全面《高中数学知识点归纳总结》

1、教师版高中数学必修 + 选修知识点归纳引言1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1 :集合、函数概念与根本初等函数指、 对、幕函数必修2 :立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3 :算法初步、统计、概率。必修4 :根本初等函数三角函数、平面向量、 三角恒等变换。必修5 :解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学根底 知识和根本技能的主要局部，其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初 步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好根底的同时，进一步强调了这些知识的发生、 开展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做 过高的要求

2、。此外，根底内容还增加了向量、算法、概 率、统计等内容。选修课程有4个系列： 系列1 :由2个模块组成。 选修1 1 :常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。选修1 2 :统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图系列2 :由3个模块组成。 选修21 :常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。选修2 2 :导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数选修2 3 :计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。系列3 :由6个专题组成。 选修3 1 :数学史选讲。 选修3 2 :信息平安与密码。选修3 3 :球面上的几何。选修34 :对称与群。选修35 :欧拉公式与闭曲面分类

3、。选修36 :三等分角与数域扩充。系列4 :由10个专题组成。选修4 1 :几何证明选讲。选修4 2:矩阵与变换。选修4 3:数列与差分。选修4 4 :坐标系与参数方程。选修4 5 :不等式选讲。选修4 6 :初等数论初步。选修4 7 :优选法与试验设计初步。选修4 8:统筹法与图论初步。选修4 9:风险与决策。选修4 10 :开关电路与布尔代数。2.重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与

4、指数函数、对数与对 数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、

5、棱柱、 棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用(11) 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布(12) 导数：导数的概念、求导、导数的应用(13) 复数：复数的概念与运算必修1数学知识点第一章：集合与函数概念§1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做 集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合:Z ,有理数集合：Q ,实数集合: R.4、集合的表示方法： 列举法、描述法.§1、一般地，对于两个集合 A、B,如果集合

6、A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么称集合A是集合B的子集。记作A B.2、 如果集合 A B，但存在元素x B，且x A，那么称集合A是集合B的真子集.记作：AB.3、把不含任何元素的集合叫做 空集 .记作：.并规定：空集合是任何集合的子集4、如果集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，2n 1个真子集§1、一般地，由所有属于集合 A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：A B.2、一般地，由属于集合 A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：A B.3、全集、补集？ CuA x|x U，且x U§1、设A、B是非空的数集，如果

7、按照某种 确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有惟一确 定的数f x和它对应，那么就称 f : A B为集合A到集合B的一个函 数，记作：y f x ,x A.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么称 这两个函数相等.§1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.§1、注意函数单调性的证明方法： 定义法：设x2 a,b, x-i x2那么f(xi) f(X2)0f (x)在a,b上 是增函数；f(x-) f (X2) 0f (x)在a,b上是减函数.步骤：取值一作差一变形一定号一判

8、断格式：解：设x1, x2 a, b且x-i x2，贝9：f捲 f x2二(2)导数法：设函数y f(x)在某个区间 内可导，假设f (x) 0，那么f (x)为增函数；假设f (x) 0，那么f (x)为减函数.§1、一般地，如果对于函数f X的定义域内任意一个x，都有fX f X，那么就称函数f x为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.2、一般地，如果对于函数f X的定义域内任意一个X，都有fXf X，那么就称函数f x为奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接：函数与导数1、函数y f (x)在点x0处的导数的几何意义：函数y f (x)在点X。处的导数是曲线 y f (x)在P(

9、x°, f (沧)处的切线的斜率 f (x°)，相应的切线方程是y y° f (xo)(x xo).2、几种常见函数的导数 C'0 ;(Xn)'nxn 1 ；(sin x)'cosx ;(cosx)'sin x ；(ax)'axln a ；(ex)' ex(log a x)1 .(ln x)x In ax3、导数的运算法那么(1)1 1 1(u v) u v .(2)1 1 1(uv) u v uv .(3)zu ' uv uv /c、() 2 (v 0)vv4、复合函数求导法那么复合函数y f(g(x)的导

