排列数、组合数公式及二项式定理地应用

1、排列数、组合数及二项式定理整理慈济中学全椒刘1、排列数公式n!m m 1Cn + Cn1An = n(n 1) (n m 1)=(n m)! .( n , m n*，且 m n)2、排列恒等式(1)Am (nm1)An°1；(2)a：nn A：1 Amm;(3) AnnA：11；nA? A?；a?A1 'Amm 1mAn佝1! 2 2!3 3! L n n!(n1)!13、组合数公式a：n(n1)(nm 1)n!cn a：=1 2m=m! (n m)!(n n* ,mN，且mn).4、组合数的两个性质m n m(1) Cn = Cn5、排列数与组合数的关系A：m! Cnm6、

2、二项式定理：(a b)n C：an Cnan 1b L Qa" rbr LC：bn(n N )【注】：1 .基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。 二项式系数：展开式中各项的系数 Cn (r 0,1,2,n). 项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式r n r r通项：展开式中的第r 1项C；an rbr叫做二项式展开式的通项。 用1 Cna b表示。2 .注意关键点: 项数：展开式中总共有 （n 1）项。顺序：注意正确选择 a,b,其顺序不能更改。（a b）n与（b a）n是不同的。是升幕排列。指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。b的指数

3、从0逐项减到n ,各项的次数和等于n .系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是c；°,cn,cn,cn, ,c；项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。3 常用的结论:令 a 1,b x, (1 x)nC0C；x C：x2 LC：xr LC：xn(n N )令 a 1,b x, (1 x)n1 2 2r rCnx Cnx LCnxL(1)nC；xn(nN )4 .性质:二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，0n kkcn cn , cn cn式系数的和项式系数和C° C； CnL cn L C：2n,2变形式CnCn Lcn LC

4、n奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和:0 12在二项式定理中，令a 1,b1，则Cn Cn Cn1)nc； (1 1)n从而得到：c0 c； c4Cn2rcn c； L2r 1Cn 奇数项的系数和与偶数项的系数和:(anx)COan Ox(xa)C：aO nx令x1,则aoa1令x1,则aoa1得,aOa2得,a1a3C1an 1xClaxn 1a2a2a3La3C2an 2x2C；a2xn 2anan(a1)nn 0 nCna xC：anx°(a 1)na0a1x1a2x2nanX2a2xnL anX1axa°a4L an 丄卫 丄1£（奇数项的系数和

5、）2a5L anLi （偶数项的系数和）2nn 1 n 1cF ,cF同时取 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C?取得最大值。 如果二项式的幕指数 n是奇数时，则中间两项的二项式系数得最大值。 系数的最大项：求（a bx）n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别A 1Ar为A1, A2, An 1，设第r 1项系数最大，应有，从而解A 1Ar 2出r来。7、组合数公式的应用：mmmmm 1公式 1 Cm + Cm 1 + Cm 2 + + Cm k = Cm k 1此公式可由下面方法推得m 1从m n 1个不同元素中取出m个不同元素

6、的组合数为Cm k 1先将其分为 m n 1个元素中不含其中一个元素a1的和含元素a1的两类而这两类的组合数分别为Cm 1与c； k即得C： 1 1 = C； 1 + C； k，依此再将组合数C； 1分为两类可得 m 1 m 1mCm k = Cm k 1+ Cm k 1，不断将组合数上标为 m 1的项进行如此分类即得公式1。,.Ok 1 k 12 k 2m km k、（ IM公式2Cm.Cn +Cm. Cn+Cm.Cn+Cm G=Cm n此公式可由下面万法推得。k从放在一个盒中的 m个不同黑球与n个不同白球中任取出 k的球的方法种数为 Cm n ,将取出的k个球按所含白球数分类，分为含白球数

7、为0个，1个，2个.k个共k+1类，取m即得公式2。下面举例说明以上0 k 1 k12 k 2m k法种数分另IJ为Cm.Cn ,Cm.Cn, CmG ,Cm Cn两个公式在数列求和方面的应用。2小2、4 + + Cn 1 )例 1 Sn =1 X2+2 X3+3 X4+ . +n x(n +1)求 Sn解：1 X2+2 X3+3 X4+ . +n X(n+1)= 2( C；+C；+c=2£2=5 2)(n 1)n例 2 求 sn=12+2 2+3 2+ +n 2解：T cn 1 =込卫2昭=n2+n2 2 2：2 ( C2 + C3 + C4 + +3 (n 1)n-2 Cn 2=

