命题真 伪的原始依据.这样的真命

2、题叫公理.梅慝提不：时命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正，误，错 误的命题也是命题“(2)证明1证明，根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正硼' 这一推理过程 郁为证明.2.证明的一般步蝶：审题，找出命题的题谩和结论*由题意画出图形，具有一般性*用数 学语言写出已细，的由 分析证明的思路；写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密.温馨提示,命题证明应根据证明的步骤一步步进行；图形证明需要分析好已知条件，无需再画图重新写已知.求 讦，用学讨的知识经时严密的推理，推导出结论.三角形知识点梳理1.三角形的定义：由不在同一直线上

3、的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为ABC ,三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.注意：(1)三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；/A(2)三角形是一个封闭的图形；(3) UABC是三角形ABC的符号标记，单独的I I没有意义。XBC2.三角形的分类:(1)按边分类：(2)按角分类：(等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形等边三角形直角三象形、不等边三角形(锐角三

4、角形I钝角三角形3 .三角形的主要线段的定义：(1)三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段.表示法：1.AD是|_|ABC的BC上的中线.2.BD=DC= 1 BC.2注意：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部;三角形三条中线交于三角形内部一点;中线把三角形分成两个面积相等的三角形.(2)三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD是ABC的/ BAC的平分线.12.Z 1 = 72=1 / BAC.2注意：三角形的角平分线是线段；三角形三条角平分线全在三角形的内部;三角形三条角平分线交于三角形内部一点；用量角器画

5、三角形的角平分线.(3)三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.表示法：1.AD是UABC的BC上的高线.2.AD，BC 于 D.3./ADB= ZADC=90° .注意：三角形的高是线段；锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是 边，钝角三角形有两条高在形外;三角形三条高所在直线交于一点.4 .三角形的主要线段的表示法：(1)三角形的角平分线的表示法：如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示：AD是，ABC的角平分线； AD平分/BAC交BC于D; 如果AD是|_|ABC的角平分线，那么 ?BAB/DAB/BAC(2)三角形的

6、中线表示法：如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示:AE是ABC勺中线；AE是AABC3 BC边上的中线;如果AE是 MBC勺中线，那么 BE=ECBC2(3)三角线的高的表示法：如图2,根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：AM . .ABC勺高；AM是ABC3 BC边上的高； 如果AM是MBC43 BC边上高，那么 AM_BC垂足是E; 如果AM是MBC43 BC边上的高，那么 /AMB/AMC90*5 .在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1) 如图3,三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部图2(2) 如图4,三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部

7、如图5,6,7 ,三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三 角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.图5图6图76 .三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边 注意：(1)三边关系的依据是：两点之间线段是短；(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.7 .三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180号(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角(4)直角三角形的两个锐角互余 .三角形的内角和定理定理：三角形的内角和

8、等于180°.推论：直角三角形的两个锐角互余。推理过程：一、作 CM / AB ,则 / 4= / 1 ,而/ 2+7 3+7 4=1800,即/ A+ / B+/ACB=180 二、作 MN / BC,则/ 2=Z B, / 3=/ C,而/ 1 +/ 2+/ 3=180°,即/ BAC+ / B+/C=1800.注意：(1)证明的思路很多，基本思想是组成平角.(2)应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角. 三角形的外角的定义三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.如：/ACD、/

9、BCE 都是LJABC 的外角，且/ ACD= / BCE.所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了三角形外角的性质(1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和.(2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角.注意：(1)它不相邻的内角不容忽视；(2)作CM /AB由于B、C、D共线. A=/ 1, / B=/2.即/ ACD= Z1 + Z2=ZA+ ZB.那么/ ACD> / A. /ACD> / B.8 .三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性.注意：(1)三角形具有稳定性；(