10、数和函数y f(u),u g(x)的导数间的关系为 yxyu ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.解题步骤:分层一层层求导一作积复原.5、函数的极值(1) 极值定义：极值是在X0附近所有的点，都有f(x) Vf(x0)，那么f(X0)是函数f(x)的极大值；极值是在X0附近所有的点，都有f(x) >f(X0)，那么f(X0)是函数f(x)的极小值. 判别方法： 如果在x0附近的左侧f(X)> 0,右侧f'(x) V 0,那么f(Xo)是极大值； 如果在Xo附近的左侧f (x) V 0,右侧f (x) > 0,那么f (xo )是极小值.6、求函数

11、的最值(1)求y f(X)在(a, b)内的极值(极大或者极小值)将y f(x)的各极值点与f(a), f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个 为极小值。注：极值是在局部对函数值进行比拟(局 部性质)；最值是在整体区间上对函数值进 行比拟(整体性质)。第二章：根本初等函数(I)§1、一般地，如果xn a ,那么x叫做a的n次方根。其中n 1,n N . aras ar s a 0,r,s Q ;图 象性质(1)定义域：R(2)值域：(0, +8)(3)过定点(0, 1),即 x=0 时，y=1(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数(5) x 0,ax 1;(5) x 0,

12、0ax 1Js arars a 0,r,s Q ； ab r arbr a30,b0, r Q .§1、记住图象：y ax a 0, a 12、性质:y=ax0<a<1a>1§21、指数与对数互化式:ax Nx loga N ；2、对数恒等式：alogaN N .3、根本性质：logal 0 , log a a 1 .2、当n为奇数时,n nVa a ；当n为偶数时,n nva <a3、我们规定：n ammana 0, m, nN *, m 1an na0 ；4、运算性质： log a MNloga Mlog a N ； log a Ua Nloga

13、 Mlog a N ； log a M nnlog a M.5、换底公式：log a blogc b logc aa 0, a 1,c0, c 1,b0 .6、重要公式：loganbmm.loga b n4、运算性质：当a 0,a1,M0,N0时:7lOgab§ 2.22、对数函数及其性质1、记住图象：y log a x a 0,a12、性质:y=log ax0<a<1o/1a>1*x图象i性质(1)定义域：(0, +x)(2)值域：R(3)过定点(1，0)，即 x=1 时，y=0(4 )在(0，+比)上是增函数(4)在(0, +)上是减函数 x 1,lOga x

14、0 ； x 1,lOga x 0 ；§ 2.3、幂函数1、几种幂函数的图象: 第三章：函数的应用 §1、方程f x 0有实根函数y f x的图象与x轴有交点 函数y f x有零点.2、零点存在性定理：如果函数y f x在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f a f b 0， 那么函数y f x在区间a,b内有零点，即 存在c a,b，使得f c 0，这个c也就是§1、掌握二分法.§§1、解决问题的常规方法：先画散点图，再 用适当的函数拟合，最后检验.必修2数学知识点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构(常见的多面体有:棱柱、棱锥、

15、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的局部，这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影，平行投影的投影线是平行的。3、空间几何体的外表积与体积圆柱侧面积；S侧面2 r l圆锥侧面积：S侧面r l圆台侧面积：S侧面r l R lV柱体S h ； V锥体球的外表积和体积:体积公式:243S 球4 R , V

16、球3 R 第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理1 :如果一条直线上两点在一个平面内，那么这 条直线在此平面内。2、公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平 面。3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补。6、线线位置关系： 平行、相交、异面。7、线面位置关系: 直线在平面内、直线和平面平行、 直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行:判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行简称线

17、线平行，那么线面平行性质：一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行简称线面平行， 那么线线平行。10、面面平行:判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行简称线面平行，那么面面平行。性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行简称面面平行，那么线线平行。11、线面垂直:定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直 线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直简称线线垂直，那么线面垂直性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直: 定义：两个平面