8、 Sn +-2 整理得 sn = n(n 1)(2n2 (n 1)nCn 1 )= Sn +2得(n 2)(n1)n s得=Sn1)(n 1)n+2例3求Sn =13+2 3+3 3+n 3解： C；2 =(n 2)(n 1)nA6C：2= n3+3 n2+2n6 ( c3+c4+ &+ C；2) =Sn+3n(n 1)(2n 1)+26曲3=/3呵咖% 4解出Sn(n 1)n2并整理得2 24an=n 4,an= n 5,的和。Sn = 51)"用类似的方法可求出4例4 一盒内有大小相同的黑球M个，白球N个，从中任取 m个球(m <M , m <N ), 求含有

9、白球的个数E的数学期望。解：由题意E的所有可能取值为 0,1 , 2 ,., m。分布列为:012m-1mP0 mCNCM1 m 1CN CM2 m 2CNCMm 11CNCMm 0CN CmmCM NmCM NmCM NmCM NmCM N1:E宁-mCMCNCM +2 CN CM + + ( m-1 )cj 1cM +m cmcM )NEE=kCm1 .CNCN1mNcMcNcm2+mN_m 1CNcM + - cmcMNNE5= -mCM N(cNm1CMiCNm 2m 2 1m1CM+ + CN 1 CM + CNz m m m(二 CN = CNN1）N:E 5=mCM Nm 1CN

10、 Mm mcJ n nHMCn mNmM N（此为超几何分布的数学期望）8、二项式定理的应用：题型一：二项式定理的逆用;解：设 Sn cn 3Cn 9Cn L例：C1 C： 6 c3 62 L C； 6n 13Snc：3 c32C；33 LC：3nC0C：3 C32C；33 Lcn3n1(1 3)n 1Sn(1 3)n 13题型二：利用通项公式求 xn的系数;的展开式中倒数第n 22解：由条件知Cn 45，即Cn 45 ,33项的系数为45，求含有x的项的系数?9(舍去)或n 10 ,解:(16)nc0c ncn6cn62c3 c n63 LCn 6与已知的有-些差距，cn c6c；62Lc；

11、6n1 1 11-(C；66 C:62LC； 6n)1(Cn06c1cn6cn62Lcn cn6n 1)6(16)n11(7n 1)6练：C1 3cn9C3nL3n 1cnn 1 n3 Cn ,则1210 r 2r41° r, 3、rr 4 3r10 r 2Tr 1 C10(X ) (X )C1OX，由题意r4 33 633贝U含有x的项是第7项T6 1 C10x210 x，系数为210。练：求(x2)9展开式中x9的系数？2xr . 2、9 r,1 、r r 18 2r /1、r r r .1 . r 18 3r解：Tr 1 C9(X ) ()C9 x( ) xC9( ) x2x2

12、2r 39 3 1 3 21 故x9的系数为C；()32 2题型三：利用通项公式求常数项；3,解得r 6，令18 3r 9,则2例：求二项式(X1 102 J)的展开式中的常数项?解:Tr1C；0(X2)10rr51 20 rC；0(1)rx22令205r 0，得r 8，所以练:解:T9 C0(1)8 25622561 6求二项式(2x)6的展开式中的常数项?2xTr1 C；(2x)6 r( 1)G)r2x(1)rC；26r(2)rx62r，令 6 2r0，得 r 3，所以3 3T4 ( 1) C6201练：若(X2-)n的二项展开式中第 5项为常数项，则n .x解: T5 C4(x2)n 4

13、(-)4 C4x2n 12，令 2n 12 0，得 n 6 .x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式 C-X 3 x)9展开式中的有理项?1 1解：Tr 1 C9(X2)9 r( X3)r27 r(1)rcL，令 27 rZ,(0 r9 )得 r3 或 r9，所以当r 3时，詈4，T4 (1)3C3x484 x4，题型五：奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和;例:展开式中偶数项系数和为256，求 n.解:展开式中各项系数依次设为a0 , a1, an ,练:解:令x 1则有aoa°a1 a?a3将-得：2（ai有题意得，23x-2）的展开式中,印 an 0

14、,，令x1，则有(1)nan2n,a3a525628，2n,aia3a5所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。Qcn Cn2 c： c2rcn3 l c；r 12n 1，2n 11024，解得n 11所以中间两个项分别为 n 6,n7，扩（3：）6（5；）5462 x 4， 61T6 1462 x题型六：最大系数，最大项；1例：已知（丄2x）n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展2开式中二项式系数最大项的系数是多少？4 652解：QCn Cn 2Cn, n 21n 98 0,解出 n 7或n 14，当 n 7时，展开式中二1 35项式系数最大的项是T4和T5

