4.3线性算子的正则集与谱

1、4.3线性算子的正则集与谱4.3.1特征值与特征向量有限维线性空间上线性变换的特征值与特征向量的概念是大家了解的。在微分方程和积分方程中也有特征值与特征向量的概念。现在把它拓广到一般的线性空间上来。就有限维空间看，线性变换的特征值一般是复的，因此算子谱论一般总是在复空间上进行讨论。例如伏特拉(Volterra)型积分方程：x(x)二 f (x) . K(x,y)(y)dy，(431)a其中，是一个常数。考察 Ca,b到Ca, b的映射A :对Ca, b， A :xA(x)=K(x, y) (y)dy.(432)-a对比(4.3.2)，考察一般的算子方程( I - A)x = y .(4.3.3

2、)显然(4.3.3)式的解是否存在及唯一，都与的值有关：(1) 对的某些值，算子方程(4.3.3)可能存在唯一解；(2) 对'的某些值，算子方程(4.3.3)可能存在解，但不唯一；(3) 对'的某些值，算子方程(4.3.3)可能不存在解。定义4.3.1 设X是线性空间，是一个数，A: X > X是线性算子。若 X中的非零向量x D (A)，使得Ax =f；.x ,(4.3.4)则称X是A的特征值(或本征值)，而称x为A (相应于特征值 丸)的特征向量(或本征向 量)。设E .为算子A的(相应于特征值的)特征向量全体，在加入零向量，称E .为算子A 的(相应于特征值'

3、;的)特征向量空间。称E .的维数dim E .为特征值的重复度，也就是方程(4.3.4)的最大线性无关组中向量 的个数。注 显然，相应于非零特征值的特征向量在算子A的值域R (A)中。E ,是方程(431)的所有解的全体，容易看出：E.是X的线性子空间。若 X是赋范线性空间，A是连续算子，则 E,是闭子空间。X就是特征向量空间例如，线性空间 X上相似算子:I的特征值只有：，而且全空间E,微分方程、积分方程积分方程、变分在量子物理学中许多重要问题也是要求由上述各例可见，算子的特征值及特征向量概念概括了线性代数、 的特征值及特征向量的概念。不仅许多经典的数学物理问题(如微分方程、 方程问题)可以

4、归结为求特征值及特征向量的问题。 出特征值及特征向量的问题。在数学物理(例如微分方程)问题中，除去求解形如I A)x = O的齐次方程外，还经常遇到非齐次方程( IA)x = f，其中A是给定的算子，f是已知向量，x是未知向量。为了研究这种方程的求解问题，需要引进算子A的正则点和谱点的概念。4.3.2算子的正则点和谱点定义4.3.2设X是复的赋范线性空间，A是X的线性子空间D(A)到X的线性算子，是一复数。若，I -A是正则算子，则称是A的正则点，或正则值(regular value )；并称R (A) = C I - A)'是 A 的豫解算子(resolvent operator )

5、 ，或豫解式.复平面上正则点的全体称为A的正则集(或豫解集(resolvent set)，记为P(B)；不是正则点的复数称为A的谱点(spectral point 或spectral value)。谱点全体称为 B的谱集(spectral set)，或谱(spectrum)，记为二(A).显然二(A)(A)就是整个复平面。从方程的可解性来分类，谱一般可分为三类：是A的特征值。这时算子'I -A就是不可逆的，因此特征值是谱点。算子的特征值全体称为算子的点谱，记作二p (A).(2)-不是A的特征值，然而算子的值域R ( ' I - A) = X .也就是说：(，I - A) 4虽

6、然存在，但D (' I - A) J) = X .即：虽然齐次方程 C I 一 A)x = 0没有非零解，但非齐次方程 C I 一 A)x二f不是对每个右端项f X都存在解。(3)算子( I -A)J在全空间有定义，但不是有界的.即:虽然对每个f X，方程(，I A)x二f有唯一的解x，但x不连续地依赖于右端 项f 不是特征值的谱点全体称为算子的连续谱，记作匚c(A).注意：有的书将满足： I - A是一对一的，并且 R ( I 一 A)在X中稠密的称为连续 谱。0 10ann例4.3.1 在n维空间Cn中考察由下三角矩阵aii0"a21 a22A =：:_an1an2定义的

7、算子A :对-x=(仆2,n) cn，Ax = y : Ax = y .(4.3.5)显然 y Cn，若记 y =( i, 2，n)，则(4.3.5)为nk 歸 i (k=1,2, n).(4.3.6)i =k由线性代数知：矩阵A主对角线上的元素a11,a22,ann是算子A的特征值。而当=akk (k =1,2，n)时，就是算子A的正则值。例4.3.2 设复空间X =Ca, b, A为Volterra积分算子t(Ax)(t)x(s)ds, x Ca,b .(4.3.7)a对一 = 0，于是方程t('I _ A)x(t) = y(t) 即 x(t)- x( s) ds y( t) ,