18、相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直简称线面垂直，那么面面垂直性质：两个平面互相垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 直。简称面面垂直，那么线面垂第三章：直线与方程1、倾斜角与斜率：ktany 如x2x1h和12相交k1k1b1k2b22、直线方程:点斜式：yy。k xX。斜截式：ykxb两点式：yy1y2y1xxxX1截距式：xy1ab般式：AxByC03、对于直线：11 : yk1xb1, l2:yk2xb2有 11 12k1k2 ；b1b2 5 ll I2k1k21.d r 相切0；l1

19、 : A1xB1 y C10, 有:l2 : A2xB2 yC20 l1/l2A1B2A2 B1.B1C2B2C1 'l1和l2相交A1 B2A2 B1 ；l1和l2重合A b2a2 B1B-|C2B2C1 11 l 2A1A2B1B20.4、对于直线:d r 相交0.弦长公式:l 2. r* 2 d23、两圆位置关系： d IO1O2外离：dRr ；外切：dRr ；相交：Rrd R r ；内切：dRr ；内含：dRr.5、两点间距离公式：6、点至U直线距离公式：7、两平行线间的距离公式：l1 : Ax By C1 0 与 l2 : Ax By C2 0 平 行，那么d f1第四章：圆

20、与方程1、圆的方程：3、空间中两点间距离公式：必修3数学知识点第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等标准表示方法；3、算法的三种根本结构：顺序结构、条件结构、循环结构当型循环结构直到型循环结构顺序结构示意图：(x a)2 (y b)2r2的位置关系有三种语句n图1条件结构示意图： IF-THEN-ELSE 格式：IF 条件THEN循环语句的一般格式是两种:END IF图当型循环WHILE I语句的一般格式:3 IF-THEN 格式 一i芥是"""语句1ii是语句2 ；下结构示意足条

21、件| |i1否循7WHILE条件循环体图4WEND直到型循环UNTIL语句的一般格式:否当型WHIL直到型iDO理循环结语句意图:1 :卄图4UUNTIL循环体_; 循环结构示意图: kP是4、根本算法循环体否输入语句的一般格式：沪U“提示内容；输出语句的一般格式:PRINT提示内容；表达式赋值语句的一般格式:变量=表达式“二有时也用条件语句的一般格式有两种:IF THEN- ELSE语句的一般格式为:IF TIF 条件 THEN语句1图ELSE、HEN语句的一般格式为:END IF循环体LOOP UNTIL辗转相除法一结果是以相除余数为0而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：i:用较大

22、的数m除以较小的数n得到 一个商S0和一个余数R。;ii：假设Rd = 0,那么n为m, n的最大公约 数；假设Ro工0,那么用除数n除以余数Ro得到 一个商S和一个余数R ;iii:假设Ri = 0,那么Ri为m, n的最大公约 数；假设R工0,那么用除数Ro除以余数R得到 一个商S2和一个余数R2 ；依次计算直至Rn = 0,此时所得到的Rn 1 即为所求的最大公约数。 更相减损术一结果是以减数与差相等而 得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：i:任意给出两个正数；判断它们是否 都是偶数。假设是，用2约简；假设不是，执行 第二步。ii:以较大的数减去较小的数，接着把 较小的数与所得的差

23、比拟，并以大数减小 数。继续这个操作，直到所得的数相等为止， 那么这个数等数就是所求的最大公约数。 进位制十进制数化为k进制数一除k取余法 k进制数化为十进制数第二章：统计 简单随机抽样总体个数较少 系统抽样总体个数较多 分层抽样总体中差异明显注意：在N个个体的总体中抽取出 n个个体组成样本，每个个体被抽到的时机概率注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据 Xi,X2方差:标准差:s* 2(Xi2X)；、n(Xii 1X)注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳 定。2、总体分布的估计：一表二图：平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 频率分布表数据详实

