人教版高中不等式复习讲义

1、不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系;不等式的主要性质：对称性：abba（2）传递性：ab,bcac加法法则： a bacbc ； a b, cda c b d （同向可加）13 / 13a b,c 0 ac bc(4)乘法法则：ab,c0acbcab0,cd0acbd(同向同正可乘)乘方法则,c11倒数法则ab,ab0(6)abab0anbn(nN*且n1)开方法则： a b 0 VaVb(n N* 且 n 1)结论）2-应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差一一变形一一判断符号一一结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式

2、的解法一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集:设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为XI、X2且XiX2,b24ac,则不等式的解的各种情况如下表，兀一次方程ax2bxc0a0的根后两相异实根XI,X2（Xx2）后两相等实根bXX2-2a无实根ax2bxc0(a0)的解集xxxi或xx2bxxaRax2bxc0(a0)的解集xxixx22、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母,最后用标根法求解。解分式不等式时,f (x)g(x) 0f(x)

3、0 f (x)g(x) 0；g(x)f(x) 一0 g(x)g(x) 03、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式f xA在区间D上恒成立，则等价于在区间x . Amin若不等式f xB在区间D上恒成立，则等价于在区间x Bmax（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式 Ax+By+C> 0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y）,把它的坐标（X, y ）代入Ax+

4、By+C,所得到实数的符号都相同，所以 只需在此直线的某一侧取一特殊点（”？），从AxA+BA+C的正负即可 判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C* 0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念:线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.线性目标函数:x 、 y 的解析式，叫关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量线性目标函数.线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.可行解、可行域和最优解：满足

5、线性约束条件的解（x,y）叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by=0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式abab21,若a,bCR,则a,b2>2ab,当且仅当a=b时取等号.2 .如果a,b是正数，那么a7'ab（当且仅当ab时取""号）.2ab变形：有:a+b>2jab;ab<,当

6、且仅当a=b时取等号.23 .如果a,bCR+,a?b=P（定值），当且仅当a=b时,a+b有最小值27P;S2如果a,bCR+,且a+b=S（定值），当且仅当a=b时，ab有最大彳1彳.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）产一刀Jab /7（根据目标不等式左右的运算 a ba b c 时，取等bcabbcca号）；（3）若ab0,m0,则b不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系题型一：不等式的性质1.对于实数a,b,c中，给

7、出下列命题：若ab,贝1Jac2bc2；若ac2bc2,贝1Jab;2211右ab0,则aabb；右ab0,则；abba-右ab0,则；右ab0,则ab；abab，一11右cab0,则；右ab,-一，则a0,b0cacbab其中正确的命题是题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2.设a2,pa,q2a22,试比较p,q的大小3.比较1+logx3与210gx2(x0且x1）的大小4.若ab1,Pvlga1gb,Q是.（二）解不等式题型三：解不等式1ab、一(1ga1gb),R1g()，则P,Q,R22的大小关系5.解不等式才+7x+4>04/4尤+1>026

8、.解不等式(x1)(x2)0o7.解不等式2-八-八一1x22x328.不等式axbx120的解集为x|-1vxv2,贝Ua=,b=则关于X的不等式八x 一 b 0的解9.关于x的不等式axb0的解集为(1,),集为10.解关于x的不等式ax2(a1)x10题型四：恒成立问题11.关于x的不等式ax2+ax+1>0恒成立，则a的取值范围是12.若不等式x22mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范“斤仆0且-91，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。xy13 .已知x0,y(三)基本不等式.asab2题型五：求最值14 .(直接用)求下列函数的值域(1) y=3x2+-

9、1Ay=x+(4) 已知a, b为正实数，2b+ab+a=30,求函数丫”的最小值.NXx15 .(配凑项与系数)(1) 已知 x , 求函数 y 4x 2的 取大值。4x 5(x 1)的值域。x27x1016 .（耐克函数型）求y-x1注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x目的x单调性。17.(用耐克函数单调性)求函数y空的值域。x 418 /1318 .(条件不等式)(1)若实数满足ab2,则3a3b的最小值是.已知x 0, y 0 , 且'-1，求x y的最小值。已知x, y为正实数，且*2+,=1,求xJ1+y2的最大值.1ab题型六：利用基

10、本不等式证明不等式19.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca20.正数a,b,c满足a+b+c=1,求证：(1a)(1b)(1c)>8abc1.1.1.21.已知a、b、cR,且abc1。求证：一1118abc题型七：均值定理实际应用问题：宽，使总造价最低，并求出最低造价。2200m的三级污水处理池（平面图如22.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为） ，如果池外圈周壁建造单价为每米400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80 元， 和池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长（ 四）线性规划题型八：目标函数求最值2x y 3 023