10、2)四边形没有稳定性.适当添加辅助线，寻找基本图形(1)基本图形一，如图 8,在 MBC中，AB=AC B,A,D成一条直线，则 /DAC2/B=2/C或1 B= C= - DAC 2(2)基本图形二，如图 9,如果CO是/AOB勺角平分线，DE/ OB交OA,OCF D,E,那么ADOE是等腰三角形，DO=DB!几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线一等腰三角形.图9基本图形三，如图 相交于P,N.那么 形.10,如果BD是/ABC的角平分线，M是AB上一点，MNBD且

11、与BP,BCBM=BN即；：BMr等腰三角形，且 MP=NP即：角平分线+垂线一等腰三角当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形， 如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图 11,图12.m图1线段的垂直平分线知识点梳理(1)定义:经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线如图1,v CA=CB,直线m±AB于C,直线m是线段AB的垂直平分线(2)性质:线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。(3)如图 2, v CA=CB ,直线m±AB于C,点P是直线m上的点。 . PA=PB 。图 2(4)列J定：与线段两端点距离相等的

12、点在线段的垂直平分线上。如图 3, . PA=PB,直线m是线段AB的垂直平分线, 点P在直线m上o等腰三角形1 .有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等 边三角形是特殊的等腰三角形。2 .等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3 .等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。4 .等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。5 .等边三角形的判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60。的等腰三角形是等边

13、三角形。6 .含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等边三角形(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形(2)等边三角形的性质:等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60。；等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴(3)等边三角形的判定三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形；有两个角都等于 60。的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.(4)两个重要结论在直

14、角三角形中，如果一个锐角是30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°.两个重要结论的数学解释：已知：如图4,在4ABC中，/ C=90°,则:如果 AB=2BC,那么/ A = 30°如果/ A = 30°,那么 AB=2BC.直角三角形1 .认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“ 母”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的 斜边，构成直角的两边称为直角边。如果AB

15、C是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角 A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。如果AB=AC且/ A=90。，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们 称之为等腰直角三角形。2 .掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度 计算以及简单说理。3 .会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。4 .掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并 能灵活应用。5在直角三角形中如果一个锐角是30。，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点：1在直角三角形中如何正确添加辅助线通

16、常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。勾股定理及逆定理一、勾股定理及其证明勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方符号语言：在 ABC中，/ C=90° (已知)222a b =c证明：进行图形拼接用面积法证明.制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股定理.b aa b二、勾股定理的应用：(1)已知两边(或两边关系)求第三边；(2)已知一边求另两边关系；(3)证明线段的平方关系；(4)作长为Vn的线段.三、勾股定理的逆定理2,22如果三角形的三边长 a、b、c满足a +b =c那么这个三角形是直角三角形1 .勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形

17、，然后通过证全等完成；2.勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代 数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：1 .先找出最大边(如 c);2.计算c2与a2 +1,并验证是否相等.22,2若c =a +b ,则4ABC是直角三角形.22.2若c =a +b ,则4ABC不是直角三角形.2,22,222注意：（1） AABC 中，若 a +b =c ,则/ C=90° ;而 b +c =a 时，则/ A=22290。； a +c =b 时，贝叱 B=90° .2,2

18、2（2）若a +b <c ,则/ C为钝角，则4 ABC为钝角三角形.2,22若a +b >c ,则/ C为锐角，但 ABC不一定为锐角三角形.三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5; 6、8、10; 5、12、13; 8、15、17 等.各主要三角形类型之间的对比三角形 回定义性质判定等腰三 角形有两条边相 等的三角形 是等腰三角 形，其中相等 的两条边分 别叫做腰，另 一条边叫做 底边，两腰的 夹角叫顶角， 腰和底边的 夹角为底角1、等腰三角形是对称图形， 顶角 平分线所在直线为它的对称 轴2、等腰三角形两底角相等， 即在 同

