[理学]概率基本知识

1、.概率论基本知识复习（参考教材第229245页附录）一、 事件（一） 随机试验E，样本空间S，随机事件A,B,C(必然事件S；不可能事件)（二） 事件的关系与运算1. 包含与相等：事件包含于事件 ，记作：. 概率含义：事件发生必导致事件发生。又若且，则说事件与事件相等，记作：. 2. 和事件：. 概率含义：事件与事件至少一个发生。，.3. 积事件：. 或记为. 概率含义：事件与事件同时发生。，.4. 差事件：. 概率含义：事件发生，但事件不发生。5. 事件的互不相容：. 概率含义：事件与事件不同时发生。6. 对立事件：称为的对立事件. 概率含义：事件发生意味着事件不发生。7. 完备事件组：事件

2、组如满足如下两个条件，则称之为完备事件组：（1）两两不相容；（2）.例1 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件: （1） A发生,B与C不发生；.（2） A与B都发生而C不发生；.（3） A、B、C至少有一个发生；.（4） A、B、C都发生；.（5） A、B、C都不发生；.（6） A、B、C不都发生（不多于两个发生）；.（7） A、B、C不多于一个发生；，.（8） A、B、C至少有两个发生.例2 事件与构成完备事件组.二、 概率的定义与性质（一）概率的统计定义：频率的稳定值.（二）概率的古典定义：若随机试验满足下述两个条件：(1) 其样本空间只包含有限个元素；(2) 试

3、验中每个基本事件发生的可能性相同.称这种试验为等可能随机试验或古典概型.计算公式为P(A)k/nA中的样本点数/S中的样本点总数（三）概率的公理化定义：设是随机试验，是样本空间。对于的每一个事件赋予一个实数与之对应，记为P(A).若集合函数P(·)满足下列条件,则P(A)称为事件的概率：1.非负性：对任一事件，有；2.规范性：对于必然事件，有；3.可列可加性：设是两两不相容的事件，即对i,j =1,2,n,，有, 则,简记为.（四）概率的性质：1. ；2. 若两两不相容，则有，简记为.3. 设、是两个事件，若, 则；又由知；4. 对于任一个事件，；5. 对于任一个事件，；6. （加法

4、公式）对任两事件,有. 三.条件概率、事件的独立性1. 条件概率：（1） 定义：设A、B是两个事件，且,则称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。（2） 乘法公式：若,则有；若,则有 ；(3)推广：设A，B，C为事件，且，,则.2. 全概率公式和贝叶斯公式：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，为一个完备事件组，且（i=1,2,，n）,则（1） 全概率公式；（2）又若，则 贝叶斯公式.3. 独立事件的概念与定理：（1）两个事件的独立：若A、B是两事件，如果满足 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A、B相互独立，简称A、B独立.（2）定理：Th1 设A，B是两事件，且, , 则事件A，

5、B互相独立.Th2 设A，B互相独立, 则与B，A与，与均互相独立.（3） 多个事件的独立： 若A、B、C是三事件，满足下列等式P(AB)= P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)= P(B)P(C)P(ABC)= P(A)P(B)P(C)则称A、B、C三事件相互独立。设是n个事件，如果(其中)则说事件相互独立.4. 贝努利概型：在一定条件下，进行n次独立重复试验，每次试验中事件A满足: , 记，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为,k=0,1,2,n.四.随机变量及其概率分布1. 随机变量及其分布函数：（1）随机变量的一个取值（范围）对应一个事件.（2）分布函数的

6、定义：对随机变量，称为的分布函数.（4） 分布函数的性质：；单调非降；右连续.2. 离散型随机变量及其分布律：（1）定义：或用如下表格表示 （2）性质：；当只有有限个（个）可能取值时 .3. 连续型随机变量及其分布密度：（1）定义：若随机变量的分布函数满足其中，则称为连续型随机变量，为的分布密度.（2）性质：；.注：若在点处连续，则；连续型随机变量的分布函数连续；4. 几类重要分布：（1）二项分布：设随机试验中，将试验独立重复次，记事件出现次数为，则称服从以，为参数的二项分布，记为. 分布律为.0-1分布是二项分布当时的特例.（2）泊松分布：，.（3）几何分布：设随机试验中，将试验独立重复进行

7、，直至事件第一次出现为止，记所需试验次数为，则称服从以为参数的几何分布. 分布律为（4）均匀分布：， .（5）指数分布： ，其中参数.（6）正态分布：，注：当时，称为标准正态分布，分布密度、分布函数分别记作和.时，可以查表求值；且.若，则，且.五、多维随机变量及其分布，随机变量的独立性1. 联合分布函数和边缘分布函数（1）联合分布函数：对于，称函数为二维随机变量的联合分布函数.（2）性质：对均为单调非降；对均为右连续；，.（3）边缘分布函数和联合分布函数的关系：，.2. 联合分布律和边缘分布律（1）联合分布律：. ；.（2）边缘分布律：；.3. 联合分布密度和边缘分布密度（1）定义：若对有其中