15、T4的系数C；（ ）423,，2 21T5的系数c；（）324 70,当n 14时，展开式中二项式系数最大的项是T*，2T8的系数。74山727 3432。2练：在（a b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n 1 Tn 1，也就是第n 1项。x练：在(2的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少?解：只有第5项的二项式最大，则 -15，即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于26 1 2C8(2)7例：写出在(a b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项?解：因为二项式的幕指数 7是奇数，所以中间两

16、项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取343434得最大值，从而有T4C7a b的系数最小，T5 C7 a b系数最大。1例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(-2x)n的展开式中系数最大的项？2解：由 Cn C Cn 79,解出 n 12,假设 Tr 1 项最大，Q (2 2x)12 (*)12(1 4x)12Ar 1 ArC；24rC1214r 111，化简得到 9.4 r 10.4，又 Q0 r 12，Ar 1 Ar 2。昇酩场r 10，展开式中系数最大的项为 Tn,有T11(1)12C112)410x1016896x10例：在(x y)7的展开式中，系数绝对值最大项是；解：

17、求系数绝对最大问题都可以将“(a b)n ”型转化为"(a b)n"型来处理，4 34525故此答案为第4项c7x y，和第5项 C7x y 。10练：在(12x)的展开式中系数最大的项是多少？r r r解：假设Tr 1项最大，QTr 1 C10 2 xArArArAr 2C；2rC；°2rr 1 r 1C10 2C；012r解得2(11r 1r) r2(10竹，化简得到6.3 k 7.3，又Q0 r 10，r 7,展开式中系数最大的项为T8 Cw27x715360 x7.题型七：含有三项变两项;25例：求当(x 3x 2)的展开式中x的一次项的系数？解法：(x2

18、 3x 2)5 (x2 2) 3x5，1 C；(x2 2)5r(3x)r，当且仅当 r 1 时,124Tr 1的展开式中才有x的一次项，此时Tr 1 T2 C5(x2) 3x，所以x得一次1 44项为 C5C4 2 3x它的系数为C；C：243240。解法：255505145051455(x 3x 2) (x 1) (x 2)(C5X C5XC5XC5X C5X 2 C52 )故展开式中含x的项为C5xCf25 C；X24 240x，故展开式中x的系数为240.练：求式子(x2)3的常数项?的展开式中x2的系数等于C0 20 C2 ( 1)21 1 1 1C3 2 C4 ( 1)Cf 22 C

19、： ( 1)0Tr 1 C6( 1)r|x6 r(l)r ( 1)6C6 X6 2r，得 6 2r 0,r 3, lxlT31 ( 1)3C；20.题型八：两个二项式相乘； 例：求(1 2x)3(1 x)4展开式中x2的系数.解: Q(1 2x)3的展开式的通项是Cm (2x)mCm 2m xm,(1 X)4的展开式的通项是 c4 ( x)n c41n xn,其中 m 0,123, n 0,1,2,3,4,2且n 0,因此(1 2x)3(1 x)4令 m n 2,则 m 0且 n 2,m1且 n 1,m练：求(13 X)6(i1 )104x)展开式中的常数项解: (1 3 X)6(i14Xm)

20、10展开式的通项为nG0x44m 3n12其中 m 0,1,2, ,6, n 0,1,2, ,10,当且仅当 4m3n,即 mn°,或m0, n:或m 6,n 8,时得展开式中的常数项为C6° C10 C3 C；0 C； C0 4246.练：1 *已知(1 x x2)(x )n的展开式中没有常数项，n N且2 n 8,则n .x解：(x q)n展开式的通项为cn xn r x3r cn xn 4r,通项分别与前面的三项相乘可得 xcn xn4r,cn xn4r cn xn 4r 2,Q展开式中不含常数项，2 n 8n 4r且 n 4r 1且 n 4r 2,即 n 4,8且

21、n 3,7且 n 2,6, n 5. 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例:在(x, 2 ) 2006的二项展开式中，含x的奇次幕的项之和为S,当x R时,S解： 设(x 2) 2006=a0 a1x1 a2x23|agxL2006a2006 x1a1x2a2x3|a3XL2006a2006x得 2(a1x 盼3 a5x5 La2005x2005)(x、2) 2006 (x . 2)2006(xJ2) 2006展开式的奇次幕项之和为 S(x) 1(x2) 2006 (x 2) 20063 2006当x 2时,S" 1心、2严(、2、铲63008题型十：赋值法;例：设二项式(3：