24、 频率分布直方图 分布直观 频率分布折线图便于观察总体分布 趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积线性回归方程 变量之间的两类关系：函数关系与相关关 系； 制作散点图，判断线性相关关系 线性回归方程：y bx a 最小二乘法 注意：线性回归直线经过定点 &,y0平均数:茎叶图： 茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于 看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照 从小到大书写，相同的数据重复写 3、总体特征数的估计：XiX2 X3Xn第三章：概率1、随机事件及其概率：根本领件：一次试验中可能出现的每一个根本结果;生，那么称这两个事件为对立事件。古典概型

25、的特点： 所有的根本领件只有有限个； 每个根本领件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可 能根本领件共有n个，事件A包含了其中的 m个根本领件，贝淳件A发生的概率p(a)巴.n3、几何概型：几何概型的特点： 所有的根本领件是无限个； 每个根本领件都是等可能发生。几何概型概率计算公式：P(A)竺测度；()D的测度其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、 面积、体积等。4、互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件A,A2, ,An任意两个都是互斥事 件，那么称事件Ai,A2, , An彼此互斥。如果事件 A, B互斥，那么事件 A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概

26、率的和，即：P(A B) P(A) P(B)如果事件A!,A2, ,An彼此互斥，那么有：对立事件：两个互斥事件中必有一个要发 事件A的对立事件记作A 对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必 是对立事件。必修4数学知识点第一章：三角函数1、正角、负角、零角、象限角 的概念.2、与角终边相同的角的集合：2k ,k Z .§1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做1弧度的角.2、| | 丄.r3、弧长公式：I n R R.1804、扇形面积公式：S丄只.3602§ 1、设 是一个任意角，它的终边与单位圆 交于点P x, y，那么:sin y, cos x, tanx2、设点A

27、x ,y为角终边上任意一点,那么：设r厂yx丄ysin ， cos ， tanrrx3、 sin , cos ,tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT5、 特殊角0°,30 ° ,45 ° ,6090 °,180 °,270等的三角函数值0§1、平方关系：sin周期性.3、会用五点法作图.y sinx在x 0,2 上的五个关键点为：30,0,二，,0，- ,-1,2 ,0. 22cos12、商数关系：tansincos3、倒数关系：tancot1概括为“奇变偶不变，符号看象限 k Z1、诱导

28、公式一：sin2ksin ,cos2kcos ,其中：k Z tan2ktan .cot§ 1.3、三角函数的诱导公式2、诱导公式二：3、诱导公式三：4、诱导公式四：5、诱导公式五：6、诱导公式六：§1、记住正弦、余弦函数图象:y=s inx2、能够对照图象讲讲出正弦、3余弦函数的相-4 -7 -3*丿-2 -3 _至关性质：定义域o J/2 5 3亠八'值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、§1、记住正切函数的图象:y=ta nxI i/y11 J /l!3一-2/1J/ /Jo2/ 2Jr/x2、记住余切函数的图象:3、能够对照图象讲出正

29、切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数f x，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值 时，都有f x T f x，那么函数f x就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质图象定义域值域-1,1-1,1最值无周期性奇偶性奇偶奇单调性在2k-2k -上单调递2' 2在2 k,2 k 上单调递在(k ,k _)上单调2 2递增增在2 k -,2k上单调2 2增在2k ,2k上单调递减递减对称对称轴方程：x k 2对称轴方程：x k无对称轴性对称中心(k ,0)对称中心(k ,0)2

30、k对称中心(k ,0)2(左加右减)要根据周期来求要用图像的关键点来§ 1.5、函数y Asin x 的图象1、对于函数：y As in x B A 0,0 有：振幅 A,2周期T ，初相，相位x ，频率f 1 厂.2、能够讲出函数y sin x的图象与y As in xB的图象之间的平移伸缩变换关系 先平移后伸缩：y sin x平移|个单位 y sin x(左加右减)横坐标不变yAs in x纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变yAs in x1横坐标变为原来的|一|倍平移|B|个单位亍y Asin xB(上加下减) 先伸缩后平移：y sin x 横坐标不变$ y Asin x纵坐标变为