11、. 满足不等式组7x y 8 0, 求目标函数 k 3x y 的最大值 x,y 0已知实系数一元二次方程x2 (1 a)x a b 1 024.b0 x 12, x2 2 . 则 的取值范围是a 1x1、x2 , 并且3x 4y 425 . 已知 *" 满足约束条件：22y 0 ，则 x y 2x 的最小值是x2y3026.已知变量x,y满足约束条件x3y30.若目标函数zaxy(其中a>0)在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为。y1,27.已知实数x,y满足y2x1,如果目标函数zxy的最小值为xym.题型九：实际问题28.某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50

12、元；凤梨月饼每个成本元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过1,则实数m等于20 元，售价 30350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？复习一一不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习一不等式1. ;2. Pq；443.当0X1或x时，1+10gx3>210gx2;当1x时，1+10gx3<210gx2;当34x时，1+1ogx3=21ogx234. .ab1.1ga0,1gb0Q-dgaIgb),1gaIgbab1R1g()1gvab1gabQr>qp。Ir7-g-X")AfctD.-)1J一*勺?5. 1

13、16. x|x1或x2;7. (1,1)U(2,3);28. 不等式axbx120的解集为x|-1<x<2,则a=-6,b=_69. (,1)(2,)10. 解：当a=0时，不等式的解集为xx1;2分1.一1当aw俄寸，a(x)(x-1)<0;当a<0时，原不等式等价于(x-)(x-1)>0aa1不等式的解集为xx1或x1；6分11当0<a<1时，1<一，不等式的解集为x1x;8分aa11.当a>1时，一<1,不等式的解集为x|-x1;10分aa当a=1时,不等式的解为£12分11. 0<x<4112. m-)2

14、13. m,16# /13-o.1O1.14.斛：(1)y=3x+2A2>2、j3x2A-2=J6.值域为通,十°°)(2)当x>。时，y=x+x>2-Ax,X=2;x =- 2当x<0时，y=x+x=(xx)<-2yx-;值域为(一00,2U2,+00)6.20 / 13515.(1)斛Qx,54x0414x5当且仅当54x).，即x1时，上式等号成立，故当154xx1时,1-354xymax1011的最大值为8。54xy=7(8-2x).127,(8-2x)当2工二2工，即x=2时取等号当x=2时，yx(82x)16.解析一:/十7五十10

15、v=+5Q+1)+4,仆4-=(x工十1x+1+1)+月+1当京二T,即工41)口时，y2J(x1)59(当且仅当x=1时取“二”号)解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。(t1)27(t1)+10ty2_.5t4,4L二t-5t当刀二T,即t=A-1>口时,y2At-459(当t=2即x=1时取“二”号)。217.解：令x4t(t2),x2x241-t-(t2)x24t10,t-t,1因为yt在区间1r,-解彳Itt1,1不在区间2,单调递增，所以在其子区间，故等号不成立，考虑单调性。2,为单调递增函数，故所以，所求函数的值域为18.(条件不

16、等式)3a3、2»3a3b253ab时，3a 3 b的最小值是当3a3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当斛：Qx0,y0,y9xZ1061016y9x当且仅当2一时，上式等号成立，又4,12x时，ymin16xy解：xq1+y2=xAy2?'2'2=2f2x?q;十W解：法2yjx可分别看成两个因12+2+23=4即x,A1+y34：12由a>0令t=b+1?.ab<18法二:由已知得:i/19.20.21.Qabw3已知302ba=b+1得，0Vb<15s卜2+1<t<16,ab=34t130-2bab=ATTb-2b230b

17、bT:i3116、=-2(t+y)+34.t+-j->2A/t16/16=81.y>一当且仅当t=4,即b=3,a=6时，等万成立。1830-ab=a+2b-.a+2b>21j2ab:30-ab>2A2ab0b则u2+2*u3000,-5A2<u<3A2一1A2,ab018,.y)182a,b,c为两两不相等的实数，求证：正数a,b,c满足a+b+c=1,求证：(1a)(1已知ab、a、，且abc1o求证：证明：Qa、b、红ab上述三个不等式两边均为正，分别相乘2.bc2.ac2ab22.解:若设污水池长为200(米)abbcca一b)(1c)>8abc2bc.o同理一2ac当且仅当abc-时取等号。324 / 13水池外圈周壁长：池底面积：200 （米2）x米，则宽为笈（米）02002-中间隔墙长：笈（米）