19、一个等腰三角形中，等边对 等角3、等腰三角形的顶角平分线， 底 边上的中线和高线互相重合， 简称等腰三角形的三线合一1、（定义法）有两条边相等 的三角形是等腰三角形2、如果一个二角形后两个角 相等，那么这个三角形是等 腰三角形，即，在同一个三 角形中，等角对等边等边三 角形三条边都相 等的三角形 是等边三角 形，它是特殊 的等腰三角 形，也叫正三 角形1、等边三角形的内角都相等， 且 为60°2、等边三角形是轴对称图形，且 后二条对称轴3、等边三角形每条边上的中线， 高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是 等边三角形的对称轴1、三条边都相等的三角形 是等边三角形2、三个内

20、角都等于60°的 三角形是等边三角形3、有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形直角三 角形有一个角是 直角的三角 形是直角三角形，即“Rt ”1、直角三角形的两锐角互余2、直角三角形斜边上的中线等 于斜边H勺一半3、直角三角形中30°角所对的 直角边等于斜边的一半4、直角三角形中两条直角边的 平方和等于斜边的平方（勾股 定理）1、有,个角是直角的一角 形是直角三角形2、后两个角互余的二角形 是直角三角形3、如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条 边的平方，那么这个三角 形是直角三角形（勾股定 理逆定理）全等三角形知识点梳理、知识网络/性质对应角相等”寸应边相

21、等边边边SSS二应用全等形 T全等三角形 «边角边SAS判定 < 角边角ASA角角边AAS斜边、直角边 HL右八" 1r 作图角平分线 L E 一一性质与判定定理、基础知识梳理(一)、基本概念1、全等”的理解全等的图形必须满足：(1)形状相同的图形；(2)大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形 定义：能够完全重合的两个 三角形称为全等三角形。(注：全等三角形是 相 似三角形中的特殊情况)当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得

22、出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4) 有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的,对顶角一定是对应角；2、全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等；(2)全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等。(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相

23、等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等 （AAS）（2）已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等（SAS）第三组边也相等（SSS）（3）已知条件中有一边一角对应相等，

24、可找任一组角相等（AAS或ASA）夹等角的另一组边相等（SAS）经典例题例1.已知如图，在 A ABC中，AD是/ BAC的平分线，DE XAB于E, DFXAC于F,求证：AD ±EFo1分析：欲证 AD XEF,就要证/ AOE= / AOF= 2 / EOF=90。所以要考虑证 AAEO仁AAFO。由题中条件可知 AAEO, AAFO已有一边（公共边）一角对应相等，只要证出AE=AF问题就解决了，所以需先证明AAED仁AAFD。证明：: AD是/ BAC的平分线，DELAB,DF XAC （已知）DE=DF （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）在RtAAED和RtAAFD中

25、=如公共边） Rt AAED仁RtAAFD（HL）,AE=AF（全等三角形的又t应边相等 ）在AAEO和AAFO中X口一川口/公共边）A AEO A AFO,. / AOE= / AOF （全等三角形对应角相等 ）£ ./ AOE= /EOF=90 ,.AD ±EF （垂直定义）。例2.写出下列定理的逆命题，并判断真假。（1）同位角相等，两直线平行。(2)如果x=3 ,那么x2=9.(3)如果AABC是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，AABC的三个外角中只有两个钝角。如果 AABCAABC',那么 BC=B'C', AC=A'C&

26、#39;, / ABC= / A'B'C'。解：(1)的逆命题是：两直线平行，同位角相等，真命题。(2)的逆命题是：x2=9,则x=3。它是一个假命题。丁 (-3)2=9,x=3 或 x=-3.(3)的逆命题是：如果AABC的每个内角取一个对应外角时，若三个外角中只有两个钝角，那么A ABC是直角三角形。它是一个假命题，因为A ABC还可能是钝角三角形。(4)的逆命题：如果在 A ABC 和 AA'B'C'中，BC=B'C' , AC=A'C' , / ABC= / A'B'C',那么 A