8、，则称为的联合分布密度.（2）性质：；若在点连续，则；.（3）联合分布密度和边缘分布密度的关系：；.（4）二维正态随机变量：二维随机变量的联合分布密度为其中都是常数，且，称服从参数为的二维正态分布，记.的联合分布密度函数图形图3-1若，则，.若，则独立.4. 随机变量的独立性（1）定义：对于，如均有即事件与独立，则称相互独立.（2）判定：相互独立对，.离散型相互独立对，.连续型相互独立几乎处处成立. 六、随机变量函数的概率分布1. 一维随机变量函数的概率分布问题：对于，连续函数，是一个随机变量，当已知的分布时，求的分布.（1）对离散型，依取值的对应，可求的分布.（2）对连续型，有两种方法：定理

9、：若处处可导，且恒有（或恒有），是其反函数，则是连续型随机变量，且.分布函数法：先用定义求，再对求导得到.2. 二维随机变量函数的概率分布（1）独立时，求的分布：设的概率密度分别为，且相互独立，则的概率密度为由上述卷积公式可推得若，且相互独立，则.上述结论又可推广为若，且相互独立，是不全为0的数，则（2）独立时，求的分布：设的概率密度分别为，且相互独立，则的概率密度为七、随机变量的数字特征1. 随机变量的数学期望（1）离散型：设，若收敛，则称常数为的数学期望（均值），记.（2）连续型：设的分布密度为, 如果收敛，则称常数为的数学期望（均值），记. 2. 随机变量的方差定义：如果存在，称此非负常

10、数为的方差.计算：（1）用定义计算：离散型：连续型：（2）用公式计算：注：称为的标准差，与有相同的量纲.3. 一些常见概率分布的数学期望和方差（1）二项分布： . （2）泊松分布：.（3）几何分布： ， . （4）均匀分布：.（5）指数分布： .（6）正态分布： .4. 随机变量的矩设是随机变量，以下数学期望均存在，则称（1）为的阶原点矩；（2）为的阶中心矩.八、随机变量函数的数学期望，期望与方差的性质1. 一维随机变量函数的数学期望（1）离散型：设，则（2）连续型：设的分布密度为, ，则2. 二维随机变量函数的数学期望（1）离散型：设，则（2）连续型：设的联合分布密度为, ，则3. 期望与方

11、差的性质（1），其中为常数；（2），其中为常数；（3）对任意，有，对相互独立的，有；（4）对相互独立的，有.4. 随机变量的标准化若存在，且令，则必有，称是的标准化变量，由求的过程称为将标准化.补充定理：设相互独立，且是连续函数，则相互独立.切贝雪夫不等式及其连续变量情形下的证明:切贝雪夫不等式：设随机变量存在数学期望，方差，则对，成立不等式，或表示为证明: 连续变量情形下.九、二维随机变量的数字特征， n维正态分布1. 协方差、相关系数：（1）定义：协方差； 相关系数，无量纲.注：若，则，故且经计算还有，从而.（2）性质： ； ； ； ； ，且存在常数使.（3）计算公式：（4）独立与不相关：

12、 当时，称不相关； 独立不相关，反之不对； 不相关，一般情况下，. （5）二维正态分布变量的独立与不相关：若，则独立不相关.2. 二维随机变量的矩对非负整数有 的阶混合原点矩； 的阶混合中心矩.3. n维正态分布（1）协方差矩阵：对于，令，记则称为的协方差矩阵. 其中：，故协方差矩阵是以为主对角元的对称方阵.二维正态分布的的协方差矩阵为，可以验证，的联合密度函数可表示为其中，. （2）n维正态分布随机变量：对于，记，其中，是协方差矩阵，若的联合密度函数为则说服从n维正态分布.（3）n维正态分布随机变量的性质：若是n维正态变量，则. 反之，若均为正态变量，且相互独立，则是n维正态变量.n维正态变

13、量具有线性变换不变性. 即若是n维正态变量，均为的线性函数，则是k维正态变量.若是n维正态变量，则相互独立两两不相关.十. 大数定律、中心极限定理1. 切比雪夫不等式及其连续变量情形下的证明:切比雪夫不等式：设随机变量存在数学期望，方差，则对，成立不等式，或表示为证明: 连续变量情形下.2. 随机变量序列的依概率收敛（1）数列：. （2）随机变量序列：对于，构成一个随机变量序列；构成一个事件序列；构成一个数列，若该数列极限为1，即则说随机变量序列依概率收敛于常数a，记.直观含义：时，与常数a充分接近几乎是必然的.（3）依概率收敛的性质： 时，则随机变量序列. 若时，数列，则随机变量序列. 若时， 非负，则随机变量序列.3. 大数定律客观背景频率的稳定性。试验者掷币次数出现正面次数频率德摩根（De Morgan）204810610.518蒲丰（Buffon）404020480.5069皮尔逊（Karl Pearson）1200060190.5016皮尔逊（Karl Pearson）24000120120.5005维尼（Reina）30000149940.4998（1）切比雪夫大数定律：（2）伯努利大数定律： （3）辛钦大数定律： 辛钦 4. 中心极限定理客观背景: 服从正态分布的随机变量广泛存在。中心极限定理研究了独立随机变量之和的极限分布是正态分布的条件