22、x !)n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若xp s 272 ,则n等于多少？解：若(33 x 1)n a。 aix a2x2anxn，有 P a° 印an，xSCn Cn 2n，令 x 1 得 P 4n，又 p s 272，即 4n 2n 272(2n 17)(2n 16)0解得2n 16或2n17(舍去)，n 4.n 1练：若 3 x 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为多少?Jxn解：令x 1，贝yx 1的展开式中各项系数之和为 2n 64，所以n 6，则展开Jx例:式的常数项为C；(3、x)3 (540.若(1 2x)2009a0 a1x1a

23、2x2 asX3 L2009a2009x(xR),则 Ia20092222009的值为解:令x1,可得a0弓影2 2 2a200922009a1 a20, 22 22a200922009a0在令x 0可得a0 1 因而号鱼22a20091220091.练:若(x2)5 a5x5 a4x4 a3x32a2Xa1a°,则 a1a2a3a 4a5解：令x0 得 a。32,令 x 1 得 a。a1a?a3a4 a51,a1a2a3a4a531.题型十一：整除性;51例：(02潍坊模拟)求证：511能被7整除。证明：5151151=(492)1051150249250505151=C5149C

24、51 .49 .2 C5T49 .2. C 51 *49.2C5T21=49P+ 21 ( P N)513、17又 21(2 )1=(7+1 )17 1017= 07.7C；.716215C17.715.1617C17.7C171=7Q(Q N )5151511 7P 7Q 7(P Q)51511能被7整除。2n 2*例：证明：38n 9(n N )能被64整除证：32n 2 8n 9 9n 1 8n 9 (8 1)n 1 8n 90n11nn 1.2n1n1Cn 18C n18Cn1 8Cn 18Cn1 8n9C018n 1Cn18ncnn；828(n 1) 18 n 9Cn018n1 用C

25、：®2 n 2*由于各项均能被64整除 3 8n 9(n N )能被64整除题型十二：利用二项式定理求近似值例15 求0.9986的近似值，使误差小于 0.001 ；6 6分析：因为0.998 = (10.002)，故可以用二项式定理展开计算。1 2解：0.998 = (10.002) = 16.( 0.002)15.( 0.002).( 0.002)2 2 2Ta C6.( 0.002)215 ( 0.002)20.00006 0.001,且第3项以后的绝对值都小于 0.001,从第3项起，以后的项都可以忽略不计。0.9986=（1 0.002）61 6 （ 0.002）= 10.

26、0120.988n122n n小结：由（1 x） 1 CnX CnX . CnX，当X的绝对值与1相比很小且n很大时，x2,x3,.xn等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：（1 x）n1 nx,在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式: (1 x)n 1 nx 呃 »x2。21作业：1、求（3、. x ）4的展开式;'x解:原式=（3卜1 ）4 =44(3x1)10413= -dC4(3x)4 C4®)3X2 2C4(3x)23C4(3x)= 4(

27、8X1x84x54x212x 1)=81x284x12!54XX3C1"27C3.(1)n3n n ；3 Cn ；01 12、233nCnCn( 3)Cn(3)Cn(3)3.Cn( 3)解：原式2、计算12(1 3)n(2)n3、（ 03 全国）（X解: Tn。9（/）9199)9展开式中X9的系数是 2xr 1 r _ r 18 2rF=C9X ( 21 X r zrr 1 xr 18 3x2)Q C( 2) x令 18 3x9,则r 3，从而可以得到9x的系数为:3/1、3C9( 22734、（02全国）（x 1）（X 2）的展开式中，X项的系数是2 6 6 第一个因式中取出X2

28、，则第二个因式必出x，其系数为 c7（ 2）6 ;3 44第一个因式中取出1，则第二个因式中必出x3，其系数为 C7（ 2）4上述式子展开后常数项只有一项C；x3（。3x3，即20X3的系数应为：64C7( 2)6 C7( 2)41008, 填 1008o5、（04安徽改编）(X132）的展开式中，常数项是X解:(X 12)3X(x1)2X3(X 1)63X16、（00京改编）求（ x ）10的展开式的中间项;紅xrio rI r55I 5解：Tri Cl0（*X）（ 3 x），展开式的中间项为 Cl0（'X）（ 3 x）5即：252x6。nn1n1门1门1门1当n为奇数时，（a b）n的展开式的中间项是 CavbT和CaTbT当n为偶数时,(ab）n的展开式的中间项是n nC?a217、（ 0