27、ABC 里 A A'B'C'。这是一个假命题，因为有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。例3.已知：如图，M, N分别在/ AOB的两边上，求作一点 P,使点P到M, N两点的距离相等，且到/ AOB两边的距离相等。作法：1、连结MN ,作线段 MN的垂直平分线 CD。2、作/ AOB的平分线 OE,交CD于P,点P即为所求。例4.在等腰直角三角形 ABC中，已知AB=AC , / B的平分线交AC 于 D。求证：BC=AC+AD分析：如图：BD为/ABC的平分线，DALAB,利用角平分线的性质，可以转化AD ,方AB=BEDE=EC (等腰三角形的性质

28、)法是作DE垂直BC于E,则有 AD=DE ,容易得到 DE=CE ,证明：过D作DE垂直BC于E,BD 为/ ABC 的平分线，/ A=90°AD=DE(角平分线的性质)在 RtAABD 和 RtAEBD 中，= 已证，1助=8/公共边) RtAABD 仁 RtAEBD (HL)AB=EB A ABC为等腰直角三角形(已知)，./C=45DE 垂直 BC 于 E, ./ DEC=90 , . . / C= / EDC=45 ,BC=BE+CE=AB+DE=AC+AD说明：这种方法是利用角平分线的性质作DEXBC,实际上是在长的线段BC上，作出了BE=AB=AC ,所以只要再证明 A

29、D=EC就可以证明结论。相应的，还可以将 线段AB补长，方法如下。方法二：如图，延长 BA到M ,使得 AM=AD ,连接 DM。证明提示：只要证明三角形BDM和三角形BDC全等即可。(容易证明/ M=/C=45)小结：主要内容是角平分线的性质定理和它的逆定理以及线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。能够利用它们证明两个角相等或两条线段相等；对于原命题和逆命 题的关系，要能说出题设和结论都比较简单的命题的逆命题。例5.如图，已知点C为线段AB上一点,和 ACBMCM良于点P, BM CN于点11）求证： 小加.（2）求一一 的度数.（3）求证：PQHAB.【分析】（1）欲证AN二BM ,只需证明

30、它所在的两个三角形全等.（2） ZAOB 的度数可用 KOBN的外角来求，但要注意全等所得到 Z4=Z5 这一条件的使用.（3）要尸2”阳，则N2=N1=6。, 八广0。应该为-个等边三角形，可证明,从而得到P。二.（i）证明：YMCM 和 ACSM都是等边三角形，:,Z1=Z3 = Z6=6O°, AC=CM, BC=CN,:N1+N3=Z6+N3= 120。，即v 4cM= 在A/CM和AMCS中，加=2 二必CN飞毗B-M.（2）由（1）知， AACSMCS,=: 4必NO晒/瓯即403=N5+/C泌+明0二4+沏/加0号。曲泌。二12。.（3）在 NPCN和 AQCB 中,叱

31、4 = /5“ Z1 = Z3 cuzcnzcb,二PC=QC"PQ=/cqf.又？公60。、=眸="2洌006。 即用c二4二型/您.【点拨】（1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等.（2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋 转变换的三角形全等.例6.如图， ABE和ADJ4ABC分别沿着AB, AC翻折180°形成的，若/ 1 ： / 2 ： / 3 =28 ： 5 ： 3, 的度数是.（答案）/ a =80° （解析） Z 1 ： / 2 ： / 3= 28 ： 5 ： 3,设/ 1 =

32、28 X，/ 2=5 x , Z 3 =3 X , -28x+ 5X+3 x=36 x = 180° , X =5即/ 1=140。，/ 2 = 25° , /3=15°, ABE和 ADC是 ABC分别沿着AB, AC翻折180°形成的，： AB9 ADC ABCMZ 2=/ ABE / 3=/ ACDa=/EBO/BCD= 2/2+2/3 = 50° + 30° = 80（点评）此题涉及到了三角形内角和， 外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题 见“比例”设未知数 X是比较常用的解题思路.例 7.如图，在 ABCW4ADE中，AB= AC, AD= AE, BD= CE 求证：/ BAD= /CAE.（答案与解析）AB = AC证明：在 ABD和 ACE中，AD =AEBD =CE.AB