31、原来的A倍纵坐标不变* y Asin xi横坐标变为原来的|一|倍平移一个单位 y Asin x平移|B|个单位* y Asin xB(上加下减)3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数y sin( x )，x R及函数y cos( x )， x R(A,为常数，且 A 半0)的周期T ;函数y tan( x )，I Ix k , k Z A, 3 ,为常数，且 Am 02的周期T .对于 y Asin( x )和 y Acos( x )来 说，对称中心与零点相联系， 对称轴与最值 点联系求函数y Asin( x)图像的对称轴与对称中心，只需令 x k -(k Z)与2x k (k Z)解出x

32、即可.余弦函数可与正弦函数类比可 得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：a血沁，2ymaxymin求.§ 1.6、三角函数模型的简单应用 1、要求熟悉课本例题 第三章、三角恒等变换2、辅助角公式记住15 °的三角函数值:6、tan升幂公式:1 cos 21 cos2c22cos2sin2§1、sinsincoscossin2、sinsincoscossin3、coscoscossinsin4、coscoscossinsin5、tantan tan 1 tan tantan tan1 tan tan1、 sin22sin cos ,变形匸sin cos|s

33、i n22、 cos 2cos2sin21 2si n2 .变形如下2 1cos十1cos 2降幂公式:2sin2121cos22tan3、 tan2-.1 tan2/si n2 1 cos24、tan1 cos2 sin 2§ 3.2、简单的三角恒等变换其中辅助角所在象限由点a,b的象限决定,tan b .a第二章：平面向量§1、了解四种常见向量： 力、位移、速度、 加速度.2、既有大小又有方向的量叫做量.§1、带有方向的线段叫做 有向线段，有向线 段包含三个要素：起点、方向、长度 .2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度或称模，记作AB ;长度为零的向 量叫

34、做零向量;长度等于1个单位的向 量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向 量或共线向量 .规定：零向量与任 意向量平行.§1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§1、 三角形加法法那么 和 平行四边形加法法1、注意正切化弦、平方降次2、a b < a .§1、与a长度相等方向相反的向量叫做 a的 相反向量.2、三角形减法法那么 和 平行四边形减法法那么.§1、规定：实数 与向量a的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘.记作：a， 它的长度和方向规定如下： a |a ,当 0时，a的方向与a的方向相 同；当 0时，a的方向与a的方

35、 向相反.2、平面向量共线定理:向量a a 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b a.§1、平面向量根本定理：如果e,e2是同一平 面内的两个不共线向量， 那么对于这一 平面内任一向量a，有且只有一对实数Li1, 2，使 a 1 ei 2 e2 .1、xiyjx,y .1、设aX1,i-y1 ,b X2,y2 ，a-9bX1X2, y1y2，abX1 X2, y1y2 ，aX1，y1，a/bX1 y2X2 y1.2、设A%, y1,B X2, y2 ，贝y：ABX2X1, y2y1§§那么:1、设 A X1, y1 , B X2, y2线段AB中点坐标为厶AB

36、C的重心坐标为1、2、3、4、5、a b cos,C X3,y3 ，那么x1 x2 y1 y2 2 'x1 x2 x3y1 y2 y33,3a在b方向上的投影为：|cosia2.a2.1、设 ax1, y1 ,b x2, y2，贝U：yAa b a/b a b为y? x?y1 02、设 A xi, yi , B X2, y2 ,那么:,那么向量n叫做平面 的法向量.AB2 2X2Xiy2yi3、两向量的夹角公式 4、点的平移公式平移前的点为P(x, y)(原坐标)，平移后的对应点为P (x , y )(新坐标)，平移向量为.平面的法向量的求法(待定系数法)： 建立适当的坐标系. 设平面

37、 的法向量为n (x,y,z). 求出平面内两个不共线向量的坐标rita (ai,82,03), b (bibb).uuirPP (h,k)，x hy k.根据法向量定义建立方程组函数y f (x)的图像按向量a (h,k)平移解方程组，取其中一组解，即得平面这个向量垂直于平面，记作n ，如果行，也可以在平面内找一个向量与直线后的图像的解析式为y k f(x h).§§知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中 证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量.直线的方向向量：假设AB是直线I上的任意两点，那么A

