基于数学核心素养,有界、收敛型数列不等式的研究

1、基于数学核心素养，有界、收敛型数列不等式的研究陈斌杰【摘要】新课标对数学核心素养做了相关的阐述，其中包括了六大成分，包含了数学运算和数学建模和数据处理。而有关数列的相关不等式证明，思维跨度和难度较大，可以比较全面的考察学生的数学思维的敏捷度和创新度，也可以很好的展示数学素养中的数学运算和数学建模以及数据处理。一直是高考的压轴题，也常常成为竞赛题。具体证明时常常需要采取放缩法，本文将从一道高考题出发，利用等比放缩的技巧，说明型数列不等式有关证明。【关键词】数学核心素养 等比放缩 型 数列不等式教育部在关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见中，明确界定了核心素养。高中数学新课标准中也指出

2、数学的核心素养的六大成分：数学抽象、直观想象、逻辑思维、数学运算、数学建模、数据处理。核心素养的得以实现的落脚点就在于解决问题。和数列有关的不等式正好可以体现这六大成分，特别是数学运算、数学建模、数据处理。所以有关数列的不等式一直是高中数学的一个难点，但是因其思维跨度大，构造性强，需要有较高的放缩技巧，而且充满思考性和挑战性，能全面且综合的考查学生的潜能和后继学习能力，因而成为高考压轴题及竞赛试题的极好素材。数列的放缩，基本上可以分为“先求和再放缩”与“先放缩再求和”两种类型。其中“先求和再放缩”的题目相对而言是比较容易。但不能求和的数列，就需要先对数列进行放缩，使得它可以求和，放缩的方向主要

3、有两个：一个是往等比数列方向进行放缩，另一个是往可以裂项求和的方向进行放缩，我们可以分别称它们为“等比放缩”和“裂项放缩”。本文将着重研究“等比放缩”的相关问题。使相关问题的解决得以构建、实现、发展。一：等比放缩规律的探究问题的解决得以构建1、题目呈现：例1：（2014年全国新课标卷第17题）已知数列满足， （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）证明 点评：此题主要考察了数列求通项的方法，第2问中学生会感到十分困难，若利用放缩法将数列变成可求和数列，放缩的方向不明确；若利用数学归纳法，因要通过来证明，显然不可能。而实际上对于数列的前项和小于某个常数，即（为常数）的证明是有研究的必要性的

4、。本文通过等比放缩的方法对第（2）问证明，来说明此类不等式的常见证明方法，供大家参考。2、思维规律的形成对于数列的前项和小于某个常数，即（为常数）的证明，如果我们可以找到一个公比小于的等比数列，使得，则有 ，若有，则不等式得证。如何快速的找到满足条件的数列，是等比放缩的一个关键，要找到数列，我们只需找到数列的首项和公比，不妨我们做如下调整。令，这样我们可以求出公比，则，那么数列的前项和，若有，则有，即，则不等式得证。3、等比放缩方法的规则建立 由（1）的求解可知，所以，下面证明方法一：构造，则令，则，所以下面只需证明成立（该步骤的证明比较简单）。方法二：构造等比数列，其中令，则可以求得则只需证

5、明（这步也比较容易说明）。则上面的两种方法其实都是通过等比放缩，利用无穷等比数列求和的和式的结构进行放缩，方法一是通过构造一个已知公比的等比数列，使得原通项比一个的对应项小，再结合结论求解，这种构造的方法有较大的偏颇性，为什么构造的等比数列的公比原式子中?为什么会存在这样的一个，使得？用上述方法最后解得的，每次一定会成立吗？而方法二，则是结合原不等式的左端的式子结构，构造出对应的首相，再结合结论来求解，所以需要验证的是这种构造的合理性。笔者认为相对于第一种方法，更容易被学生所接受。而当前的教学中，大多数教师都是采取第一种等比放缩来教学的。二：等比放缩规则的确立问题的解决得以实现1、方法一中的等

6、比放缩法基本步骤和原理（1）、构造等比数列，使得，利用求出；（2）、验算证明；（3）、这种等比放缩法的思维难点在于为什么会就一定存在，使得成立？以上面的例题说明就是为什么存在这样的一个，使得，其实就是在找一个数列去逼近，由于存在，所以肯定存在这样的一个，使得恒成立，也就是找到了等比数列2、方法二中的等比放缩法基本步骤和原理（1）、构造等比数列的首项和公比，一般令，；（2）、证明；（3）、下结论，这种解法的思维难度较低，且理解起来更方便，只要通过已知条件证明即可。3、等比放缩法需要验算、调整上例的证明过程中，方法一直接由结论求的，代回去后易知恒成立；而方法二中求出后，也可以求的即恒成立。但并非所

7、有的题目都会那么显然的成立的。例2：求证解：方法一：可以构造，由等比放缩的结论知，只需，但是我们发现对于不会恒成立，而是需要，所以需要调整，即取出第一项，则左边，则，此时，对于恒成立。所以等式得证。方法二：构造等比数列，使得，使得，则求得，但是发现不会恒成立。我们做调整，也是保留第一项，则令，使，解得，则发现恒成立，得证。所以，我们在利用“等比放缩”法，证明型数列不等式时，若构造初始的构造不合理时，需要根据第二部证明的过程进行验算和调整，这也是等比放缩法的关键性步骤和难点所在。三：等比放缩法适用题型的延伸问题的解决得以发展 现在我们已经知道了型数列不等式可以采取等比放缩法证明，而其实很多题目看

8、似并非型，但是若变形后依旧可以用等比放缩进行证明。例3：（湖州市期末） 已知正项数列满足：，.证明：(1) ；（2）；（3）.解：（1）所以因此与同号，所以.(2)与同号，又 ，.(3)要证，只需证，即只需要证，（型）令，解得，要证，只需证，即证，即证，即证，显然成立.原不等式得证.例4：(浙江省名校协作体联考改编)已知数列，求证.令，则原题目等价与证明：.解法一：，令当时，.当时，经检验.原不等式得证.解法二：，则令，则，则易知恒成立.解法三：令，解得，要证 ，只需证 ，即证 ，即证 ，显然成立，所以，原不等式得证. 例5：（全国卷）数列满足，当时，证，（1）；（2）.解：（1）用数学归纳法

9、证明：当时，不等式成立；假设当时不等式成立，即，则，即当时，根据和，对，有.（2）本小题若采取方法一，则比较难有思路，但是用方法二进行构造则思路仍旧一样。，令，解得，要证，只需证，即证，即证，即证，即证，由（1）可知，显然成立，所以,不等式得证.等比放缩法证明数列不等式的过程中，证明时，题目中的已知条件往往是证明中的桥梁，用好这一桥梁，也就离解题的完备性不远了。用等比放缩法证明型数列不等式的本质是用一个等比数列去逼近原数列，将原本陌生的问题，熟悉化；将原本问题复杂的问题简单化，同时注意等比放缩法的解题策略、比较和注意点以及题目类型的延伸，这才是数学学习和数学核心素养的培养过程的真谛。普通高中数学课程标准在课程理念中提出“强调本质，注意适度形式化”。在数学的学习、教学过程中，不能只是局限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，只有将数学素养转化为学生自身的素养，才能真正地促进学生的发展，而核心素养的落脚点必定在解决问题上。解决问题的过程貌似艰辛，但是它却锤炼了学生的数学思考，发展了学