8、x C a, i(4.3.8)a等价于方程11 tx(t) y(t)亠 ix(s)ds, x 二 Ca, b.(4.3.9) a因为对-目Ca,b,方程(4.3.9)存在唯一解。由逆算子定理知： I 一 A存在有界逆算子，故任何复数 -0都是A的正则点；故：、(A)二C 0.现设 =0,因为从方程t(Ax)(t) x(s)d s, x Ca,b(4.3.10)Ja容易看出：A的值域是、x(t) x(t) C1a, b, x(a)=0f，且是X =Ca,b的真子空间。t若(Ax)(t) x(s)ds = 0，则由x(t)的连续性知：在a,b上，x(t)三0 .a所以，=0不是A的特征值。彳 dt

9、又因为(0I -A)J 存在，但0I -A的值域R(0l -A)是所有形如0 x(t)d t的函数全体(可微函数)，不是全空间X -Ca,b，即R (01 - A) = X ；因此 = 0是算子A的属于情形(2)的连续谱，且；(A)二0.例4.3.3设复连续函数空间C0,1,A是乘法算子(4.3.7)(Ax)(t) =tx(t), x C0,1.设订0,1，令 -t不难验证：B.是定义在C0,1上，值域 C0,1的有界线性算子，且B(I -A)x(t) =x(t)二I -A)B.x(t)对一切C0,1都成立，故B?；.-=C I -A)J ；因此，是A的正则值。现设'0,1,由(I 一

10、 A)x(t) =(' -t)x(t), x C0,1可知，当t = 时，( -t)x(t) =0 ；因此( -t)x(t)的全体组成的集合在 C0,1中不稠密,其中C0,1是任意的。其次，不难证明：不可能是 A的特征值。In fact,若有 Xq CO,1，使( J - A)Xg(t)二(，-t)x()(t)二 0 ,则当 t = /.时，Xg(t)二 0.由xo(t)的连续性可知：xo( j =0，因此对一切 r 0,1, xo(t)=0.这说明方程( I _A)x(t) =0没有非零解。综上所述，属于A的连续谱，且 (A) =0,1.1 r例4.3.4 I。表示I中只有前有限个坐

11、标不为零的元素全体，I。上的范数|X =送|X 取i丄X =(为，Xn,0, 0,) 1°时，在I0上定义算子 (x2xn'A(知 X2,，Xn, 0, 0,)= |Xi,，F, 0, 0,.I2n丿显然B是I0到1°上的一对一的有界线性算子，即'=0不是A的特征值。易知：A(Xi,X2, ,Xn,0,0, ) = (Xi,2x2,nXn, 0,0,).显然A 1是定义在整个l0上，但在l0上是无界的算子。注1例434中，=0不是算子 A的特征值。显然(01 -A)'在整个I0上有定义，但在I0上是无界的算子；因此 0是算子A属于(3)的谱。注2 若

12、X是Banach空间，B是X到X上的有界线性算子，而且B是可逆算子时，根据逆算子定理，这时 B丄是有界线性算子。故当 X是Banach空间时，情况(3)是不会出现的。引理4.3.1设A是复的赋范线性空间 X上的有界线性算子。(1) 是A的正则点 = 方程(，I - A)g = f对任何f X都有解，且存在常数m 0，使得 g -m f .(2) -不是A的特征值 = I - A是X到( I - A)X上的一一对应(即 I - A是可逆算子)；设不是A的特征值，若 X是有限维空间，则'是A的正则点。注1引理1的(1)说明：对于 A的正则点，方程I - A)g = f对任何右端项f有唯一的

13、解g ,而且g是连续地依赖于右端项 f，即：若 fn是一列向量，且fn； f，则相应于fn 的解gn，也有gn g，其中g是相应于f的解。注2引理1的说明：在有限维空间中，情况属于(2)、的谱不出现。在无限维空间中，情况属于(2)、(3)的谱会出现。下面的例432,例433,例434中算子的谱是分别在无限维空间中，属于情况(2)，的谱。433正则集与谱的性质定理4.3.1设X是复Banach空间，A三B(X).(1) 若，是A的特征值，则 A对于的全部特征向量以及零元素组成X的一个闭子空间，并称之为特征向量空间。(2) 设鼻(k=1,2，n)是A的n个不同的特征值；Xk是A对应于的任一特征向量

14、，则%,x2, X线性无关。定理4.3.2 设X是复Ba nach空间， A B (X)，是复数.则当|彳 A时，是A的正则值，且00 AnCI_A) .百，(4.3.11)nT扎(I A)' <(4.3.11)的右端级数按算子范数收敛；且N-.(4.3.12)A定理4.3.3 设X是复Banach空间，下列结论成立：(1) B(X)中可逆算子全体是 B(X)中的开集。(2) 对任意A B(X)，A的正则集'(A)是复平面上的开集；A的谱二(A)是复平面 上的有界闭集。定理4.3.4设X是复Ba nach空间，若X含有非零元素，则对任意A B(X)， A的谱-(A)非空。434谱半径定义433 设X是复Banach空间，AB(X).称(4313)maX)上为算子A的谱半径。定理435 设X是复Ba nach空间， A B(X)，则算子 A的谱半径满足= lim Tn_c(4.3.14)11#注 在这一节，我们介绍了有界线性算子的正则集、