38、B为 直线I的一个方向向量；与AB平行的任意非 零向量也是直线I的方向向量.平面的法向量：假设向量n所在直线垂直于平面，那么称的法向量.a、b，那么要证明ii a 12，只需证明a # b，即a kb(k r).即：两直线平行或重合 = 两直线的方向 向量共线。线面平行 (法一)设直线i的方向向量是a，平面r的法向量是u，那么要证明I /,只需证明r r r r a u，即 a u 0 .即：直线与平面平行 =直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 (法二)要证明一条直线和一个平面平的方向向量是共线向量即可面面平行假设平面的法向量为u,平面的法向量 为V，要证 /,只需证U / v，

39、即证u v.即：两平面平行或重合 =:两平面的法向 量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线h,i2的方向向量分别是a、b，那么要 证明ii J，只需证明a b，即a b 0.即：两直线垂直=：两直线的方向向量垂 直。线面垂直 法一设直线I的方向向量是a，平面 的法向量是u，那么要证明I ，只需证明r r r ra / u，即 a u . 法二设直线i的方向向量是a，平面LT iu内的两个相交向量分别为 m、n，假设r ura m 0r r,那么 Ian 0即：直线与平面垂直 =直线的方向向量 与平面的法向量共线 =直线的方向向量与 平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。 面面垂

40、直假设平面的法向量为u，平面的法向量 为V，要证，只需证u v，即证u v 0 .即：两平面垂直 = 两平面的法向量垂 直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角a,b为两异面直线，A，C与B，D分别 是a,b上的任意两点，a,b所成的角为，un uju.AC BD贝寸 COSUULf|UUU .ac|bd求直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面 所成的角 求法：设直线i的方向向量为a，平面 的法向量为u，直线与平面所成的角为，a 与u的夹角为，贝y 角的余角.即有：求二面角为的余角或的补卩'a/ Y 7 定义：平面内的一条直线把平

41、面分为两 个局部，其中的每一局部叫做半平面；从一 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面+二面角的平面角是指在二面角丨的棱上任取一点0,分别在两个半平面内作 射线AO l,B0 l，贝y A0B为二面角 l的平面角.-如图：求法：设二面角斗J平面的法向量分别为，再设A n的夹角为,二面角丨的平面角为，那么二面角 为m、n的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角:如果是锐角，那么cos cosit rm n平面的法向量为n，那么p到平面的距离uuur就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对 值.即 d mp c°snuuup|

42、 直线a与平面 之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的 各点到平面的距离相等。由此可知，直线到 平面的距离可转化为求直线上任一点到平 面的距离，即转化为点面距离。r uuurn MP即 d -.n 两平行平面 , 之间的距离arccos ur r利用两平行平面间的距离处处相等， 可将cos在平面内的如果是钝角，那么ur rm ncosU m1 nurrmnarccos5、利用法向量求空间距离点Q到直线L距离假设q为直线I外的一点，p在直线I上，a为r uuu直线I的方向向量，b =PQ，那么点Q到直线I 距离为1 / r r 2r h .|a|b| a b|a|点A到平面_的距离假设点

43、P为平面外一点，点M为平面内任一点，两平行平面间的距离转化为求点面距离。r uurn MP 即 d -.n异面直线间的距离设向量n与两异面直线a,b都垂直，M a,P b,那么两异面直线a,b间的距离d就 是Mip在向量n方向上投影的绝对值。r uurn MP 即d .n6、三垂线定理及其逆定理 三垂线定理:条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直 .PO ,0推理模式：PAI Aa PAa , a 0A概括为：垂直于射影就垂直于斜线三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直特例.必修5数学知识点asin Absin B爲2R.其中R为ABC外接圆的半径第一章：解三角

44、形 1、正弦定理:用途：三角形两角和任一边， 求其它线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么兀素;它也和这条斜线的射影垂直三角形两边和其中一边的对为AC所角为S S射，平面 与平面所成的二面角的大(A B)2C 22(A B).sin A sin B A B;B或 A B -特别注2sin A sin B A B 不P0 ,0推理模式：PAI Aa AOa, a AP概括为：垂直于斜线就垂直于射影7、三余弦定理设AC是平面 内的任一条直线，AD是 的一条斜线 AB在 内的射影，且BDL AD 垂足为D.设AB与 AD所成的角为i，AD与AC的角AB与 成的那么cos cos 1COS 2.&am

45、p; 面积射影定理平面 内一个多边形的面积为 s S原，它在平面内的射影图形的面积为 小为锐二面角，那么9、一个结论长度为I的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为卜12、l3，夹角分别为1、2、3,那么有I2 Il2 I； I；CoS 1 COS5 2 COS2 3 1sin2 i sin2 2 sin2 3 2.立体几何中长方体对角线长的公式是其角，求其它元素。2、余弦定理：用途：三角形两边及其夹角， 求其它 兀素;三角形三边，求其它元素 做题中两个定理经常结合使用3、三角形面积公式：4、三角形内角和定理：在厶ABC中，有ABCCC _ A B2 2 25、一个常用结论：在ABC中，

46、a b假设 sin2A sin2B,那么A意，在三角函数中，成立。第二章：数列1、数列中an与Sn之间的关系：S , (n annSn Sm，(n注意通项能否合并。3、等比数列2、等差数列:定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an an !=d，(n>2，n N )，那么这个数列就叫做等差数列。等差中项：假设三数a、A、b成等差数列A U2通项公式：an ai(n 1)dam (n m)d或anpn q p、q是常数.前n项和公式:常用性质:假设 m n p q m, n, p,q N，贝Uam an ap aq ; 下标为等差数列的项 ak，ak m

47、，a组成等差数列； 数列 an b ,b为常数仍为等差数列; 假设an、bn是等差数列，那么kan、p是非零常数、，也成等差数列。的公差为d，那么:为递增数列；为递减数列； 为常数列；kan pbn ( k、ap nq( p,q单调性：k km k 2m1i)ii)ananiii数列an为等差数列 是常数ananpn q(p,q假设等差数列an的前n项和Sn，那么Sk、S2kSk、S3kS2k是等差数列。定义：如果一个数列从第 2项起，每一项 与它的前一项的比等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等比数列。等比中项：假设三数a、Gb成等比数列G2 ab, ab同号。反之不一定成立。通项公式：an

48、n 1agann m2前n项和公式：a1 1nq冃anqSn 1q1 q常用性质假设m n p qm, n, p,qN，那么am anap aq ； ak , ak m , ak 2m ,为等比数列，公比为qk下标成等差数列，那么对应的项成等比数列数列 an 为不等于零的常数比为q的等比数列；正项等比数列lg an是公差为lg q的等差数列;假设an是等比数列，贝y can ，an2anr r Z是等比数列，公比依次是仍是公an；那么丄an2 1rq，q，一，q .q单调性：a1 0,q 1或a1 0,0 q 1an为递增数列；a1 0,0 q 1 或a1 0,q 1an 为递减数列；q 1

49、an为常数列;将上述n 1个式子两边分别相加，可得:项求和类型W累乘法：q 0 an为摆动数列；既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。假设等比数列 an的前n项和Sn，那么Sk、S2k Sk、S3k S2k是等比数列4、非等差、等比数列通项公式的求法类型I |观察法：数列前假设干项, 求该数列的通项时，一般对所给的项观察分 析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的anf (n 1) f(n 2)f(2)f(1) a“(n 2) 假设f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 假设f(n)是关于n的指数函数，累加后可 转化为等比数列求和； 假设f(n)是关于n的二次函数，累加后可分 组求和； 假设f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂一个通项。形如 an 1 an f(n)an 1公式法：假设数列的前n项 和Sn与an的关系，求数列an的通项可用3, (nan& Sn 1, ( nanf(n)型的递推数列 (其中f(n)是关于n